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列车-桥梁耦合系统非线性随机振动分析晋智斌;李小珍;朱艳;强士中【摘要】在轨道不平顺激励下,列车过桥时发生车-桥耦合振动.由于轨道不平顺激励源是随机过程,而轮轨接触关系又是非线性的,因此,车-桥耦合振动属于非线性随机振动问题.用统计线性化方法分析车-桥非线性随机振动.轮轨接触几何关系用5个非线性函数描述,推导车-桥系统非线性振动方程.对车-桥非线性振动方程中的非线性函数进行统计线性化,得到时变的线性车-桥耦合振动方程.用虚拟激励法求解线性车-桥系统的随机响应,提出一种"显式"统计线性化方法,该法在每个时间步均无需作统计线性化迭代.最后,用Monte Carlo法验证了车-桥统计线性化随机振动分析方法具有较高的精度.算例表明,轮轨非线性接触对车辆和桥梁的随机响应影响很大,车-桥随机振动分析应合理考虑轮轨非线性接触.%Due to the excitation from the rail irregularity,the vehicle-bridge coupling vibration occurs when rail-way trains traverse the bridge.Since the rail irregularity is random process,and the wheel-rail contact is non-linear,the railway vehicle-bridge dynamic interaction should be classified as the random vibration of nonlinear systems.This study analyzed the nonlinear vehicle-bridge random vibration using the statistical linearization method.This nonlinear wheel-rail contact was described by five nonlinear functions for each wheel-set,and the nonlinear vehicle-bridge equation was derived.By linearizing the nonlinear functions in the vehicle-bridge equa-tion,the linear time variant vehicle-bridge equation was obtained.Then the random responses of the linearized equation were calculated using the PEM method.An explicit linearization method was introduced to cancel thelinearization iteration at each integration step of the time-variant system.The proposed method was validated by comparing with Morte Carlo simulations.Case studies show that omitting the nonlinear interaction may in-duce significant errors both in responses of the vehicle and bridge,thus the nonlinear wheel-rail contact should be accounted properly in the random analysis of vehicle-bridge dynamic interactions.【期刊名称】《铁道学报》【年(卷),期】2017(039)009【总页数】8页(P109-116)【关键词】列车-桥梁耦合系统;非线性随机振动;轮轨接触;统计线性化【作者】晋智斌;李小珍;朱艳;强士中【作者单位】西南交通大学土木工程学院,四川成都 610031;西南交通大学土木工程学院,四川成都 610031;西南交通大学土木工程学院,四川成都 610031;西南交通大学土木工程学院,四川成都 610031【正文语种】中文【中图分类】U24;O324为保证列车过桥时的行车安全性和乘坐舒适性，高速铁路桥梁需作车-桥耦合振动分析。
《磁场中轴向运动导电梁磁弹性振动分析》篇一一、引言随着科技的发展，磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题逐渐成为研究的热点。
在众多领域，如电磁学、机械学、材料科学等，这一现象的深入研究对于提高设备的性能和稳定性具有重要意义。
本文将就磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题进行分析，以期为相关领域的研究提供参考。
二、问题分析在磁场中，轴向运动的导电梁受到磁力的作用，导致其发生磁弹性振动。
这种振动现象的机理较为复杂，涉及到电磁场理论、力学原理以及材料特性等多个方面。
首先，磁场中的电流会产生磁力，对导电梁产生作用力；其次，由于材料本身的磁弹性效应，导电梁在受到外力作用时会产生应力分布和变形；最后，由于材料自身的弹性恢复力以及阻尼力的影响，导电梁会呈现出特定的振动形式。
三、模型建立与分析方法针对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动问题，本文建立了相应的物理模型和分析方法。
首先，根据电磁场理论，建立导电梁在磁场中的电流分布模型和磁力计算模型；其次，结合力学原理和材料特性，建立导电梁的应力分布和变形模型；最后，通过数值分析和仿真模拟，研究不同参数（如电流大小、材料属性等）对磁弹性振动的影响。
四、振动特性的研究在研究过程中，我们发现了磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动具有以下特点：首先，由于电流在导电梁中产生的磁力作用，使得其呈现出明显的振动规律；其次，材料本身的磁弹性效应对振动的频率和振幅有显著影响；最后，外部因素如阻尼力和支持条件等也会对振动产生影响。
这些特性的深入研究有助于提高设备性能和稳定性。
五、实验验证与结果分析为了验证理论分析的正确性，我们进行了实验验证。
通过改变电流大小、材料属性等参数，观察并记录导电梁的振动情况。
实验结果表明，理论与实际相符合，进一步验证了本文所建立模型的正确性。
此外，我们还对实验结果进行了详细分析，探讨了不同参数对磁弹性振动的影响程度及规律。
六、结论与展望通过对磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动分析，我们得出以下结论：首先，电流和材料属性是影响磁弹性振动的重要因素；其次，通过合理设计和优化设备参数，可以有效提高设备的性能和稳定性；最后，本文所建立的模型和分析方法为相关领域的研究提供了有益的参考。
扭转梁的非线性振动特性研究扭转梁在许多领域中都有广泛的应用，例如航空航天、工程结构和人类运动科学等。
对于扭转梁的振动特性的研究，不仅可以帮助我们深入理解其力学行为，还能为相关领域的设计和优化提供指导。
本文将探讨扭转梁的非线性振动特性，包括其起因、影响因素以及可能的应用。
非线性指的是系统响应与激励信号之间存在不满足叠加原理的关系。
扭转梁的非线性振动主要源于两个方面，即几何非线性和材料非线性。
几何非线性是由于扭转角度在大幅度振动时引起的，会导致梁的切线方向随振动幅度的增加而改变。
材料非线性则是指材料的刚度和阻尼随振幅的变化而改变。
在研究扭转梁的非线性振动特性时，需要考虑几个重要因素。
首先是梁的几何属性，例如梁的长度、横截面形状和材料特性等。
这些几何属性会直接影响梁的固有频率和模态形态。
其次是激励信号的特征，包括振幅、频率和相位等。
不同的激励信号会对扭转梁产生不同的响应。
最后是边界条件的选择，梁的边界条件会影响振动模态的形状和频率。
非线性振动的探索可以通过多种方法进行。
一种常用的方法是通过数值模拟进行，使用有限元方法可以较准确地计算非线性振动特性。
除此之外，也可以通过实验来研究扭转梁的非线性振动特性。
实验可以对一些关键参数进行测量，并与数值模拟的结果进行对比，从而验证模拟的准确性。
扭转梁的非线性振动特性在很多领域中都有实际应用。
例如，在航空航天领域，了解飞机结构的非线性振动特性可以提高飞行安全性和飞机的性能。
在工程结构设计中，考虑到非线性振动可以改善设计的可靠性和稳定性。
此外，研究扭转梁的非线性振动特性还可以为运动科学领域提供重要参考，例如理解人体运动中的非线性振动特性以及优化运动训练方案等。
总之，扭转梁的非线性振动特性是一个复杂而有趣的研究方向。
通过对其起因、影响因素以及可能的应用进行深入探讨，可以提高我们的理解和应用能力。
相信在不久的将来，随着技术的不断进步和理论研究的深入，我们对扭转梁非线性振动特性的认识将不断加深，为相关领域的发展做出贡献。
公路桥梁与车辆耦合振动研究综述1 前言车辆以一定的速度通过桥梁，桥梁受到车辆荷载的激励会产生振动，反过来桥梁的振动对于车辆来说也是一种激励，因此车辆和桥梁的振动是一个相互影响，相互耦合的过程，我们称之为车桥耦合振动问题。
随着交通事业的迅猛发展，车载重量和运行速度不断提高，而桥梁结构则日趋轻型化，车辆和桥梁之间的动力问题日益引起人们的重视。
对于桥梁工作者而言，车桥耦合振动问题的对应点即为桥梁在移动车辆荷载作用下的强迫振动问题。
2主要研究成果自十九世纪末，各国学者就相继对车桥耦合振动进行了大量研究，称其研究为古典理论。
古典理论对车桥模型进行了大幅简化，桥梁模型均是连续的，主要是对车辆荷载的模拟有了一定的发展进步。
实际上，由于实际桥梁和车辆耦合振动系统本身的复杂性，并且车型和桥型种类繁多，以及引起振动的各种激振源的随机性，古典理论显然不能全面合理地模拟车桥耦合振动问题。
直到二十世纪六、七十年代，随着电子计算机的应用以及有限元技术的发展，使得车桥耦合振动的研究有了飞速的进步。
自70年代起的现代桥梁车辆振动分析理论，以考虑更接近真实的车辆模型和将桥梁理想化为多质量的有限元或有线条模型为主要特点，同时着重研究公路桥面平整度对荷载动力效应的影响。
主要的理论有：多轴车辆模型的作用、有限条法及模态分析法等。
谭国辉、巴梅特.GH、汤比勒.DP提出将二维的格栅桥梁与三维的汽车组合起来模拟二者之间的相互作用。
采用格栅比拟方法，将桥梁结构比拟成一个网格的集合，由纵向主梁和横向隔板组成。
从动力学分析的角度推导出三维汽车模型。
汽车的运动由只发生刚体运动的刚性底盘描述，汽车有各种非线性悬挂系统和弹性轮胎，每个轮轴都有垂直自由度。
该理论从空间结构着手分析了车桥系统的相互作用，能有效地反映系统相互作用的真实特性。
2000年，我国学者林梅、肖盛燮以结构动力学为基础，分析了连续梁桥结构在汽车荷载作用下的动态性能，并运用计算机模拟，讨论了不同车速、车型情况下的桥梁动态响应变化，以此分析出影响结构动态性能的主要因素。
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ２０２３，４５（３）：５１９⁃５２６ＤＯＩ：１０ １６５７９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ ９６６９ ２０２３ ０３ ００２∗２０２１０９１３收到初稿，２０２１１１２０收到修改稿㊂国家自然科学基金项目（１２１７２３２１），河北省自然科学基金项目（Ａ２０２０２０３００７）资助㊂∗∗曹天笑，男，１９９６年生，河北石家庄人，汉族，燕山大学在读硕士研究生，主要研究方向为非线性磁弹性振动㊂∗∗∗胡宇达（通信作者），男，１９６８年生，黑龙江东宁人，汉族，燕山大学教授，博士研究生导师，主要研究方向为非线性振动和磁弹性力学㊂谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振∗ＭＡＧＮＥＴＯ⁃ＥＬＡＳＴＩＣＰＲＩＮＣＩＰＡＬＲＥＳＯＮＡＮＣＥＯＦＡＸＩＡＬＬＹＭＯＶＩＮＧＦＥＲＲＯＭＡＧＮＥＴＩＣＰＬＡＴＥＵＮＤＥＲＨＡＲＭＯＮＩＣＭＡＧＮＥＴＩＣＦＯＲＣＥ曹天笑∗∗１，２㊀胡宇达∗∗∗１，２（１．燕山大学建筑工程与力学学院，秦皇岛０６６００４）（２．燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，秦皇岛０６６００４）ＣＡＯＴｉａｎＸｉａｏ１，２㊀ＨＵＹｕＤａ１，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ）（２．ＨｅｂｅｉＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｆｏｒＨｅａｖｙＥｑｕｉｐｍｅｎｔｓａｎｄＬａｒｇｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ）摘要㊀基于哈密顿变分原理，建立机械载荷和磁化产生的谐变磁力共同作用下铁磁板的非线性磁弹性振动方程㊂针对两长边简支约束边界条件，利用伽辽金积分法得到变量分离后的横向振动微分方程㊂应用多尺度法和李雅普诺夫稳定性理论求解电磁激发下的１阶主共振问题，得到稳态响应下的幅频方程和定常解的稳定性判据㊂通过算例，得到铁磁板的幅频特性㊁振幅⁃磁场强度幅值和振幅⁃速度的变化曲线图㊂曲线分析结果表明，稳定解部分的振幅随磁场强度幅值的增大而增大；非线性刚度随速度的增大而增大，硬弹簧特性增强，非线性特征更为显著㊂关键词㊀铁磁板㊀轴向运动㊀主共振㊀谐变磁力㊀多尺度法中图分类号㊀Ｏ３２２㊀Ｏ４４２㊀㊀㊀㊀Ａｂｓｔｒａｃｔ㊀ＢａｓｅｄｏｎＨａｍｉｌｔｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｍｂｉｎｅｄａｃｔｉｏｎｏｆｍｅｃｈａｎｉｃａｌｌｏａｄａｎｄｈａｒｍｏｎｉｃｍａｇｎｅｔｉｃｆｏｒｃｅｉｎｄｕｃｅｄｂｙｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ．Ｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｌｏｎｇｓｉｍｐｌｙｓｕｐｐｏｒｔｅｄｅｄｇｅｓ，ｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｆｔｅｒｖａｒｉａｂｌｅｓｓｅｐａｒａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙＧａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｍｕｌｔｉ⁃ｓｃａｌｅｍｅｔｈｏｄａｎｄＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｒｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｆｉｒｓｔ⁃ｏｒｄｅｒｐｒｉｎｃｉｐａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｅａｄｙ⁃ｓｔａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｉｎｔｅｎｓｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｎｄｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｖａｒｉａｔｉｏｎｃｕｒｖｅｓｏｆｔｈｅｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅｏｆｓｔａｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅ．Ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｔｉｆｆｎｅｓｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｔｈｅｈａｒｄ⁃ｓｐｒｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｅｎｈａｎｃｅｄａｎｄｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｍｏｒｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ㊀Ｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅ；Ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇ；Ｐｒｉｎｃｉｐａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅ；Ｈａｒｍｏｎｉｃｍａｇｎｅｔｉｃｆｏｒｃｅ；Ｍｕｌｔｉ⁃ｓｃａｌｅｍｅｔｈｏｄＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ：ＨＵＹｕＤａ，Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｈｕｙｕｄａ０３＠１６３．ｃｏｍ，Ｔｅｌ：＋８６⁃３３５⁃８０５７１０１，Ｆａｘ：＋８６⁃３３５⁃８０５７１０１ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（Ｎｏ．１２１７２３２１），ａｎｄｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＨｅｂｅｉＰｒｏｖｉｎｃｅ（Ｎｏ．Ａ２０２０２０３００７）．Ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔｒｅｃｅｉｖｅｄ２０２１０９１３，ｉｎｒｅｖｉｓｅｄｆｏｒｍ２０２１１１２０．０㊀引言㊀㊀多场环境下轴向运动结构具有重要工程应用背景，如磁悬浮运输车体悬力结构，高精轴向运动板带的多因素轧制调质工艺和车辆ＣＶＴ传动钢带等㊂当铁磁结构在多重耦合场中工作时，会不可避免地受到激励，发生复杂的振动行为㊂利用铁磁材料对磁场极其敏感的特性，通过外加磁场可实现对铁磁结构振动特㊀５２０㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀性的电磁控制㊂因此，对处于磁场中轴向运动结构磁弹性振动特性的研究具有重要的理论和应用价值㊂针对轴向运动结构，ＬＩＮＣＣ［１］研究了二维轴向运动平板的稳定性问题㊂ＺＨＯＵＹＦ等［２］分析了物理参数和速度对厚度抛物线变化下轴向运动黏弹性矩形板振动特性的影响㊂ＭＯＨＡＭＡＤＩＡ等［３］研究了受黏性结构阻尼影响的轴向运动简支薄圆柱壳的线性自由振动问题㊂ＬＩＨＹ等［４］分析了流固耦合影响下浸水轴向运动板的动力学特性和稳定性㊂ＦＡＲＳＨＢＡＦＺＲ等［５］对具有中间非线性支撑的轴向运动简支黏弹性梁进行了非线性振动分析㊂ＨＵＹＤ等［６］应用改进多尺度法对周期外载作用下轴向运动导电条形板的强非线性振动及混沌运动问题进行了研究㊂黄建亮等［７⁃８］采用多元Ｌ⁃Ｐ方法研究了轴向运动体系横向内共振和联合共振问题㊂殷振坤等［９］应用增量谐波平衡法研究了轴向运动薄板横向非线性振动特性及其稳定性㊂李中华等［１０］研究了轴向运动黏弹性夹层板的模态耦合横向振动问题㊂对于磁弹耦合场中的振动问题，李晶等［１１］分析了不同情况下磁场强度对矩形导电薄板内共振特性的影响㊂ＨＵＹＤ等［１２］对磁场中的轴向运动载流梁的１ʒ３主内共振问题进行了研究㊂高原文等［１３⁃１４］研究了铁磁梁式板在横向磁场和脉冲磁场作用下的磁弹性动力响应特征和动力失稳现象㊂徐浩然等［１５］研究了处于平行共轴三线圈和球形载流线圈产生磁场中的导电圆板的固有振动问题㊂ＨＡＳＡＮＹＡＮＤ等［１６］分析了磁场和导电率对轴向磁场中有限导电板振动特性的影响㊂ＷＡＮＧＸ等［１７］研究了具有磁弹性相互作用和磁阻尼的铁磁梁式板在横向磁场中的动态稳定性问题㊂ＨＵＹＤ等［１８］研究了磁场中导电薄板的磁弹性组合共振和次谐波共振问题㊂将轴向运动铁磁板置于横向谐变磁场中，不仅需要考虑轴向速度对薄板振动时非线性特征的影响，同时，由于铁磁材料会被磁化产生谐变磁力作用于铁磁板，因此会产生由磁场环境激发的振动行为㊂本文研究谐变磁力作用下轴向运动铁磁板主共振问题，分析几何和物理参量对振幅和非线性振动特性的影响㊂１㊀横向磁场中轴向运动铁磁板的振动方程㊀㊀考虑横向磁场环境（Ｈｎ１为上表面磁场强度，Ｈｎ２为下表面磁场强度）中，沿着ｘ方向以速度Ｖ０ｘ做轴向匀速运动，并受到边界面内拉力Ｆ０ｘ和均布横向机械载荷Ｐｚ作用的各向同性铁磁条形薄板㊂如图１所示，板长为ｌ；板厚为ｈ；薄板的弹性模量为Ｅ；泊松比为μ；密度为ρ㊂１ １㊀电磁力㊀㊀各向同性线性软铁磁介质所受到的磁体力和边界图１㊀磁场中的轴向运动铁磁板Ｆｉｇ．１㊀Ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ磁力［１９］分别为磁体力㊀ｆｅｍ＝▽Ｂ()Ｍ＝μ０μｒχｍ▽Ｈ()２（１）边界磁力㊀Ｆｅｍ＝－μ０χｍ（μｒ＋１）２Ｈｔ()２ｎ（２）式中，Ｂ为磁感应强度矢量，Ｂ＝μ０μｒＨ；Ｈ为磁场强度矢量；Ｍ为磁化矢量，Ｍ＝χｍＨ；μ０为真空磁导率；μｒ为相对磁导率；χｍ为材料的磁化率，χｍ＝μｒ－１；ｎ为铁磁介质表面的单位法向矢量；▽＝∂∂ｘｉ＋∂∂ｚｋ，ｉ和ｋ分别为ｘ方向和ｚ方向上的单位矢量㊂将磁体力和边界磁力向中面简化后得到等效横向磁力为Ｆｚ＝ʏｈ２－ｈ２ｆｅｍｚ（ｘ，ｚ）ｄｚ＋Ｆｅｍｚ（ｘ，ｈ２）－Ｆｅｍｚ（ｘ，－ｈ２）＝μ０μｒχｍ２Ｈｎ（ｘ，ｈ２）éëêêùûúú２－Ｈｎ（ｘ，－ｈ２）éëêêùûúú２{}－μ０χｍ２Ｈｔ（ｘ，ｈ２）éëêêùûúú２－Ｈｔ（ｘ，－ｈ２）éëêêùûúú２{}（３）式中，Ｈｎ为铁磁板表面法线方向磁场强度；Ｈｔ为铁磁板表面切线方向磁场强度㊂设薄板内部磁场沿ｚ轴线性分布［２０］，则Ｂ０ｚ＝μ０μｒＨｎ１＋Ｈｎ２２＋Ｈｎ２－Ｈｎ１ｈｚæèçöø÷（４）㊀㊀轴向运动铁磁板在横向磁场中所受洛伦兹电磁力为ｆｘ＝ＪｙＢ０ｚ＝－σ０Ｂ２０ｚＶ０ｘ－ｚｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷éëêêùûúú（５）式中，Ｊｙ为铁磁板在磁场中运动所产生的电流密度；σ０为电导率；Ｖ０ｘ为轴向运动速度；ｗ为中面横向位移㊂将式（４）代入式（５）并对ｚ沿板厚方向积分得电磁力矩为ｍｘ＝ʏｈ２－ｈ２ｆｘｚｄｚ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３ｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷㊃㊀㊀（Ｈｎ１＋Ｈｎ２）２４８＋éëêê（Ｈｎ２－Ｈｎ１）２８０ùûúú＋㊀㊀σ０μ２０μ２ｒｈ２Ｖ０ｘ（Ｈ２ｎ２－Ｈ２ｎ１）１２（６）㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２１㊀㊀１ ２㊀动能和势能㊀㊀对于沿ｙ方向上无限长的铁磁板，做仅随坐标ｘ变化的横向振动时，系统的动能表示为Ｔ＝∬ρ２Ｖ２ｄｘｄｚ＝ʏＶ２０ｘ＋ｄｗｄｔæèçöø÷２éëêêùûúúｄｘ＋ρｈ３２４ʏｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷éëêêùûúú２ｄｘ（７）式中，Ｖ为板内任一点的绝对速度矢量；ｔ为时间变量；ｄ／ｄｔ＝Ｖ０ｘ∂／∂ｘ＋∂／∂ｔ㊂轴向运动铁磁板发生变形时，势能Ｕ包括弯曲应变势能㊁中面应变势能和边界面内拉力Ｆ０ｘ引起的应变势能㊂根据弹性薄板理论，势能表达式为Ｕ＝ＤＭ２ʏ∂２ｗ∂ｘ２æèçöø÷２ｄｘ＋１２ʏＮｘεｘｄｘ＋ʏＦ０ｘεｘｄｘ（８）式中，ＤＭ为弯曲刚度，ＤＭ＝Ｅｈ３／［１２（１－μ２）］；ＤＮ为拉伸强度，ＤＮ＝Ｅｈ／（１－μ２）；Ｎｘ为中面应力，Ｎｘ＝ＤＮ（εｘ＋μεｙ）；εｘ㊁εｙ均为中面应变分量，εｘ＝（∂ｗ／∂ｘ）２／２，εｙ＝（∂ｗ／∂ｙ）２／２㊂１ ３㊀磁弹性横向振动方程㊀㊀根据哈密顿变分原理，有ʏｔ１ｔ２（δＴ－δＵ＋δＷＰ＋δＷ）ｄｔ＝０（９）式中，ｔ１㊁ｔ２分别为两固定时刻；δＷＰ为机械载荷Ｐｚ所做虚功；δＷ为电磁力虚功㊂将动能㊁势能变分后和电磁力虚功代入式（９），整理得到忽略面内位移的轴向运动铁磁板的非线性磁弹性横向振动方程为－ＤＭ∂４ｗ∂ｘ４＋３２ＤＮ∂ｗ∂ｘæèçöø÷２∂２ｗ∂ｘ２＋Ｆ０ｘ∂２ｗ∂ｘ２＋Ｆｚ＋㊀㊀∂ｍｘ∂ｘ＋Ｐｚ＝ρｈＶ２０ｘ∂２ｗ∂ｘ２＋２Ｖ０ｘ∂２ｗ∂ｘ∂ｔ＋∂２ｗ∂ｔ２æèçöø÷－㊀㊀㊀ρｈ３１２Ｖ２０ｘ∂４ｗ∂ｘ４＋æèç２Ｖ０ｘ∂４ｗ∂ｘ３∂ｔ＋∂４ｗ∂ｘ２∂ｔ２öø÷（１０）２㊀轴向运动铁磁板的主共振分析２ １㊀振动方程的伽辽金离散㊀㊀对于两长边简支的轴向运动铁磁板，其满足边界条件为ｗ＝０，∂２ｗ∂ｘ２＝０，ｘ＝０ｗ＝０，∂２ｗ∂ｘ２＝０，ｘ＝ｌìîíïïïï（１１）㊀㊀在考虑３阶模态的情况下，设满足边界条件式（１１）的位移函数为ｗ＝ð３ｎ＝１ｐｎ（ｔ）Ｗｎ（ｘ）＝ð３ｎ＝１ｐｎ（ｔ）ｓｉｎｎπｘｌ（１２）㊀㊀设铁磁板上㊁下表面的磁场强度分别为Ｈｎ１＝Ｈ０ｃｏｓ（Ω１ｔ），Ｈｎ２＝Ｈ０ｓｉｎ（Ω１ｔ）（１３）式中，Ｈ０为磁场强度幅值；Ω１为磁场强度频率㊂将式（１３）代入式（３）中，且仅考虑横向磁场，得到横向谐变磁力为Ｆｚ＝μ０μｒχｍ２Ｈ２０ｃｏｓ（２Ω１ｔ）（１４）同时，机械载荷按谐变规律给定：Ｐｚ＝Ｐ０ｃｏｓ（Ω２ｔ）（１５）式中，Ｐ０为载荷幅值；Ω２为载荷频率㊂令磁场强度频率和机械载荷频率关系为２Ω１＝Ω２＝Ω，并将式（１４）和式（１５）代入式（１０）中，进行伽辽金积分，推导得无量纲化后的横向振动微分方程为ｑ㊆１＋ω２１ｑ１＝η２１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋φ２１ｑ㊃２＋㊀㊀㊀ξ１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）éëêê＋Ｈ２０３０ùûúúｑ㊃１＋α１Ｓ１１ｑ３１＋Ｓ４１ｑ１ｑ２２＋(㊀㊀㊀Ｓ５１ｑ１ｑ２３＋Ｓ７１ｑ２１ｑ３＋Ｓ８１ｑ２２ｑ３)＋ｆ１ｃｏｓ（Ω－τ）ｑ㊆２＋ω２２ｑ２＝η１２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ１＋φ１２ｑ㊃１＋㊀㊀㊀φ３２ｑ㊃３＋η３２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ３＋㊀㊀㊀ξ２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ㊃２＋α２Ｓ２２ｑ３２＋(㊀㊀㊀Ｓ６２ｑ２１ｑ２＋Ｓ９２ｑ２ｑ２３＋Ｓ０２ｑ１ｑ２ｑ３)ｑ㊆３＋ω２３ｑ３＝η２３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋φ２３ｑ㊃２＋㊀㊀㊀ξ３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ㊃３＋α３Ｓ１３ｑ３１＋Ｓ３３ｑ３３＋(㊀㊀㊀Ｓ４３ｑ１ｑ２２＋Ｓ７３ｑ２１ｑ３＋Ｓ８３ｑ２２ｑ３)＋ｆ３ｃｏｓ（Ω－τ）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（１６）式中ｑｎ＝ｐｎｈ，Ω＝ΩωＮ，τ＝ωＮｔ，ηｎｉ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３Ｖ０ｘＤｎｉＡｉｉω２Ｎ，ξｉ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３ＣｉｉＡｉｉωＮ，φｎｉ＝ρｈ３Ｖ０ｘＤｎｉ－１２ρｈＶ０ｘＢｎｉ６ＡｉｉωＮ，αｉ＝３ＤＮｈ２２Ａｉｉω２Ｎ，ｆｉ＝Ｇｉω２ＮＡｉｉｈμ０μｒχｍ２Ｈ２０＋Ｐ０æèçöø÷，ωＮ＝３ｇ１ｇ２ｇ３，ω１＝ｇ１ωＮ，ω２＝ｇ２ωＮ，ω３＝ｇ３ωＮ，ｇ２１＝１２ＤＭＥ１１－１２Ｆ０ｘＣ１１＋１２ρｈＶ２０ｘＣ１１－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ１１１２Ａ１１，ｇ２２＝１２ＤＭＥ２２－１２Ｆ０ｘＣ２２＋１２ρｈＶ２０ｘＣ２２－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ２２１２Ａ２２，㊀５２２㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀ｇ２３＝１２ＤＭＥ３３－１２Ｆ０ｘＣ３３＋１２ρｈＶ２０ｘＣ３３－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ３３１２Ａ３３㊂式中，Ａｎｉ㊁Ｂｎｉ㊁Ｃｎｉ㊁Ｄｎｉ㊁Ｅｎｉ㊁Ｇｉ㊁Ｓｂｉ（ｎ＝１，２，３；ｉ＝１，２，３；ｂ＝０，１， ，９）均为积分式㊂２ ２㊀多尺度法求解㊀㊀研究系统主共振问题，经验证，系统为弱非线性，引入小参数ε，式（１６）可写为ｑ㊆１＋ω２１ｑ１＝εη－２１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋εφ－２１ｑ㊃２＋㊀㊀㊀εξ－１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）éëêê＋Ｈ２０３０ùûúúｑ㊃１＋εα－１Ｓ１１ｑ３１＋Ｓ４１ｑ１ｑ２２＋(㊀㊀㊀Ｓ５１ｑ１ｑ２３＋Ｓ７１ｑ２１ｑ３＋Ｓ８１ｑ２２ｑ３)＋εｆ－１ｃｏｓ（Ω－τ）ｑ㊆２＋ω２２ｑ２＝εη－１２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ１＋εφ－１２ｑ㊃１＋㊀㊀εφ－３２ｑ㊃３＋εη－３２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ３＋㊀㊀εξ－２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ㊃２＋εα－２Ｓ２２ｑ３２＋(㊀㊀Ｓ６２ｑ２１ｑ２＋Ｓ９２ｑ２ｑ２３＋Ｓ０２ｑ１ｑ２ｑ３)ｑ㊆３＋ω２３ｑ３＝εη－２３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋εφ－２３ｑ㊃２＋㊀㊀εξ－３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ㊃３＋εα－３Ｓ１３ｑ３１＋Ｓ３３ｑ３３＋(㊀㊀Ｓ４３ｑ１ｑ２２＋Ｓ７３ｑ２１ｑ３＋Ｓ８３ｑ２２ｑ３)＋εｆ－３ｃｏｓ（Ω－τ）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（１７）式中，η－ｎｉ＝ηｎｉε，ξ－ｉ＝ξｉε，φ－ｎｉ＝φｎｉε，α－ｉ＝αｉε，ｆ－ｉ＝ｆｉε（ｎ＝１，２，３；ｉ＝１，２，３）㊂为了定量表示主共振发生时激励力频率Ω－与第１阶固有频率ω１之间的接近程度，引入调谐参数σ，并令Ω－＝ω１＋εσ（１８）㊀㊀应用多尺度法进行１阶近似求解，近似解设为ｑ１（τ，ε）＝ｑ１１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ１２（Ｔ０，Ｔ１）ｑ２（τ，ε）＝ｑ２１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ２２（Ｔ０，Ｔ１）ｑ３（τ，ε）＝ｑ３１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ３２（Ｔ０，Ｔ１）ìîíïïïï（１９）其中，Ｔｎ＝εｎτ㊂将式（１９）代入式（１７）中，展开后令ε的同次幂项系数相等，将ε０同次幂项系数方程组的解写为复数形式：ｑ１１＝Ａ１（Ｔ１）ｅｉω１Ｔ０＋Ａ－１（Ｔ１）ｅ－ｉω１Ｔ０ｑ２１＝Ａ２（Ｔ１）ｅｉω２Ｔ０＋Ａ－２（Ｔ１）ｅ－ｉω２Ｔ０ｑ３１＝Ａ３（Ｔ１）ｅｉω３Ｔ０＋Ａ－３（Ｔ１）ｅ－ｉω３Ｔ０ìîíïïïï（２０）㊀㊀将式（１８）和式（２０）代入ε１同次幂项系数方程组中，可得消除久期项的条件为－２ω１ｉＤ１Ａ１＋ξ－１ω１ｉＡ１Ｈ２０３０＋３α－１Ｓ１１Ａ２１Ａ－１＋㊀㊀２α－１Ｓ４１Ａ１Ａ２Ａ－２＋２α－１Ｓ５１Ａ１Ａ３Ａ－３＋ｆ－１２ｅｉσＴ１＝０－２ω２ｉＤ１Ａ２＋ξ－２ω２ｉＡ２Ｈ２０３０＋３α－２Ｓ２２Ａ２２Ａ－２＋㊀㊀２α－２Ｓ６２Ａ２Ａ１Ａ－１＋２α－２Ｓ９２Ａ２Ａ３Ａ－３＝０－２ω３ｉＤ１Ａ３＋ξ－３ω３ｉＡ３Ｈ２０３０＋３α－３Ｓ３３Ａ２３Ａ－３＋㊀㊀２α－３Ｓ７３Ａ３Ａ１Ａ－１＋２α－３Ｓ８３Ａ３Ａ２Ａ－２＝０（２１）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï式中，Ｄ１＝∂∂Ｔ１㊂将复函数Ａ写为Ａｋ（Ｔ１）＝１２ａｋｅｉθｋ（ｋ＝１，２，３），代入式（２１）中，并令γ１＝σＴ１－θ１，分离虚部和实部得ａ㊃１＝Ｈ２０６０ξ－１ａ１＋ｆ－１２ω１ｓｉｎγ１ａ１γ㊃１＝ａ１σ＋３α－１８ω１Ｓ１１ａ３１＋α－１４ω１Ｓ４１ａ１ａ２２＋㊀㊀㊀α－１４ω１Ｓ５１ａ１ａ２３＋ｆ－１２ω１ｃｏｓγ１ａ㊃２＝Ｈ２０６０ξ－２ａ２ａ２θ㊃２＝－３α－２８ω２Ｓ２２ａ３２－α－２４ω２Ｓ６２ａ２ａ２１－α－２４ω２Ｓ９２ａ２ａ２３ａ㊃３＝Ｈ２０６０ξ－３ａ３ａ３θ㊃３＝－３α－３８ω３Ｓ３３ａ３３－α－３４ω３Ｓ７３ａ３ａ２１－α－３４ω３Ｓ８３ａ３ａ２２ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（２２）㊀㊀由于ξ－２＜０㊁ξ－３＜０，可见ａ２㊁ａ３都将衰减，共振不被激发㊂对于系统的稳态响应，令ａ㊃１＝０，γ㊃１＝０，得到１阶主共振幅频响应式为Ｈ４０３６００ξ－２１ａ２１＋ａ１σ＋３α－１８ω１Ｓ１１ａ３１æèçöø÷２＝ｆ－２１４ω２１（２３）２ ３㊀稳定性分析㊀㊀主共振发生时，分析系统稳态运动中解的稳定性条件，设ａ１＝ａ１０＋ａ１１，γ１＝γ１０＋γ１１（２４）式中，ａ１０㊁γ１０均为系统的稳态解；ａ１１㊁γ１１均为小的扰动量㊂㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２３㊀㊀将式（２４）代入式（２２），根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论得到判断稳态解稳定性的本征方程为λ２＋ｃ１１λ＋ｃ１２＝０（２５）式中，ｃ１１＝－Ｈ２０３０ξ－１，ｃ１２＝σ２＋Ｈ４０３６００ξ－２１＋３α－１２ω１σＳ１１ａ２１０＋２７α－２１６４ω２１Ｓ２１１ａ４１０㊂根据Ｒｏｕｔｈ⁃Ｈｕｒｗｉｔｚ判据，在ξ－１＜０情况下可得系统稳态解稳定的充要条件为ｃ１２＞０（２６）３ 算例分析㊀㊀针对处于交变磁场中马氏体钢材料制成的轴向运动铁磁板进行算例分析㊂主要物理参数为：密度ρ＝７８００ｋｇ／ｍ３；泊松比μ＝０ ３；材料电导率σ０＝２ ３ˑ１０６（Ω㊃ｍ）－１；相对磁导率μｒ＝１０００；弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ；板长ｌ＝０ ５ｍ；面内拉力Ｆ０ｘ＝１０ｋＮ／ｍ㊂图２（ａ）为不同板厚下轴向运动铁磁板的幅频特性曲线图㊂图２（ａ）中曲线表明，共振区域（εσʈ０）幅值明显增大㊂图２（ａ）中点线代表非稳定解，实线代表稳定解（下同）㊂当调谐值一定时，随着板厚的增加，稳定解部分的共振幅值随之减小；脊骨线附近曲线随着板厚的增加逐渐内缩㊂同时，调谐值由负数增大到一定值时，共振幅值出现多值现象㊂点画线所包夹区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即板厚变化时，幅频特性曲线中非稳定解部分所在区域㊂图２（ｂ）为拾取不同厚度下振幅出现多值解的临界调谐值所绘的调谐值⁃厚度多值解分岔点曲线㊂该曲线表明了在不同板厚下开始出现多值解时的调谐值㊂图２（ｂ）中分岔点曲线下方区域对应单值解，上方区域对应多值解㊂图２㊀不同板厚下幅频特性曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．２㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｔｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图３㊀不同物理参量下幅频特性曲线Ｆｉｇ．３㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀㊀图３所示为板厚ｈ＝０ ００９ｍ时不同物理参量下的幅频特性曲线㊂激发主共振的激励力由磁化力Ｆｚ和机械载荷Ｐｚ两部分组成，并且磁化力幅值与磁场强度幅值的平方Ｈ２０成正比㊂因此，在图３（ａ）和图３（ｂ）中，当调谐值一定时，随着磁场强度幅值Ｈ０和机械载荷幅值Ｐ０的增大，共振幅值会随之增大，并且两图中的多值解分岔点向右上方移动㊂在图３（ｃ）中，速度的增大使铁磁板的非线性刚度增大和硬弹簧特性增强，进而幅频特性曲线向右弯曲程度加深，使得上支曲线出现交点，在交点之前振幅随着速度的增大而增大，在交点之后振幅随着速度的增大而减小；在下支曲线的稳定解区域中，振幅随着速度的增大而增大㊂图４（ａ）为不同调谐值下振幅－磁场强度幅值曲线图㊂该曲线图由类椭圆闭合曲线和上支凹型曲线组㊀５２４㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀成，曲线关于磁场强度幅值（Ｈ０＝０）对称㊂椭圆闭合曲线下半部分随着调谐值的增加而减小，上支凹型曲线随着调谐值的增大而增大㊂磁场强度幅值为零（Ｈ０＝０）时所对应振幅不为零，是由于此时共振由机械载荷Ｐｚ激发的㊂共振幅值随着磁场强度幅值的增大，将由多值解转化为单值解㊂多值现象消失的原因在于随着磁场强度幅值的增大，幅频特性曲线图中的脊骨线附近曲线发生外拓，使得调谐值所对应的振幅由多值解转向单值解㊂由于非稳定解只出现于类椭圆闭合曲线部分，在图４（ｂ）中，对类椭圆闭合曲线部分单独分析，点画线为拾取不同调谐值下振幅⁃磁场强度幅值多值解分岔点所绘，其上部区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即调谐值变化时，类椭圆闭合曲线中非稳定解部分所在区域㊂图４（ｃ）为拾取不同调谐值下振幅变为单值解的临界磁场强度幅值所绘的磁场强度幅值⁃调谐值多值解分岔点曲线图㊂该曲线表明在不同调谐值下多值现象消失时的磁场强度幅值㊂图４（ｃ）中分岔点曲线下方区域对应单值解，上方区域对应多值解㊂㊀㊀图５为调谐值εσ＝０ ０５时不同几何和物理参量下的振幅⁃磁场强度幅值曲线图㊂由图５（ａ）和图５（ｂ）可知，稳定解部分的共振幅值随着板厚的减小和机械载荷幅值的增大而增大㊂在图５（ｃ）中，随着速度的增大，椭圆闭合曲线稳定解部分共振幅值增大，上支凹型曲线共振幅值减小㊂图６（ａ）为不同调谐值下振幅⁃速度曲线图㊂该曲线图由呈子弹状的下支曲线和上支下凹型曲线两部分组成㊂该曲线图表明，随着调谐值的减小，上支曲线的振幅减小而下支曲线稳定解部分的振幅增大，并且整个下支曲线向内收缩㊂同时，共振幅值随着速度的增大，将由多值解转化为单值解㊂多值现象消失的原因是随着速度的增大，幅频特性曲线图中的脊骨线附近曲线向右弯曲程度加深，使得调谐值所对应的振幅由多值解转向单值解㊂由于非稳定解只出现于下支曲线部分，因此，对图６（ｂ）中下支曲线部分单独分析，点画线为拾取不同调谐值下振幅⁃速度多值解分岔点所绘，其上部区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即调谐值变化时，下支曲线中非稳定解部分所在区域㊂图４㊀不同调谐值下振幅⁃磁场强度幅值曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．４㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｕｎｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｃｕｒｖｅｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图５㊀不同几何和物理参量下的振幅⁃磁场强度幅值曲线Ｆｉｇ．５㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｎｄｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２５㊀㊀㊀㊀图６（ｃ）所示为拾取不同调谐值下振幅转换为单值解时的临界速度所绘的速度⁃调谐值多值解分岔点曲线㊂图６（ｃ）中分岔点曲线下方区域对应多值解，上方区域对应单值解㊂图７为调谐值εσ＝０ ０７时不同几何和物理参量下振幅⁃速度曲线图㊂在图７（ａ）中，稳定解部分的共振幅值随着板厚的增大而减小㊂在图７（ｂ）和图７（ｃ）中，稳定解部分的共振幅值随着磁场强度幅值和机械载荷幅值的增大而增大㊂图６㊀不同调谐值下振幅⁃速度曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．６㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｕｎｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｃｕｒｖｅｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图７㊀不同几何和物理参量下振幅⁃速度曲线Ｆｉｇ．７㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｎｄｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀㊀选取参数ｈ＝０ ０１ｍ，Ｖ０ｘ＝２０ｍ／ｓ，Ｐ０＝１ｋＮ／ｍ２，Ｈ０＝１００Ａ／ｍ，绘制幅频特性曲线［图８（ａ）］，由曲线可得调谐值εσ＝－０ ０２和εσ＝０ ０６时的振幅稳定解Ｓ１㊁Ｓ２和Ｓ３㊂为了对解析结果进行数据仿真验证，选取相同参数和相应的调谐值，直接对式（１６）数值求解，得到调谐值εσ＝－０ ０２和εσ＝０ ０６时的稳定状态下的响应图［图８（ｂ）㊁图８（ｃ）］㊂经过对比可见，数值结果与解析结果基本一致㊂图８㊀幅频特性曲线及稳定解Ｓ１㊁Ｓ２和Ｓ３的响应图Ｆｉｇ．８㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｎｄｒｅｓｐｏｎｓｅｄｉａｇｒａｍｓｏｆｓｔａｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓＳ１，Ｓ２ａｎｄＳ３㊀５２６㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀４㊀结论㊀㊀本文针对轴向运动铁磁板，考虑谐变磁化力和运动效应，得到非线性主共振的近似解析解，确定了共振幅值随几何和物理参量的变化规律㊂结果表明：１）当激励力频率接近条形板第一阶固有频率时，系统发生主共振，共振区域内的振幅明显增加，并且受板厚㊁磁场强度幅值和速度等参量的显著影响㊂２）铁磁板磁化产生的谐变磁力与机械载荷共同组成激励力，使磁场强度不单单影响阻尼项，同时出现于激励力项中，使系统呈现更加复杂的非线性振动特征㊂参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）［１］㊀ＬＩＮＣＣ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９７，３４（２４）：３１７９⁃３１９０．［２］㊀ＺＨＯＵＹＦ，ＷＡＮＧＺＭ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｐｌａｔｅｗｉｔｈｐａｒａｂｏｌｉｃａｌｌｙｖａｒｙｉｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００８，３１６（１／２／３／４／５）：１９８⁃２１０．［３］㊀ＭＯＨＡＭＡＤＩＡ，ＳＨＡＨＧＨＯＬＩＭ，ＡＳＨＥＮＡＩＧＦ．Ｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｓｈｅｌｌｕｓｉｎｇｍｕｌｔｉｐｌｅｓｃａｌｅｓｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｍｅｃｃａｎｉｃａ，２０１９，５４（１４）：２２２７⁃２２４６．［４］㊀ＬＩＨＹ，ＬＡＮＧＴＹ，ＬＩＵＹＪ，ｅｔａｌ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｓａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｅｉｍｍｅｒｓｅｄｉｎｆｌｕｉｄ［Ｊ］．ＡｃｔａＭｅｃｈａｎｉｃａＳｏｌｉｄａＳｉｎｉｃａ，２０１９，３２（６）：７３７⁃７５３．［５］㊀ＦＡＲＳＨＢＡＦＺＲ，ＲＥＺＡＥＥＭ，ＬＯＴＦＡＮＳ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＲａｙｌｅｉｇｈｂｅａｍｓａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｏｎａｆｌｅｘｉｂｌｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｓｕｐｐｏｒｔ［Ｊ］．ＩｒａｎｉａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２０，４４（４）：８６５⁃８７９．［６］㊀ＨＵＹＤ，ＨＵＰ，ＺＨＡＮＧＪＺ．Ｓｔｒｏｎｇｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃｒｅｓｏｎａｎｃｅａｎｄｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１５，１０（２）：０２１０１０（１⁃１２）．［７］㊀黄建亮，陈树辉．轴向运动体系非线性振动分析的多元Ｌ⁃Ｐ方法［Ｊ］．中山大学学报（自然科学版），２００４，４３（４）：１１５⁃１１７．ＨＵＡＮＧＪｉａｎＬｉａｎｇ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．ＭｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅＬ⁃Ｐｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＡｃｔａＳｃｉｅｎｔｉａｒｕｍＮａｔｕｒａｌｉｕｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔａｔｉｓＳｕｎｙａｔｓｅｎｉ，２００４，４３（４）：１１５⁃１１７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［８］㊀黄建亮，陈树辉．轴向运动体系横向非线性振动的联合共振［Ｊ］．振动工程学报，２００５，１９（１）：２４⁃２８．ＨＵＡＮＧＪｉａｎＬｉａｎｇ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．Ｊｏｉｎｔｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆｌａｔｅｒａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９（１）：２４⁃２８（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［９］㊀殷振坤，陈树辉．轴向运动薄板非线性振动及其稳定性研究［Ｊ］．动力学与控制学报，２００７，５（４）：３１４⁃３１９．ＹＩＮＺｈｅｎＫｕｎ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｘｉａｌｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２００７，５（４）：３１４⁃３１９（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１０］㊀李中华，李映辉．轴向运动黏弹性夹层板的多模态耦合横向振动［Ｊ］．复合材料学报，２０１２，２９（３）：２１９⁃２２５．ＬＩＺｈｏｎｇＨｕａ，ＬＩＹｉｎｇＨｕｉ．Ｍｕｌｔｉｍｏｄａｌｃｏｕｐｌｅｄｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｓａｎｄｗｉｃｈｐｌａｔｅ［Ｊ］．ＡｃｔａＭａｔｅｒｉａｅＣｏｍｐｏｓｉｔａｅＳｉｎｉｃａ，２０１２，２９（３）：２１９⁃２２５（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１１］㊀李㊀晶，胡宇达．横向磁场中矩形导电薄板的内共振特性分析［Ｊ］．机械强度，２０１７，３９（６）：１２５５⁃１２６３．ＬＩＪｉｎｇ，ＨＵＹｕＤａ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｉｎｔｅｒｎａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ，２０１７，３９（６）：１２５５⁃１２６３（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１２］㊀ＨＵＹＤ，ＷＡＮＧＪ．Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ⁃ｉｎｔｅｒｎａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃａｒｒｙｉｎｇｂｅａｍｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１７，９０（１）：６８３⁃６９５．［１３］㊀高原文，周又和，郑晓静．横向磁场激励下铁磁梁式板的混沌运动分析［Ｊ］．力学学报，２００２，４６（１）：１０１⁃１０８．ＧＡＯＹｕａｎＷｅｎ，ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ，ＺＨＥＮＧＸｉａｏＪｉｎｇ．Ｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍｐｌａｔｅｕｎｄｅｒｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２００２，４６（１）：１０１⁃１０８（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１４］㊀高原文，缑新科，周又和．脉冲磁场激励下铁磁梁式板动力响应特征研究［Ｊ］．振动工程学报，２００５，１９（３）：３１４⁃３１７．ＧＡＯＹｕａｎＷｅｎ，ＧＯＵＸｉｎＫｅ，ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ．Ｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍｐｌａｔｅｕｎｄｅｒｐｕｌｓｅｄｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９（３）：３１４⁃３１７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１５］㊀徐浩然，胡宇达，李文平．载流线圈中导电圆板的磁弹性固有振动［Ｊ］．机械强度，２０１９，４１（６）：１２７１⁃１２７７．ＸＵＨａｏＲａｎ，ＨＵＹｕＤａ，ＬＩＷｅｎＰｉｎｇ．Ｍａｇｎｅｔｏｅｌａｓｔｉｃｎａｔｕｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｄｕｃｔｉｖｅｃｉｒｃｕｌａｒｐｌａｔｅｉｎｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃａｒｒｙｉｎｇｃｏｉｌｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ，２０１９，４１（６）：１２７１⁃１２７７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１６］㊀ＨＡＳＡＮＹＡＮＤ，ＬＩＢＲＥＳＣＵＬ，ＱＩＮＺ，ｅｔａｌ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｌｙ⁃ｅｌｅｃｔｒｏｃｏｎｄｕｃｔｉｖｅｐｌａｔｅｓｔｒｉｐｓｉｎａｎａｘｉａｌｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００５，８３（１５／１６）：１２０５⁃１２１６．［１７］㊀ＷＡＮＧＸ，ＬＥＥＪＳ．Ｄｙｎａｍｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍ⁃ｐｌａｔｅｓｗｉｔｈｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｄａｍｐｉｎｇｉｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２００６，１３２（４）：４２２⁃４２８．［１８］㊀ＨＵＹＤ，ＬＩＪ．Ｔｈｅｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｌｅｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００９，３１９（３／４／５）：１１０７⁃１１２０．［１９］㊀周又和，郑晓静．电磁固体力学［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９：８２⁃８９．ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ，ＺＨＥＮＧＸｉａｏＪｉｎｇ．Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｏｌｉｄｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎｃｅＰｒｅｓｓ，１９９９：８２⁃８９（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［２０］㊀胡宇达．轴向运动导电薄板磁弹性耦合动力学理论模型［Ｊ］．固体力学学报，２０１３，３４（４）：４１７⁃４２５．ＨＵＹｕＤａ．Ｍａｇｎｅｔｏｅｌａｓｔｉｃｃｏｕｐｌｅｄｄｙｎａｍｉｃｓｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１３，３４（４）：４１７⁃４２５（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．。
