第8章 常微分方程

17
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)

第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0

基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B

i0
Ai i!

j0
Aj j!

k
k0 l0
Al l!

Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !

k 0


l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!



5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u

u1 u2

5
3

2
6
34

0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0

2 1. 当 p 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C 2e
r2 x
2
2. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e r x [ ( u 2 r1u r12 u ) p( u r1u ) q u 0
这时需分如下三种情况进行讨论:
小阻尼: n < k
解的特征
大阻尼: n > k 临界阻尼: n = k
解的特征 解的特征
10
例4.
的通解.
r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根: 解: 特征方程 r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为 e x ( C 3 cos 2 x C4 sin 2 x ) y C1 C2 x 例5. 解方程 y ( 5 ) y ( 4 ) 0 .
4
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
r1 x
y C1e
C 2e
r2 x r1 x
y ( C1 C2 x ) e
y e x (C1 cos x C 2 sin x )
6
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 , 解: 特征方程 因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
ds ds 2 s0 2 dt dt ds s t 0 4 , 2 dt t 0

《常微分方程》教学大纲课程编号：121013A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：32 实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：微积分、线性代数毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《常微分方程》是本科生二年级的基础课。

常微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，一种基本的数学工具，常微分方程在数学学科与其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理中，常微分方程的理论和方法也起着十分重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为常微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)常微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济问题具有极大帮助。

二、教学基本要求本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

本课程以教师讲授为主，辅以课堂讨论，课后学生自主学习、推荐参考教材及参考书目。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

课程讲授一学期，周课时为3学时，共51学时。

期末考试采用闭卷形式。

平时成绩（包括作业和课堂讨论、答问情况）、出勤率占总评成绩的百分之二十；期末考试成绩占总评成绩的百分之八十。

三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配四、教学内容第一章绪论微分方程与解 (1) 微分方程、阶、解。

(掌握)(2) 隐式解、通解与特解。