第2章 2.3.2双曲线的几何性质

2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用

双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.

知识点一　双曲线的几何性质

思考　类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的哪些

几何性质？

答案　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.

梳理　标准方程x2a2－y2b2

＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

图形

性

质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a

对称性对称轴：坐标轴

对称中心：原点对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±baxy＝±abx

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)

知识点二　双曲线的离心率

思考　在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”

大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？

答案　双曲线x2a2－y2b2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小

取决于ba的值，设e＝ca，则ba＝c2－a2a＝e2－1.

当e的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.

梳理　定义：双曲线的焦距与实轴长的比e＝ca，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e的取

值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.

知识点三　双曲线的相关概念

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为2.

1.等轴双曲线的离心率是1.(　×　)

2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　×　)

3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　×　)

4.方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax.(　×　)

类型一　已知双曲线的标准方程研究几何性质

例1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心

率.

考点　双曲线的几何性质

题点　由双曲线的方程研究几何性质

解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为y24－x212＝1，

∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，

∴c＝a2＋b2＝16＝4，

∴双曲线的实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝43；

焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为y＝±33x；

离心率e＝2.

反思与感悟　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定

方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线

的几何性质.

跟踪训练1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐

近线方程.

考点　双曲线的几何性质

题点　由双曲线的方程研究几何性质

解　将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，

即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，

因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；

焦点坐标为(－13，0)，(13，0)；

实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；

离心率e＝ca＝133；

渐近线方程为y＝±bax＝±23x.

类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程

例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；

(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.

考点　双曲线性质的应用

题点　由双曲线的几何性质求方程

解　(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0).

由题意知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.

(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝»(»≠0).

当»>0时，a2＝4»，∴2a＝24λ＝6⇒»＝94；

当»<0时，a2＝－9»，∴2a＝2－9λ＝6⇒»＝－1.

∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.

(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝»(»≠0).

将点(2，－2)代入双曲线方程，

得»＝222－(－2)2＝－2，

∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.

反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标

轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求

出a，b，写出方程.

(2)①与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(»≠0，－b2<»

③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝»(»≠0).

跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；

(2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝103；

(3)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3).

考点　双曲线性质的应用

题点　由双曲线的几何性质求方程

解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，

又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，

故所求双曲线的标准方程为y225－x2144＝1.

(2)由e2＝109，得c2a2＝109，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.∴设所求双曲线方程为x29k－y2k＝1，①

或y29k－x2k＝1.②将(3,92)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；

将(3,92)代入②，得k＝9.

故所求双曲线的标准方程为y281－x29＝1.

(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.①

∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②

联立①②，无解.

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④

联立③④，解得a2＝8，b2＝32.

故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.

方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝»(»≠0).

∵A(2，－3)在双曲线上，

∴2222－(－3)2＝»，即»＝－8.

故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.

类型三　求双曲线的离心率

例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率：

(1)双曲线的渐近线方程为y＝±32x；

(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(0

距离为34c.

考点　双曲线的几何性质

题点　求双曲线的离心率

解　(1)若焦点在x轴上，则ba＝32，

∴e＝ b2a2＋1＝132；

若焦点在y轴上，则ab＝32，即ba＝23，

∴e＝ b2a2＋1＝133.

综上可知，双曲线的离心率为132或133.

(2)依题意得直线l：bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c，

即ab＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，即3b4－10a2b2＋3a4＝0，∴3(b2a22－10×b2a2＋3＝0.

解得b2a2＝13或b2a2＝3.

又∵0

反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2

＋b2，直接求a，c的值.而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证

问题结果的准确性.

跟踪训练3　(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为________.

考点　双曲线的几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　54或53

解析　若焦点在x轴上，则ba＝34，

∴e＝ b2a2＋1＝54；

若焦点在y轴上，则ab＝34，即ba＝43，

∴e＝ b2a2＋1＝53.

综上可知，双曲线的离心率为54或53.

(2)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e＝________.

考点　双曲线的几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　32

解析　因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，

所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，

所以a＝2，所以e＝ca＝32.

1.双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y＝－2x，则双曲线方程为____________.考点　双曲线性质的应用

题点　由双曲线的几何性质求方程

答案　x2－y24＝1

解析　由题意知a＝1，又ba＝2，

∴b＝2，∴双曲线方程为x2－y24＝1.

2.设双曲线x2a＋y29＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝________.

考点　双曲线性质的应用

题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题

答案　－4

解析　∵方程表示双曲线，

∴a<0，标准方程为y29－x2－a＝1，

∴渐近线方程为y＝±3－a x，

∴3－a＝32，解得a＝－4.