苏州市学案 函数的奇偶性与对称性
一、课前准备: 【自主梳理】
1.奇偶函数的定义:一般地,对于函数()f x 的定义域内的________一个x ,都有____________,那么()f x 就叫做奇函数.对于函数()f x 的定义域的________一个x ,都有______________,那么()f x 就叫做偶函数.
2.奇偶函数的性质:⑴具有奇偶性的函数,其定义域关于 对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称.
(2)一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称.
(3)若奇函数)(x f 的定义域包含0,则=)0(f ___________.
(4)定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和.
(5)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积(商)为___________;两个偶函数之积(商)为____________;一奇一偶函数之积(商)为_____________(注:取商时应使分母不为0). 3.函数图像的对称性:(1)定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则)(x f 的图像关于_________对称.
(2)定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+,则)(x f 的图像关于_________对称. 【自我检测】
1.对于定义在R 上的函数)(x f ,下列判断正确的是__________.
①若(2)(2)f f -=,则函数()f x 是偶函数;②若(2)(2)f f -≠,则函数()f x 不是偶函数; ③若(2)(2)f f -=,则函数()f x 不是奇函数.
2.给出4个函数:①2
41()3x f x x +=-;②()25
f x x =-+;③1()l
g 1x f x x -=+;④1()1
x f x x -=+. 其中 是奇函数; 是偶函数; 既不是奇函数也不是偶函数.
3.已知22
()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数,则=m ______,=n _________.
4.函数x x x f -=3
)(的图像关于点__________对称.
5.函数1sin )(3
++=x b ax x f ,若2f =,则(f 的值为___________.
6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数,则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________. 二、课堂活动:
【例1】填空题:
(1)函数()11f x x x =++-是_________函数.(填奇偶性)
(2)已知函数b a bx ax x f +++=3)(2
,其定义域为[]a a 2,1-,则)(x f 为偶函数的充要条
件为_________________.
(3)已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则()f x 的解析式为
____________________.
(4)若函数x
x k k x f 2
12)(?+-=是奇函数,则=k ___________.
【例2】判断下列各函数的奇偶性:
(1)()(f x x =-(2)22lg(1)()|2|2x f x x -=--;(3)22(0)()(0)x x
x f x x x
x ?+=?-+>??
【例3】
(1)已知函数)(x f 是偶函数,当[)1,0∈x 时,x x f -=1)(,又)(x f 的图象关于直线1=x 对称,求)(x f 在[)1,2--上的解析式;
(2)若函数()f x 是偶函数,定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数,解关于x 不等式
)3()15(x f x f <-.
课堂小结
三、课后作业
1.下列函数中,是偶函数的是____________.
①2
()f x x x =+
②()1f x x =+ ③22()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈-
2.若函数2
2
()log (2)a f x x x a =++是奇函数,则实数a = .
3.奇函数()f x 的定义域是R ,当0x >时,2
()22f x x x =-++,则()f x 在R 上的表达式为_______________.
4.已知)(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,若1
1
)()(-=
+x x g x f ,则)(x f 的解析式是_________.
5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数,且它的值域为(],4-∞,则该函数的解析式为__________________.
6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数,且在[]0,1-上为减函数,若
2(1)(45)0f a a f a --+->,则实数a 的取值范围为________________.
7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2
f =_____________. 8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数,并满足)
(1
)2(x f x f -=+,当32≤≤x 时,x x f =)(,则)5.5(f 的值为__________.
9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数,且当(0,)x ∈+∞时是增函数,若(1)0f =,求不等式
1
[()]02
f x x -<的解集.
10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证:()f x 是奇函数; (2)若(3)f a -=,用a 表示(12)f .
四、纠错分析
学案10 函数的奇偶性与对称性答案
一、课前准备: 【自主梳理】
1.任意,)()(x f x f -=-,任意,)()(x f x f =-.
2.(1)原点,原点.(2)原点,y 轴.(3)0.(4)2)()()(x f x f x g --=,2
)
()()(x f x f x h -+=.
(5)偶函数,偶函数,奇函数. 3.(1)直线a x =.(2)点()0,a . 【自我检测】 1.②.
2.③,①,②④.
3.2,1-=±=n m .
4.()0,0 .
5.0.
6.奇函数.
二、课堂活动:
【例1】(1)偶.(2)0,31==b a .(3
)(10
()(10
x x f x x x ?+≥?=??.(4)1.
【例2】【解析】(1)由101x
x
+≥-,得定义域为[1,1)-,关于原点不对称,∴()f x 为非奇非偶函数.
(2)由2
210
|2|20
x x ?->??--≠??得定义域为(1,0)(0,1)-,∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22
lg(1)x x -=-, ∵2222
lg[1()]lg(1)
()()x x f x x x
----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数. (3)当0x <时,0x ->,则22
()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-,
当0x >时,0x -<,则22
()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-, 综上所述,对任意的(,)x ∈-∞+∞,都有()()f x f x -=-,∴()f x 为奇函数.
【例3】【解析】(1)∵)(x f 的图象关于直线1=x 对称,∴)1()1(x f x f -=+,即
)2()(x f x f -=.
当[)2,1∈x 时,1)2(1)2()(-=--=-=x x x f x f .
又()f x 为偶函数,∴[)1,2--∈x 时,1)()(--=-=x x f x f . (2)∵函数()f x 是偶函数,定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数, ∴)(x f 在[]1,0上为减函数.∴由)3()15(x f x f <-得:)3()15(x f x f <-
∴x x 315>-,即:81
1
0<≤x .
三、课后作业 1.③. 2.
函数是实数R 上的奇函数 2
202log 0)0(2=
∴=∴=∴a a f a
3. 22220()0
0220x x x f x x x x x ?+-
==??-++>? . 4.1
1
)(2+=x x f .
5.42)(2
+-=x x f .
6.2
33
31+-<≤a . 7.
2
1 . 8.2.5.【解析】
11
(4)[(2)2]()4
1(2)()
(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5
f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-
=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴=函数的最小正周期为时,
9.【解析】
111
[()]00()1()-1222
f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ,
解之得1{|
0}2x x x <<<<,
所以不等式的解集为1{|
0}2x x x <<<<. 10. 【解析】
(1)显然()f x 的定义域是R ,它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中,
令y x =-,得(0)()()f f x f x =+-,令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,∴(0)0f =, ∴()()0f x f x +-=,即()()f x f x -=-, ∴()f x 是奇函数. (2)由(3)f a -=,()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数, 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-.
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)
《函数的奇偶性》教学设计 五华县高级中学叶双霞 教材来源:人教版高中数学必修一 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基木性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手,体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。尝试画出f(x) = χ2和f(x)=∣x∣的图像,从特殊到一般,从具体到抽象,比较系统地介绍了函数的奇偶性?从知识结构看,奇偶性既是函数概念的拓展和深入,乂是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中己经学习了轴对称图形和中心对称图形, 并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,上节课学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1. 理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义; 2. 能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性,学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合,定性与定量的转化,让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。【情感、态度与价值观】 1. 在经历概念形成的过程中,培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力: 2?通过H主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。
. 教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和函数图像的特征。 难点:利用函数奇偶性的概念和图像的对称性,证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 PPT 课件。 七、教学过程 (一) 情境导入、观察图像 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。 师:“同学们,这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体,你能说出它 们有什么特点吗? ” 生:“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师:“是的,而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像,首先我们 来尝试画一下f(x) = X 2和f(x)=∣x ∣的图像,并一起探究儿个问题。” (二) 探究新知、形成概念 探究1 ?观察下列两个函数f(x) = X 2和f(x)=仪|的图象,它们有什么共同特征吗? !1! 六、教学手 出示一组轴对称和中心对称的图片。
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
《函数的奇偶性》教案 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手,体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。尝试画出f(x)=x2和f(x)=|x|的图像,从特殊到一般,从具体到抽象,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,奇偶性既是函数概念的拓展和深入,又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,上节课学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1.理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义; 2.能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性,学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合,定性与定量的转化,让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。 【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中,培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力; 2.通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和函数图像的特征。
难点:利用函数奇偶性的概念和图像的对称性,证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件。 七、教学过程 (一)情境导入、观察图像 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。 师:“同学们,这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体,你能说出它们有什么特点吗?” 生:“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师:“是的,而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像,首先我们来尝试画一下f(x)=x2和f(x)=|x|的图像,并一起探究几个问题。” (二)探究新知、形成概念 探究1.观察下列两个函数f(x)=x2和f(x)=|x|的图象,它们有什么共同特征吗?
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
《函数的奇偶性》教学设计
教学过程
环节时长教学过程学生 活动 设计意图 一、弓入 4分钟创设情景,兴趣引入 1、对称图片欣赏 2、游戏:多媒体给出26个英文字母,让学生找 出轴对称和中心对称的字母出来。比比看,哪组学生最快,正确率最高。 动脑思考,探索新知 问题:我们所学过的函数图象中,冇没冇体现着 8分钟对称的美呢?观察下列图象是不是对称的,如果是, 那么是关于什么对称? 图1 观 察、 思 考、 讨论 图 朴 试 找 律 看 分 并 着 规 游戏中回忆 轴对称和屮 心对称的判 断方法,引 起学生的学 习兴趣 从主观入 手,从具体 开始,逐步 抽象,以学 生熟悉的函 数入手,做 到了直观, 具体。
对于图(1),如果沿着y 轴对折,那么对折 后y 轴两侧 的图像完全重合?这吋称函数图像关 对于图(2),如果将图像沿着坐标原点旋转 180° ,旋转前后的图像完全重合.这时称函数 图像关于坐标原点对称;原点。叫做这个函数图 像的对称中心. 利用动态演示轴对称和中心对称图象上的点的 特点。 定义: 设函数y = /(x)的定义域为数集D,对任意 的都冇 -XE D (即定义域关于坐标原点对 称),且 (1) /(-%) = /(%) 数y *(兀)的图像关于y 轴对称,此时称函数y = fM 为偶函数; (2) /(-x) = -/(x) O 函数y = f(x) 的图像关于 观察, 思考 理解 通过动态 的演示让 学生直观 地看出图 像上点的 特点,从而 帮助学生 更好地理 解定 义中 的等式关 系。
坐标原点对称,此时称函数V = /(X)为奇函数. 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么,就说这个函数具冇奇偶性?不具冇奇偶性的函数叫做非奇非 偶函数. 第一层次问题: 例1:根据下列函数的图像判断奇偶性 三.创 设问题27分钟 (3) (2) 让各组学生进行讨论,并且各组各派一位代 表出来冋答。 第二层次问题:在已知函数图像的基础上我们可以直 观地利用图象判断奇偶性,但如杲没有图像的情况 下,只知道函数的解析式,我们要如何判断奇偶性 呢? 例2:判断下列函数的奇偶性: (1 ) f (x) = x3;(2) /(%) = 2x2 +1 ; 观 察、 理 解、 思 考、 讨论 这几道题目 学生只需从 图像的对称 性來判断奇 偶性,第三 小题两个端 点并不对称, 考察学生对 定义的理解。 让学生体会 利用定义来 判断奇偶性。 这两道练习 题主要是为 了突出定义 中的等式关 系,以及等 式是否对定 义域屮的所 有x均成立。
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数,了解函数奇偶性与周期性的含义. 知识点一函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的. 必记结论 1.函数奇偶性的几个重要结论: (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.有关对称性的结论: (1)若函数y=f(x+a)为偶函数,则函数y=f(x)关于x=a对称. 若函数y=f(x+a)为奇函数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称. (2)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称. 若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称. [自测练习] 1.函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的奇偶性是( )
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
创作编号: BG7531400019813488897SX 创作者:别如克* 1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.学会判断函数的奇偶性; 【教学重难点】 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性? 提出问题 ①如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性. 结论:这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征? x -3 -2 -1 0 1 2 3
表1 表2 结论:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任意一个x ,都有f(-x)=f(x). 定义: 1.偶函数 创作编号: BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 一般地,对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么()f x 就叫做偶函数. 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质? 2.奇函数 一般地,对于函数()f x 的定义域的任意一个x ,都有()()f x f x -=-,那么()f x 就叫做奇函数. 注意: 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数,我们就说函数()y f x =具有奇偶性;函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、