组合组合计数组合4星题课程目标知识提要组合•定义组合：从n个不同元素中取出m个〔m≦n〕元素作为一组〔不计顺序〕，可选择的方法数叫做从n个不同元素中取出m个不同的组合数，记作：C n m•公式C n m = A n m÷A m m•重要结论C n0 = C n n = 1C n m = C n n−mC n0 + C n1 + C n2 + ⋯ + C n n = 2n精选例题组合1. 从10名男生，8名女生中选出5人参加游泳比赛．在以下条件下，分别有种选法．〔1〕恰有3名女生入选；〔2〕至少有3名女生入选；〔3〕某两名女生，某两名男生必须入选．【答案】〔1〕2520；〔2〕3276；〔3〕14【分析】〔1〕C83×C102=56×45=2520(种)；〔2〕2520+C84×C101+C85=2520+700+56=3276(种);〔3〕选了4人，还差1人，从剩下的18−4=14(人)中任意选择一个即可，有14种选择．2. 在以下图中，“构建和谐社会，创美好崇义〞，从上往下读，上下、左右都不能跳读，共有种不同的读法．【答案】252【分析】根据题意，分析可得，原问题可转化为从10行中，选出5次向左，剩下的5次向右的组合问题．根据题意，从上往下读，上下、左右都不能跳读，那么从上一行到下一行必须向左或向右，分析可得，从上到下，从“构〞到“义〞之间共10个间隙，必须是5次向左，5次向右；即可转化为从10行中，选出5次向左，剩下的5次向右，那么有C105=252(种)．3. 各位数字之和为4的四位数有个，其中能被11整除的有个．【答案】20；6【分析】详解：设abcd的各位数字之和为4，那么a、b+1、c+1、d+1这四个正整数的和是7．由于x+y+z+w=7的正整数解个数是C63=20个，故各位数字之和4的四位数有20个．其中能被11整除的数，必有a+c=b+d=2，(a,c)的取值有(1,1)、(2,0)两种，(b,d)的取值有(0,2)、(1,1)、(2,0)三种，故有2×3=6个．4. 甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有7种不同的报纸可供选择，每户人家都订三份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有种不同的订阅方式．【答案】5670【分析】甲户有C73=35种选择；乙户要选甲户订的报纸订一种，另两种从甲没订过的选，所以有C31×C42=18种丙户要么选择甲乙都订的报纸，再选甲乙都没订的〔就剩两种了〕，或者从甲乙订的互相不同的那两份报纸中各挑一份，再挑个甲乙都没订的，所以有C21×C21×C21+1=9种35×18×9=5670种.5. —个由某些正整数所组成的数组具有以下的性质：〔1〕这个数组中的每个数，除了1以外，都至少可被2,3或5中的一个数整除．〔2〕对于任意整数n，如果此数组中包含有2n,3n或5n中的一个，那么此数组中必同时包含有n及2n,3n,5n．此数组中数的个数在300和400之间．那么此数组有个数．【答案】364【分析】假设该数中某一数为m，且m能被2整除，那么m2也在数组中，以此类推，m能被2k整除，那么m2k 也在数组中．同理m能被3k整除，那么m3k也在数组中，而将m中所有含2,3,5的因数都除去后，剩下的m2a×3b×5c也在数组中，并且没有质因数2,3,5了，而除了1以外，数组中任意数都可被2,3或5中一个数整除，因此该数m2a×3b×5c 只能为1．结论：数组中所有数含的质因数只有2,3,5．如果数组中含2k，那么就知道2k−1,2k−1×3,2k−1×5都在其中，以此类推，2k−2,2k−2×3,2k−2×32,2k−2×3×5,2k−2×5,2k−2×52都在其中，再以此类推，2a×3b×5c(a+b+ c⩽k)都在数组中，同理，假设数组中含3k或5k，那么都有同样的结论，即2a×3b×5c(a+b+c⩽k)都在数组中；我们只需将k分类：当k=0时，a=b=c=0，数组中只有1一个这样的数；当 k =1 时，a +b +c =1，有 3 组解，数组中就会对应含有 2,3,5 这三个数；…… 当 k =n 时，a +b +c =n ，共有 C n+22 组解，所以共有 A =C 22+C 32+C 42+⋯+C n+22 个数，而只有当 n =11 时，有 A =1+3+6+10+⋯+78=364，在 300～400 中，所以答案为 364．6. 如图，正方形 ACEG 的边界上共有 7 个点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、其中 B 、D 、F 分别在边 AC 、CE 、EG 上．以这 7 个点中的 4 个点为顶点组成的不同的四边形的个数是 个．【答案】 23【分析】 从 7 个点中选出 4 个点有 C 74=7×6×5×44×3×2×1=35〔种〕方法．但其中有三个点在同一条直线上的情况，此时所选择的四个点不能组成四边形．这在同一条直线上的三个点可能是 A 、B 、C ，可能是 C 、D 、E ，也可能是 E 、F 、G ，而对于其中的每一种情况，第四个点都可以从其余的 4 个点中选取．因此应排除的情况有 3×4=12〔种〕，所以组成的不同的四边形的个数是 35−12=23〔个〕．7. 在一次射击比赛中，8 个泥制的靶子挂成三列〔如图〕，其中有两列各挂 3 个，一列挂 2 个，一位射手按照以下规那么去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个，假设每次射击都严格执行这一规那么，击碎全部 8 个靶子的不同方法有 种．【答案】560【分析】8个泥制的靶子，看做8个位置，从中选出3个放左侧一列，再选一列放右侧一列，余下放中间列，并且下边先破最上边最后破，故有C83×C53×C22=560(种).8. 有红、黄、蓝、白、黑五种形状大小完全一样的小球假设干，每人必须从中选3只小球．要使有两人得到球的颜色完全一样，至少有人参加选球．【答案】36【分析】分所选3个球同色、两种颜色、三种颜色三种情况，共有C51+2C52+C53=35〔种〕情况，35+1=36．9. 从6双不同的鞋中取出2只，其中没有成双的鞋．共有种不同取法．【答案】60【分析】第一只鞋可以从12只鞋中任选，而第二只鞋只能从剩下的10只鞋中任选，且选第一只鞋与第二只鞋无顺序之分，所以C122×C101÷2=60．10. 将5枚棋子放入下面编号为4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果耍求每行，每列都有棋子．那么共有种不同放法．【答案】432【分析】5枚棋子放4行，每行都有，一定是1行2枚，另3行各1枚；同理，有1列2枚，另3列各1枚；〔1〕如图a〕，1行2枚和1列2枚有1枚重复．按①，②，③，④，⑤的顺序选格，有：16×3×3×2×1=288(种)〔2〕如图b〕，1行2枚和1列2枚无重复．此时，这4枚棋子占据了三行三列，那么最后一枚棋子的位置是确定的．首先，选择三行三列的方法数为C43×C43=9种，所以这种情况下总的方法数是16×9=144种．综上所述，共288+144=432(种)．11. 9枚棋子放入5×5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有种不同的放法．【答案】600【分析】反过来考虑6个空格，那么肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个，如下：▫ ▫ ○▫ ○ ▫○ ▫ ▫▫表示空格，○表示有棋子的方格，其他方格全部有棋子．选择有空格的3行3列有C53×C53=100种选法，在这3行3列中选择6个空格有3×2×1=6种选法，所以总共有600种．12. 中国大陆的车牌号一般包括一个汉字与6个由字母或数字组成的编码构成，比方“京 QFR 067〞，汉字后面紧跟一个字母〔从A到Z〕，之后的位置上可以是数字〔从0到9〕，也可以是字母〔从A到Z，但不包括O和I〕，但最多只允许有2个字母．那么，按照这个规那么，以“京Q〞开头的不同车牌号一共可以有个．【答案】7060000【分析】京Q的车牌，根据题意可以分为没有字母的，只有一个字母的，含有两个字母的，下面分类计算：〔1〕没有字母的，即有5个数字组成，共有10×10×10×10×10=100000〔2〕只有一个字母，除掉O和I后，还有24个字母可以选择，即：24×5×10×10×10×10=1200000〔3〕含有两个字母的，先从5个位置中选俩位置，有C52种选法，然后每个位置上都可能有24种不同的字母，再把数字放好即可C52×24×24×10×10×10=5760000综上，共有100000+1200000+5760000=706000013. 如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为“迎春数〞．那么，小于2008的“迎春数〞共有个．【答案】176【分析】方法一：枚举法——按位数分类计算．两位数中，“迎春数〞个数〔1〕十位数字是1，这样的“迎春数〞有12,13,⋯,19，共8个；〔2〕十位数字是2，这样的“迎春数〞有23,⋯,29，共7个；〔3〕十位数字是3，这样的“迎春数〞有34,⋯,39，共6个；〔4〕十位数字是4，这样的“迎春数〞有45,⋯,49，共5个；〔5〕十位数字是5，这样的“迎春数〞有56,⋯,59，共4个；〔6〕十位数字是6，这样的“迎春数〞有67,68,69，共3个；〔7〕十位数字是7，这样的“迎春数〞有78,79，共2个；〔8〕十位数字是8，这样的“迎春数〞只有89这1个；〔9〕没有十位数字是9的两位的“迎春数〞；所以两位数中，“迎春数〞共有8+7+6+⋯+1=36〔个〕．三位数中，“迎春数〞个数〔1〕百位数字是1，这样的“迎春数〞有123～129,134～139,⋯,189，共28个；〔2〕百位数字是2，这样的“迎春数〞有234～239,⋯,289，共21个；〔3〕百位数字是3，这样的“迎春数〞有345～349,⋯,389，共15个；〔4〕百位数字是4，这样的“迎春数〞有456～459,⋯,489，共10个；〔5〕百位数字是5，这样的“迎春数〞有567～569,⋯,589，共6个；〔6〕百位数字是6，这样的“迎春数〞有678,679,689，共3个；〔7〕百位数字是7，这样的“迎春数〞只有789，这1个；〔8〕没有百位数字是8,9的三位的“迎春数〞；所以三位数中，“迎春数〞共有28+21+15+10+6+3+1=84〔个〕．1000～1999的自然数中，“迎春数〞个数〔1〕前两位数字是12，这样的“迎春数〞有1234～1239,⋯,1289，共21个；〔2〕前两位数字是13，这样的“迎春数〞有1345～1349,⋯,1389，共15个；〔3〕前两位数字是14，这样的“迎春数〞有1456～1459,⋯,1489，共10个；〔4〕前两位数字是15，这样的“迎春数〞有1567～1569,⋯,1589，共6个；〔5〕前两位数字是16，这样的“迎春数〞有1678,1679,1689，共3个；〔6〕前两位数字是17，这样的“迎春数〞只有1789这1个；〔7〕没有前两位数字是18,19的四位的“迎春数〞；所以四位数中，“迎春数〞共有56个．2000～2008的自然数中，没有“迎春数〞所以小于2008的自然数中，“迎春数〞共有36+84+56=176〔个〕．方法二：利用组合原理小于2008的自然数中，只可能是两位数、三位数和1000多的数．计算两位“迎春数〞的个数，它就等于从1～9这9个数字中任意取出2个不同的数字，每一种取法对应于一个“迎春数〞，即有多少种取法就有多少个“迎春数〞．显然不同的取法有C92=9×8÷2=36〔种〕，所以两位的“迎春数〞共有36个．同样计算三位数和1000多的数中“迎春数〞的个数，它们分别有C93=9×8×7÷(3×2×1)=84〔个〕和C83=8×7×6÷(3×2×1)=56〔个〕．所以小于2008的自然数中，“迎春数〞共有36+84+56=176〔个〕．14. 用2颗红色的珠子，2颗蓝色，2颗紫色，2颗绿色的珠子串成如以下图所示的手链，要求两颗红色珠子相邻，两颗紫色珠子相邻，那么，可以串成种不同的手链．【答案】16【分析】因为是手链，所以，旋转、翻转相同的只能算同一种按红色和紫色珠子的分布有如下三种〔如图〕：第一种：与红色相邻的两颗珠子有：蓝蓝、绿绿、蓝绿三种，其中蓝绿的有两种可能，共4种；第二种：单独的一颗有2种可能，另3颗有3种可能，共：2×3=6(种)；第三种：此时是有序排列，四个位置两个放蓝珠子即可，有C42=6(种)；共4+6+6=16(种)不同的手链。
小学生奥数计算几何计数练习题1.小学生奥数计算练习题篇一1、计算9+99+999+9999+999992、计算199999+19999+1999+199+193、计算（2+4+6+…+996+998+1000）-（1+3+5+…+995+997+999）4、计算9999×2222+3333×33345、56×3+56×27+56×96-56×57+566、计算98766×98768-98765×987692.小学生奥数计算练习题篇二1.765×213÷27＋765×327÷27解：原式=765÷27×(213+327)=765÷27×540=765×20=153002.(9999＋9997＋...＋9001)-(1＋3＋ (999)解：原式=（9999-999）+（9997-997）+（9995-995）+……+(9001-1) =9000+9000+…….+9000(500个9000)=45000003．19981999×19991998-19981998×19991999解：（19981998+1）×19991998-19981998×19991999=19981998×19991998-19981998×19991999+19991998=19991998-19981998=100004．(873×477-198)÷(476×874＋199)解：873×477-198=476×874＋199因此原式=15．2000×1999-1999×1998＋1998×1997-1997×1996＋…＋2×1解：原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝2000000。
五年级奥数专题：图形的计数A 3A 1OA 2A 4A 5A 7A 6A 8A 9A 10A 11 A 12九图形的计数(A)年级班姓名得分⼀、填空题1．下图中⼀共有（）条线段.2. 如右上图,O 为三⾓形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的⼀点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三⾓形.3. 下图中有_____4. 右上图中共有_____个梯形.5.数⼀数(1)⼀共有( )个长⽅形. (2)6. 在下图中,所有正⽅形的个数是______.AC E7. 在⼀块画有4?4⽅格⽹⽊板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果⽤线绳围正⽅形,最多可以围出_____个.8. ⼀块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上⾯有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能⽤⽪筋套出正⽅形和长⽅形共_____个.9. 如下图,⽅格纸上放了20枚棋⼦,以棋⼦为顶点的正⽅形共有_____个.10. 数⼀数,下图是由_____个⼩⽴⽅体堆成的.要注意那些看不见的.⼆、解答题11. 右图中共有7层⼩三⾓形，求⽩⾊⼩三⾓形的个数与⿊⾊⼩三⾓形的个数之⽐.12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平⾏，则图中梯形个数与三⾓形个数的差是多少？13．现在都是由边长为1厘⽶的红⾊、⽩⾊两种正⽅形分别组成边长为2厘⽶、4厘⽶、8厘⽶、9厘⽶的⼤⼩不同的正⽅形、它们的特点都是正⽅形的四边的⼩正⽅形都是涂有红颜⾊的⼩正⽅形，除此以外，都是涂有⽩⾊的⼩正⽅形，要组成这样4个⼤⼩不同的正⽅形，总共需要红⾊正⽅形多少个？⽩⾊正⽅形多少个？14ABC的每⼀边4等分，过各分点作边的平⾏线，在所得下图中有多少个平⾏四边形？九图形的计数（B）年级班姓名得分⼀、填空题1. 下图中长⽅形（包括正⽅形）总个数是_____.2. 右上图中有正⽅形_____个,三⾓形_____个,平⾏四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长⽅形.4. 先把正⽅形平均分成8个三⾓形.再数⼀数,它⼀共有_____个⼤⼩不同的三⾓形.5. 图形中有_____个三⾓形.6．如右上图,⼀个三⾓形分成36个⼩三⾓形.把每个⼩三⾓形涂上红⾊或蓝⾊,两个有公共边的⼩三⾓形要涂上不同的颜⾊,已知涂成红⾊的三⾓形⽐涂成蓝⾊的三⾓形多,那么多_____个.7. 下图是由⼩⽴⽅体码放起来的,其中有⼀些⼩⽅体看不见.图中共有_____个⼩⽴⽅体.8. 右上图中共有_____个正⽅形.9. 有九张同样⼤⼩的圆形纸⽚,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
