一元二次方程分式方程1(201911整理)

一元二次方程

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

一元二次方程的解法

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：

)04(2422acbaacbbx

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

根的判别式

1.一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做根的判别式，通常用“”来表示，即acb42

2.如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

一元二次方程归纳总结

1、一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)xaa 解为：xa

②2()(0)xabb 解为：xab

③2()(0)axbcc 解为：axbc

④22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

（3）公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa

② 当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

③ 当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

3、一元二次方程的根与系数的关系

法1：一元二次方程20 (0)axbxca的两个根为：

221244,22bbacbbacxxaa

所以：22124422bbacbbacbxxaaa，

22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 定理：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略

考点01 一元一次方程相关概念

1．等式的性质：

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．

2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)axba．

【注意】x前面的系数不为0．

3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

4. 一元一次方程的求解步骤：

步骤 解释

去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号

移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边

合并同类项 把方程化成axb的形式

系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a.得到方程的解为bxa

【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．

【例 1】若2316mmx是一元一次方程,则m等于（ ）

A．1 B．2

C．1或2 D．任何数

【答案】B

【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m−3│=1.解得m=2或m=1.

根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m−1≠0,解得m≠1.所以m=2.

故选B.

【例 2】关于x的方程211-20mmxmx﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．

【答案】2x＝或2x或x=-3． 【解析】解：关于x的方程21120mmxmx﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.

211m﹣＝.即1m＝或0m＝.方程为20x﹣＝或20x＝.

分式方程公式

分式方程是指包含一个或多个分式的方程。下面列举几个常见的分式方程及其解法：

一次分式方程：

形式：(分子) / (分母) = 常数

解法：将方程中的分式化简为一个整数，然后求解。

二次分式方程：

形式：(分子) / (分母) = (分子) / (分母)

解法：通常可以通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程，然后求解。

多元分式方程：

形式：(分子1) / (分母1) = (分子2) / (分母2) = ...

解法：可以通过分数的相等性，将多个分式等于一个常数，进而解得各个变量的值。

在解分式方程时，应考虑分母是否为零的情况，并排除无效解。另外，有时候方程可能会包含复杂的分式形式，需要运用化简、约分等技巧来简化方程，使其更容易求解。

分式方程是包含分式的方程，解分式方程的方法包括化简、约分、通分、交叉相乘等技巧，以求得方程的解。