高考数学一轮专题复习 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性课件

f(8)的值为( B )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：由 f(x＋4)＝f（1x），则 T＝8，f(8)＝f(0)＝0．
4．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那
么 a＋b 的值是( B )
A．－13
B．13
C．12
D．－12
解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数， ∴a－1＋2a＝0，∴a＝13．又 f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝13．
考点一 函数的周期性 考点二 判定函数的奇偶性 考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
考点一 函数的周期性
(1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x＋
1)＝f（1x），若 f(x)在[－1，0]上是减函数，那么 f(x)在[2，
3]上是( A ) A．增函数 C．先增后减的函数
1．辨明三个易误点 (1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． (2)判断函数的奇偶性,易忽视函数定义域是否关于原点对称. 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(3)判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝－f(x0)，对于 偶函数的判断以此类推．
1．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0，2]时,f(x)＝2x－x2． (1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当 x∈[2，4]时，求 f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为 4 的周期函数． (2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8． 又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
∴f249＋f461＝12－136＝156．
若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”，其他 条件不变，结果如何？
解：∵f249＝f－43＝f34＝136， f461＝f－67＝f76＝sin 76π＝－12， ∴f249＋f461＝－156．
[规律方法] 函数周期性的判定 判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函 数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其 他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
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考点二 判定函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－1x； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
x2＋2（x＞0）
(3)f(x)＝0（x＝0）
．
－x2－2（x＜0）
[解] (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个 x 都有
f(－x)＝(－x)3－－1x＝－(x3－1x)＝－f(x)， 从而函数 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又 f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵f(x)是以 4 为周期的奇函数 ，∴f249＝f8－34＝
f－34，f461＝f8－76＝f－76．
∵当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，∴f34＝34×1－34＝136．∵
当 1<x≤2 时，f(x)＝sinπx，
∴f76＝sin7π6 ＝－12．又∵f(x)是奇函数， ∴f－43＝－f34＝－136，f－67＝－f76＝12．
2．活用周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；
(3)若 f(x＋a)＝－f（1x），则 T＝2a．
[做一做]
3．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f（1x），则
D．f(x)＝2x＋2－x
2．(2014·高考四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函
数，当 x∈[－1，1)时，f(x)＝－ x，4x0≤2＋x2<，1，－1≤x<0，则 f32
＝__1______．
解析：函数的周期是 2，所以 f32＝f32－2＝f－12，根据
题意 f－12＝－4×－212＋2＝1．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个___最___小____的正数，那么这个____最__小____正数就叫做 f(x) 的最小正周期．
[做一做]
1．(2014·高考重庆卷)下列函数为偶函数的是( D )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第4讲 函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性 奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有___f(_－__x_)_＝__f(_x_)___,那么函
数f(x)是偶函数
关于_y_轴__ 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有___f(_－__x_)_＝__－__f(_x_)_,那么函
B．减函数 D．先减后增的函数
(2)(2014·高考安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0，2]上的解析式为 f(x)＝xsi（n 1π－xx，）1，<x0≤≤2x，≤1， 5
则 f249＋f461＝___1_6____．
[解析] (1)由题意知 f(x＋2)＝f（x＋1 1）＝f(x)，所以 f(x) 的周期为 2，又函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x) 在[－1，0]上是减函数，则 f(x)在[0，1]上是增函数，所以 f(x) 在[2，3]上是增函数．
数f(x)是奇函数
关于_原__点_ 对称
2．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T， 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 任 何 值 时 ， 都 有 f(x ＋ T) ＝ ___f_(x_)_____，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这 个函数的周期．