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马尔柯夫预测演示1

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第八讲 马尔可夫预测

第八讲 马尔可夫预测

P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测

马尔可夫预测

马尔可夫预测

S5P
0.57004 /
0.42996
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571012 / 0.42988)
▪ 可看出，随着K的增大，分别接近于0、571和 0、429。即可预测六个月后该商品畅销的概 率为0、571，滞销为0、429。
P11 P12 P1n P P21 P22 P2n
Pn1 Pn2 Pnn
性质：
▪ 1）矩阵中每个元素P（IJ均为非负的，即
Pij 0, (i, j 1,2, n)
▪ 2）矩阵中每行元素相加其和为1，即
n
Pij 1, (i 1,2, , n)
j 1
▪ 2、K步转移概率矩阵：系统的状态是随着时 间的推移不断发生转移。如果系统的状态不 只经过一次转移，而是经过多次转移，就必 须有K步转移概率和K步转移概率矩阵。
▪ 假定该商品现在K=0的销售状态为畅销，
则有初始状态概率向量为 S0 10
▪ 今后半年各月的销售状态概率为
S1
S
0P
(1/
0)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.7
/
0.3)
S6
S5P
(0.57247
/
0.42753)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571741/ 0.428259)
▪ 将趋近于固定概率向量U组成的方阵U，称 之为稳定概率矩阵。
▪ 例如：
0.5 0.25 0.25
P
0.5
0
0.5
Байду номын сангаас0.25 0.25 0.5
▪ 求稳定概率矩阵U。设固定概率向量为
▪ U (U1,U2,1U1 U2) 根据UP=U解方程求得，

第八讲-马尔科夫预测法

第八讲-马尔科夫预测法
P(k) = Pk
➢ 举例
• 例6.7（130页） 为了解顾客对A，B，C三种 不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进 行了购买倾向调查。在本月购买A，B，C品牌 的顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们在下月的购买倾向。调查结果用矩阵 表示如下：
1A 2B 2B
1A 40 30 30 2B 60 30 60 3C 60 30 30
其中，第一行表示在本月购买A品牌的100 人中有40人在下月仍打算购买A品 牌，而打 算转向购买B和C品牌的人都是30。第二行 ，第三行类同。要求: ① 写出状态转移概率矩阵； ② 求购买 C品牌的顾客在未来第二个月购 买A品牌和B品牌的概率。 解：① 题中所给的矩阵也称状态转移频数矩阵， 用频数矩阵的各行频数分别除以各行频数之 和，得状态转移概率矩阵如下：
6.1.3 一步转移概率矩阵
➢ 一步转移概率
• 定义 设 Zt , t∈T 是一马尔科夫链，其中T={0，1 ，2，··· }； S={1，2， ···，n },则称在Zt = i的条 件下， Zt+1 = j的条件概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}称为由 状态i到状态j的一步转移概率。
➢ 平稳的马尔科夫链
第六章 马 尔 科 夫 预 测 法
• 马尔科夫链及转移概率 • 转移概率矩阵的固定点 • 马尔科夫链在经济预测
等方面的应用 • 吸收态马尔科夫链及其应用
6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程 ➢ 随机过程
• 定义 如果对每个给定的时间 t∈T，Z(t) 都是一 随机变量，我们就称 Z(t), t∈T是一个随机过程
• 定义 如果马尔科夫链的一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}与时间t无关，则称马尔科夫链是平稳的。以 后我们提到的马尔科夫链都是平稳的马尔科夫链。 并记一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}=为pij

实验4_马尔科夫预测

实验4_马尔科夫预测

实验4：马尔柯夫预测4.1实验目的1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态；2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程；3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。

7.2实验原理7.2.1 马尔柯夫预测的基本原理马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。

7.2.1．1马尔可夫链若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。

无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。

7.2.1．2状态及状态转移1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。

在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。

（1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。

如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。

（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。

如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。

这种划分的数量界限依产品不同而不同。

2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。

发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率7.2.2状态转移概率矩阵及计算原理1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，其每次只能处于一种状态i E ，则每一状态都具有n 个转向（包括转向自身），即：1i E E →1 、2i E E →、、i n E E →，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

第五章 马尔科夫预测法

第五章 马尔科夫预测法

状态转移：是指事物从一种状态转移到另外 一种状态的可能性。记为Pij，表示事物从状 态i转移到状态j的概率。 马尔科夫预测的基本模型： Xk+1=Xk×P Xk:表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的 状态向量；P表示一步转移概率矩阵；Xk+1 表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的 状态向量.
随机过程中有一类具有无后效性性质即当随机过程在某一时刻t0所处的状态已知的条件下过程在时刻tt0时所处的状态只和t0时刻有关而与t0以前的状态无关则称这种随机过程为马尔科夫过程
第5章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫预测法的基本原理 一、马尔科夫预测法概述 马尔科夫（A.A.Markov）俄国的数学家。 1874年，马尔科夫考入了神往已久的彼得堡大学数 学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校 任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年 系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二次 型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年， 他开始考虑博士论文，后以《关于连分数的某些应 用》于1884年通过正式答辩。
（3）任一概率向量与稳态概率矩阵的乘积为 固定概率向量。
第二节 马尔科夫法在经济预测中的应用
一、马尔科夫预测法的假设 （1）转移矩阵必须逐期保持不变，即不随时 间的变化而变化。 （2）预测期间状态的个数必须保持不变。 （3）状态的转移仅受前一期的影响。
二、应用举例 例1、为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌 洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购 买倾向的调查。在本月购买A、B、C品牌的 顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们下月购买倾向，调查结果用矩阵表 示：
作业：已知某种商品的销售状态划分为畅销和 滞销，分别用1和2表示，要求：计算状态转 移概率矩阵。

08马尔柯夫预测法

08马尔柯夫预测法
2 7
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1

ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：

第五章_马尔科夫预测法

马尔柯夫预测法王剑马尔柯夫预测法•马尔柯夫（A.A Markov）预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。

✓马尔柯夫链的基本理论✓分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、市场占有率预测和人力资源结构预测方法。

§5.1基本概念•马尔柯夫（A.A Markov 是俄国数学家）。

•20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

•例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。

•所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。

具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔柯夫链。

23 123 1一、状态•状态：客观事物可能出现或存在的状况。

•如：市场上的产品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能有故障等。

•同一事物的不同状态之间必须相互独立，即事物不能同时存在两种状态。

用状态变量来表示状态：它表示随机运动系统，在时刻所处的状态为•状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

•如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t ),2,1( =t t ),2,1(N i i =二、状态转移概率•客观事物可能有共种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有个转向（包括转向自身），即。

•由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

N E E E ,,,21 n n 12,,,i i i N E E E E E E →→⋅⋅⋅→二、状态转移概率•概率论中的条件概率：P （A ∣B ）就表达了由状态B 向状态A 转移的概率，简称为状态转移概率。

第3章——第7节 马尔可夫预测方法课件


即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3
求之得： 1 ＝0.365 3,
年份 状态概 率 E1 0.5385 2000 E2 0.1528 E3 0.3077 E1 0.3024 2001 E2 0.414 E3 0.2837 E1 0.3867 2002 E2 0.3334 E3 0.2799 E1 0.3587 2003 E2 0.3589 E3 0.2779
年份
2004
历的过程中各个阶段（或时点）的状态和状态之间的转
移概率最为关键。
马尔可夫预测的基本方法，就是利用状态之间的转 移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。
马尔可夫预测方法的基本要求是状态转移
概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须
具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与 准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建 立在大量的统计数据的基础之上。这一点也是 运用马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最

根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式， n 有 j (k ) j (k 1) Pij ( j 1,2,, n) （3.7.7）
i 1
记行向量 (k ) [ 1 (k ), 2 (k ),, n (k )] ，则由（3.7.7） 式可以得到逐次计算状态概率的递推公式：
第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已
马 尔 可 夫 预 测 法
知，即 (0) 已知，则利用递推公式(3.7.8)式，就可以求 得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各 种可能的状态的概率，即 (k ) ，从而就得到该事件在第 k个时刻（时期）的状态概率预测。

马尔柯夫预测法


p1(1k )
P(k)
p(k) 21
p(k) N1
p(k) 12
p(k) 1N
p(k) 22
p(k) 2N
p(k) N2
p(k) NN
为 k 步转移概率矩阵。
k 步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
0
p(k) ij
1
N
p(k) ij
1
j 1
i, j 1,2,, N
i
1,2,,
故有：
p (2) 11
P (2)
p (2) 21
p () 1N
p (2) 22
p (2) 2N
p (2) N2
p (2) NN
N
p1k pk1
k 1
N
=
p2k pk1
k 1 N
k 1 p Nk pk1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
即:“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，而与其过去的 无关。
第二节 成商。品销售状态预测
第本二期节 市场商占品第有销率一售仅状步取态，决预于划测上分期预市场测占对有象率及（转系移概统率）。所出现的状态。
在经济现象第中存二在步一，种“计无算后初效性始”概。率。
在经济现象中存在一种“无后效性”。
则称 X n , n 0
为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 0，1，2，…i，…j,...称为状态。
（8.1.1）
二、状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率
P Xn1 j Xn i
（8.1.2）
在概率论中，条件概率 P(A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概

第五章_马尔科夫预测法


50 P12 0.1 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100
50 P13 0.1 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
16/58
P11 P12 P13 0.8 0.1 0.1 三、状态转移概率矩阵 P P21 P22 P23 0.05 0.75 0.2 将事件 n 个状态的转移概率依次排列起来，就 P P P 0.1 0.1 0.8 32 33 构成一个 31 N行×N 列的矩阵，这种矩阵就是状态转
27/58
四、初始状态概率向量
记 t 0 为过程的开始时刻，P (0) {(X 0 X (t0 ) i)} i 则称：P(0) ( p (0), p (0),, p (0)) 为初始状态概 率向量。
1 2 N
已知马尔科夫链的转移矩阵 P
(k )
( p ) 以及初
(k ) ij
多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质 外，还具有以下的性质：
(1) P ( n ) P ( n1) P ( 2) P ( n ) P n
25/58
例：
某经济系统有三种状态 E1 , E 2 , E 3（如畅销、一般、 滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二 步状态转移概率矩阵。
19/58
例 1 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的 数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。
季度 销售 状态 季度 销售 状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
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