双曲线的简单几何性质总结归纳(人教版)教学教材

双曲线的简单几何性质

一．基本概念

1 双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹

（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线

2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c =

⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+

⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+

⑷焦点到准线的距离：22

11221221 a a F K F K c F K F K c c c

==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2

122a K K c

=

⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将

有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122

12

2

PF F F PF S b ∆∠=

⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）

⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b

⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a

（通径长的一半）其中

22b a c +=a PF 221=-

3 双曲线标准方程的两种形式：

①22

a x －22

b y =1，

c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22

b x =1，

c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）

4、双曲线的性质：22

a x －22b

y =1（a ＞0，b ＞0）

⑴范围：|x |≥a ，y ∈R

⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：

①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a

b

y ±=

②若渐近线方程为x a

b

y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x

③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

④特别地当⇔=时b a 离心率2=

e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；y =

a b x ，y =－a

b x ⑸准线：l 1：x =－

c a 2，l 2：x =c a 2

，两准线之距为2

122a K K c

=⋅

⑹焦半径：2

1()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

2

2()a PF e x ex a c

=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）

⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22

22b

y a x )0(≠λ

⑻与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短， 当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。

⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为2

2

a

b 。

⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。 ⑿注意两类特殊的双曲线

一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b =，离心率e =一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。

二．例题选讲

【例1】若00(,)M x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：

10||MF ex a =+，20||MF ex a =-

变式1：若00(,)M x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左支上时，

证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

变式2：（2010江西理）点00()A x y ，在双曲线22

1432

x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = 解：a=2.c=6,r

e d

=3r d ⇒=,200023()2a x x x c =-⇒=

变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

112

42

2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，