第3讲 函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1.(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg

x 2－2与y ＝ x sin x 为偶函数.

答案 B

2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )

A.奇函数，且在(0，1)内是增函数

B.奇函数，且在(0，1)内是减函数

C.偶函数，且在(0，1)内是增函数

D.偶函数，且在(0，1)内是减函数

解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，

又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数，

所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数.

答案 A

3.已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)x 2

B.x 1＋x 2＝0

C.x 1

D.x 21

解析 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e x －e x ＝f (x ). ∴f (x )在R 上为偶函数，

f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫e x ＋1e x ， ∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，

由f (x 1)

∴|x 1|<|x 2|，∴x 21

答案 D

4.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析 由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，

解得g (1)＝3.

答案 B

5.(2017·西安一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )

A.2

B.1

C.－1

D.－2

解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，

∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，

又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.

从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.

∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.

答案 A

二、填空题

6.若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.

解析 由于f (－x )＝f (x )，

∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，

化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，

∴a ＝－32.

答案 －32

7.(2017·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析

式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1

⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f

⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝ －316＋sin π6＝516.

答案 516

8.定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________.

解析 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f

⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f

⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12

12 三、解答题

9.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .

(1)判定f (x )的奇偶性；

(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.

解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ).

又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).

又f (x )的定义域为R ，

∴f (x )是偶函数.

(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，

则f (x )＝f (－x )＝x ；