常微分⽅程第⼀章第⼀章⼀阶微分⽅程1.1学习⽬标：1. 理解微分⽅程有关的基本概念, 如微分⽅程、⽅程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分⽅程的三种主要⽅法: 解析⽅法, 定性⽅法和数值⽅法.2. 掌握变量分离法，⽤变量替换将某些⽅程转化为变量分离⽅程, 掌握⼀阶线性⽅程的猜测检验法, 常数变易法和积分因⼦法,灵活运⽤这些⽅法求解相应⽅程, 理解和掌握⼀阶线性⽅程的通解结构和性质.3. 能够⼤致描述给定⼀阶微分⽅程的斜率场, 通过给定的斜率场描述⽅程解的定性性质; 理解和掌握欧拉⽅法, 能够利⽤欧拉⽅法做简单的近似计算.4. 理解和掌握⼀阶微分⽅程初值问题解的存在唯⼀性定理, 能够利⽤存在唯⼀性定理判别⽅程解的存在性与唯⼀性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解⾃治⽅程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定⾃治⽅程的相线, 判断平衡点类型进⽽定性分析满⾜不同初始条件解的渐近⾏为.6. 理解和掌握⼀阶单参数微分⽅程族的分歧概念, 掌握发⽣分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分⽅程族的分歧图解, 利⽤分歧图解分析解的渐近⾏为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建⽴与实际问题相应的常微分⽅程模型, 并能够灵活运⽤本章知识进⾏模型的各种分析.1.2基本知识： (⼀) 基本概念1. 什么是微分⽅程:联系着⾃变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（⼀般是指等式），称之为微分⽅程. 2. 常微分⽅程和偏微分⽅程:(1) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程,例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dtdyt dt dy .(2) 如果在微分⽅程中，⾃变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分⽅程为偏微分⽅程. 例如 0222222=??+??+??zTy T x T , t T x T ??=??422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的⽅程或微分⽅程均指常微分⽅程. 3. 微分⽅程的阶数: 微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是⼆阶常微分⽅程； 0222222=??+??+??zTy T x T 与t T x T ??=??422是⼆阶偏微分⽅程. 4. n 阶常微分⽅程的⼀般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这⾥(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，⽽且⼀定含有n n d y dt的项；y 是未知函数，t 是⾃变量. 5. 线性与⾮线性：（1）如果⽅程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt的⼀次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分⽅程. （2）⼀般n 阶线性微分⽅程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这⾥1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程. （4）举例：⽅程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是⼆阶线性微分⽅程；⽅程0sin 22=+φφl gdtd 是⼆阶⾮线性微分⽅程；⽅程0)(2=++y dtdy t dt dy 是⼀阶⾮线性微分⽅程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ?=代⼊⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ?=为⽅程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ?=是⽅程的解，则称,0t yΦ=（）为⽅程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独⽴的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ?=称为n 阶⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独⽴性是指，对?及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dt--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可⽐⾏列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ?---??????'''??????≠??????L L M M L M L.为了确定微分⽅程⼀个特定的解，通常给出这个解所必须满⾜的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分⽅程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这⾥(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满⾜初始条件的解称为微分⽅程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(⼆) 解析⽅法1．变量分离⽅程形如()()dyf t y dt=的⽅程为变量分离⽅程，其中(),()f t y ?分别为,t y 的连续函数.⽅程解法如下：若()0y ?≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ??==+??上式确定⽅程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ?=，则0y y =也是⽅程的解. 2. 可化为变量分离⽅程的⽅程(1) 齐次⽅程形如 ()dy yg dt t=的⽅程为齐次⽅程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从⽽原⽅程变为()du t u g u dt +=，整理有()du g u udt t-=，此为变量分离⽅程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的⽅程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时⽅程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a bk a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离⽅程. ●11220a b a b ≠的情形对120c c ==的情况, 直接做变量替换y u t =. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=??++=?的解为t y αβ=??=?. 令 T t Y y αβ=-??=-?, 则⽅程组化为112200a T bY a T b Y +=??+=?. 原⽅程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次⽅程可求解. 3．⼀阶线性微分⽅程(1) ⼀般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) ⼀阶齐次线性微分⽅程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ? 为任意常数.(3) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠.(4) 齐次线性微分⽅程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与⼀个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分⽅程的解. (5) ⾮齐次线性微分⽅程的性质性质1 没有零解;性质2 ⾮齐次⽅程的解加上对应齐次⽅程的解仍为⾮齐次⽅程的解; 性质3 任意两个⾮齐次⽅程的解的差是相应齐次⽅程的解.(6) ⼀阶⾮齐次线性微分⽅程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时⽅程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次⽅程的通解为atce , 只需再求⼀个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为BtCe , ⽽当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代⼊⽅程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代⼊⽅程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++L , 其中01,,n a a a L 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011n n n n b t b t b t b --++++L 代⼊⽅程可求得,0,1,,i b i n = L 的值. 对于()Q t 有上述⼏种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ?=，代⼊⽅程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -?=+.(iii) 积分因⼦法: ⽅程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e µ-?=, 乘⽅程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---?-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt--?=, 从⽽通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --?? =+?，即 ()()(())P t dt P t dt y e Q t e dt c -??= +?.注意, ⾮齐次线性微分⽅程通解的结构是: ⾮齐次线性微分⽅程的通解等于其对应的齐次线性微分⽅程的通解加上⾮齐次线性微分⽅程的⼀个特解.4. 伯努利(Bernoulli)⽅程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的⽅程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利⽅程. 伯努利⽅程可通过变量替换 1nz y-=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性⽅程, 可求其通解.(三) 定性⽅法与数值⽅法：1. 斜率场：⼀阶微分⽅程(,)dyf t y dt =的解()y t ?=代表ty 平⾯上的⼀条曲线，称之为微分⽅程的积分曲线. 微分⽅程(,)dyf t y dt=的通解()y t ?=，c 对应于ty 平⾯上的⼀族曲线，称之为微分⽅程的积分曲线族. 满⾜初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的⼀条积分曲线. ⽅程(,)dy f t y dt =的积分曲线上的每⼀点(,)t y 处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每⼀点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满⾜⽅程；反之，如果在⼀条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这⼀条曲线就是⽅程的积分曲线. 这样，可以⽤(,)f t y 在ty 平⾯的某个区域D 内定义过各点的⼩线段，其斜率为(,)f t y ，⼀般称这样的⼩线段为斜率标记. ⽽对ty 平⾯上D 内任⼀点(,)t y , 有这样⼀个⼩线段与之对应, 这样在D 内形成⼀个⽅向场, 称为斜率场. 斜率场是⼏何直观上描述解的常⽤⽅法2. 欧拉⽅法：求微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dty t y== 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照⼀定的步长t ? 依照某种⽅法逐步计算微分⽅程的近似解()n n y y t =, 这⾥0n t t n t =+?这样求出的解称为数值解. 利⽤欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+? =+?,可求初值问题的近似解，这种⽅法称为欧拉⽅法.欧拉⽅法具有⼀阶误差精度 .如果我们先⽤欧拉公式求出近似解,再利⽤梯形公式进⾏校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度,具体为预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+?,校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++?, 这种⽅法称为改进的欧拉⽅法.(四) 解的存在性、唯⼀性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ?R 内关于y 满⾜利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成⽴, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的解. (2) 解的唯⼀性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <且关于y 满⾜利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯⼀的.注记1: 存在性定理和唯⼀性定理结合在⼀起称为初值问题解的存在唯⼀性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << < 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y== 的唯⼀解. 因⽽当我们判断初值问题解的存在唯⼀性时，要检查(,)f t y 需要满⾜的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常⽤(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ??存在且连续，则yf在D 上有界. 设在D 上L yf≤??, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ?+--=-?21y y L -≤,其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满⾜利普希茨条件的函数(,)f t y 不⼀定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满⾜利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解00(,,)y t t y ?=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ??ε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ?=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==的解, 那么00(,,)t t y ?作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当⼀个微分⽅程初值问题的解存在, 唯⼀并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分⽅程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y==, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满⾜利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) ⾃治⽅程的平衡点与相线1. ⾃治⽅程当⼀阶微分⽅程(,)dy f t y dt =的右端项只是y 的函数⽽与⾃变量t ⽆关, 即()dy f y dt=时, 称为⾃治⽅程.2. 平衡解与平衡点对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡是⽅程的平衡解, ⽽点0y 称为⽅程的⼀个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对⾃治⽅程()dyf y dt=⽽⾔的⼀种简化的斜率场. ⾃治⽅程的斜率场在⽔平直线上的斜率标记是⼀样的, 这样只要知道⼀条竖直直线上的斜率标记,我们就可以知道整个斜率场. 因⽽, 在⼀个竖直的直线上, 我们⽤向上的箭头表⽰正的导数, ⽤向下的箭头表⽰负的导数. 对于导数为零的点, ⽤实⼼圆点来标记它, 则形成该⾃治⽅程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y <的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近⾏为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在⽆限时间内趋于⽆穷, 如0(),1f y y y = =;(3) 在有限时间内趋于⽆穷(爆破), 如20(),1f y y y = =;(4) 在有限时间内停⽌(导数趋于⽆穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于⾃治⽅程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或⽆限时间⾥)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因⽽,平衡点在⾃治⽅程的研究中起着重要的作⽤. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化⽅法 1. 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是⾃治⽅程()dyf y dt=的⼀个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进⼀步的信息决定其类型.(六) 分歧⼀阶微分⽅程解的渐近⾏为随参数变化发⽣了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分⽀, 分叉).1. 分歧发⽣的条件对于单参数微分⽅程族()(,)dyf y f y dtµµ==, 0µµ=是⼀个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0ff y y yµµ?==?. 这样我们要找分歧点可以通过求解⽅程组 (,)0(,)0f y fy y µµ=??=?, 得到解 00(,)y µ,0µ为可能的分歧值, ⽽0y 是可能发⽣分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y µ 平⾯上⽅程在分歧值附近的所有相线的图, ⽤以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化. (1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当µ从左到右经过分歧值0µ时, ⽅程的平衡点从两个变为⼀个再变为不存在, 这种分歧⼀般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当µ从右到左经过分歧值0µ=时, ⽅程的平衡点由三个变为⼀个, 这种分歧⼀般称之为⾳叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧图 1-2 ⾳叉分歧图 1-3 跨越分歧图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0µ= 时, ⽅程有⼀个平衡点; 当0µ≠ 时, ⽅程有两个平衡点. 0µ=是⼀个分歧值. 虽然在分歧值的两侧⽅程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0µ> 时, 0y =是⼀个汇,它是稳定的; 当0µ<时, 0y =是⼀个源,它是不稳定的.这类分歧⼀般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 µ从左到右变化时,相应的⽅程平衡点依次由⼀个变为两个,三个,两个再变回⼀个, 这种分歧⼀般称之为复合分歧.(七) ⼀阶微分⽅程的应⽤1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数⽬成正⽐, 其⽐例系数为 k , 则有dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因⽽是连续函数. Malthus ⼈⼝模型满⾜上述微分⽅程, 虽然对⼈⼝问题,()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在⼀定情况下提供了很好的近似对某⼀⽣物种群进⾏研究时, 该⽣物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最⼤承载量, ⽤以表⽰⾃然资源和环境条件所能容纳的最⼤数量, 并且假定（1）当基数很⼩时，增长率与当前数成正⽐；（2）当基数很⼤，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的.此时⽅程可改写为(1)dS Sk S dt N=-, 称为具有增长率k 和最⼤承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰⽣物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题⽜顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正⽐, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dTdt, ⽜顿冷却定律可表⽰为 ()dTk T T dt=--, 其中k 是正的⽐例系数, ⽽负号表⽰在冷却过程中, 物体温度 T ⼤于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题⼀容器最初容纳0V 升盐⽔溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐⽔溶液以e 升/分的速度注⼊,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQdt等于盐的注⼊率减去流出率. 盐的注⼊率是 be 克/分. 要决定流出率, ⾸先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注⼊的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任⼀时刻t , 盐⽔的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0QfV et ft+-/分.于是得到微分⽅程0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ fQ be dt V et ft+=+-, 这是⼀个⼀阶线性⽅程.4. 电路⼀个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I Cdt dt dt ===, 其中 Q 为电量从⽽R 处的电压为 dvRI RC dt=, 由此我们可以建⽴RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t vdt RC-=. 对于⼀个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满⾜的基本⽅程为 dI R VI dt L L+=.(⼋) 种群⽣态学中的模型设()y t 表⽰⼀个⽣物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dyky dt=. Malthus 模型的解()(0)kty t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量⼤的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数⽬增⼤⽽减⼩，因此更为合理的假设是()dyyf y dt = (*) 这⾥()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, ⽽()/dyf y y dt=. 当考虑种群数量的变化时.对()f y ⽽⾔, 其代数形式并不重要, ⽽关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进⾏⼤致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型； (2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1考虑微分⽅程3220dyy y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 例2假定在鄱阳湖中⼀种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最⼤承载量为N , 即有(1)dS Sk S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获⼀定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之⼀? (3) 捕获量与总量的平⽅根成正⽐?解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S l S dt N=--, 其中 l 是捕获量与总量平⽅根的⽐例系数.例3求解⽅程dy tdt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数.例4求解⽅程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得221(1)ydy dxy x x =++, 两边积分2221()1(1)1ydy dx xdx y x x x x ==-+++.即22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5求解⽅程tan dy yxy dx x -=. 解: 将⽅程改写为 tan dy y ydx x x=+, 这是齐次⽅程,做变量替换yu x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从⽽原⽅程变为tan dux u u u dx+=+ 即tan du udx x=利⽤分离变量法求得 sin u cx =, 代回原变量得通解为sin ycx x =, c 为任意常数例6 求解⽅程22dyx y x y dx=+-.解: ⽅程改写为2sgn 1()dy y y x dx x x=+?- 令u=y x ，则y ux =，从⽽2sgn 1du x u u x u dx+=+?- 当210u -≠时，2sgn 1du xdx xu =-, arcsin sgn ln u x x c =?+, 即 arcsinsgn ln yx x c x=?+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- 解: 解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=?的解为12x y =??=?. 令 12X x Y y =-??=-? , 则原⽅程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X =,则可化为变量分离⽅程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数. 例8求解⽅程2()dyy b t dt-=, 其中 (1) 2()1b t t t =++, (2) 4()tb t e = (3) 2()3tb t e = (4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次⽅程的通解为 2ty ce =, 下⾯⽤猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代⼊221dyy t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =- =- =-, 从⽽21112y t t =---, 原⽅程的通解为 22112ty ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42ty Ae = 代⼊ 42t dy y e dt-=, 有44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从⽽4212ty e =, 原⽅程的通解为 2412tt y ce e =+, c 为任意常数.(3) 不能设2tAe 形式的特解, 因为它是相应齐次⽅程的解,不可能是⾮齐次⽅程的解,设 23ty Ate = 代⼊22t dyy e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从⽽233ty te =, 原⽅程的通解为2223(3)t t ty ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin 3y A t B t =+ 代⼊2cos3dyy t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=??--=?, 解得 23,1313A B =- =,从⽽423cos3sin 31313y t t =-+, 原⽅程的通解为 223cos3sin 31313ty ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前⾯4个⼩题知⽅程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+---原⽅程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数.例9求⽅程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将⽅程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分⽅程2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代⼊原⽅程得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从⽽可得原⽅程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求⽅程26dy yty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利⽅程. 令 1z y -=可得6dz z t dt t=-+，此为线性⽅程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得2618c t y t =-+, 即688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原⽅程还有解0y =. 例11 ⽤积分因⼦法求解⽅程32(1)1dy y t dt t =+++. 解: ⽅程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因⼦为 221()(1)dtt t e t µ- -+?==+,乘⽅程两端得 23(1)2(1)1dyt t y t dt--+-+=+, 即2(1)1d t y t dt -+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10tf t f s ds t = , ≠?, 试求函数()f t 的⼀般表达式.解: 设0()()tF t f s ds =?, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, ⼜(0)0F =, 得0c =. 从⽽ ()2F t t =±,进⽽ 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在.解: ⾸先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义。
