可化为一元二次方程的分式方程的解法1――去分母法

整数的知识点总结在由数学问题的解决而导致实际问题的解决，在这个过程中，整数起着承前启后的作用。

下面是XXXX为大家整理的关于整数的知识点总结，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!整数的知识点总结11、整数的意义：自然数和0都是整数。

2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。

倍数和约数是相互依存的。

人教版小学四年级整数和整除知识点：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，的约数是它本身。

例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有的倍数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。

例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一元二次方程的概念整理：1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。

（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。

一元一次方程与一元二次方程的区别和联系2. 一元二次方程的解法：熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。

一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。

ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。

1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。

a b c b ac b ac x b b ac a ∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。

我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。

一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。

对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。

3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。

例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。

把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。

∴原方程的根为6=x 。

二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。

一元二次方程讲义——绝对经典实用一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2.一般地，这样的方程都整理成为形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

其中ax2，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。

如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

一元二次方程的求根方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

直接开平方法是指形如x=m（m≥0）的方程都可以用开平方的方法写成x=±m，求出它的解。

配方法是通过配方将原方程转化为(x+n)2=m（m≥0）的方程，再用直接开平方法求解。

配方是组成完全平方式的变形过程。

公式法是指一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为x=(-b±√(b2-4ac))/2a。

因式分解法是把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。

一元二次方程根的判别式的定义为b2-4ac，运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方得到实数根。

这里b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。

只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根。

一元二次方程的根由其系数a、b、c确定，其根的情况（是否有实数根）由判别式Δ=b²-4ac确定。

设一元二次方程为2ax²+bx+c=0（a≠0），其根的判别式为Δ=b²-4ac，则解为x1,2=(-b±√Δ)/(2a)。

判定方程的根的情况有三种：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根。

若a、b、c为有理数，且Δ为完全平方式，则方程的解为有理根；若Δ为完全平方式，同时-b±√Δ是2a的整数倍，则方程的根为整数根。

可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点1、会用去分母的方法解分式方程。

2、会用换元法解分方式方程。

3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。

二、考点1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。

2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。

3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。

三、例题分析第一阶段例1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。

解：（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3检验把x=0代入(1-x)(1+x)≠0把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0∴x1=0, x2= -3是原方程的解。

方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0∴原方程的根是x=6点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。

例2、解下列方程思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。

第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。

可把原方程变形为，此时若设即可把原方程变为一个关于y的整式方程。

解：（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解这个方程得 x1=2, x2= -1.经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。

∴原方程的根是x=2.(2)原方程的变形为解这个方程，得解得x3=x4=1.例3、解方程思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设y=x2+x,原方程变为；若把x2+x+1看作是一个整体，可设y=x2+x+1，则x2+x=y-1，原方程就变为解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x2+x或x2+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。

初三代数知识点归纳12、1 用公式法解一元二次方程1、整式的概念2、一元二次方程的概念3、一元二次方程的一般形式[ax2+bx+c=0（a≠0）]4、一元二次方程的分类5、一元二次方程的判定方法（1）根据定义判定。

[即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2]（2）根据一般形式判定。

[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）,那么它就是一元二次方程。

] 6、直接开平方法（ax2+b=0）7、配方法8、公式法（公式是＿＿＿＿＿＿＿＿）12、2 用因式分解法解一元二次方程1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。

12、3 一元二次方程的根的判别式1一元二次方程的根的判别式的概念2一元二次方程的根的情况与判别式的关系判别式定理和逆定理∆>0 ⇔方程有两个不相等的实数根∆=0 ⇔方程有两个相等的实数根∆<0 ⇔方程没有实数根∆≥0 ⇔方程有两个实数根3一元二次方程根的判别式的应用（1）不解方程，判定方程根的情况（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。

（3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）（4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。

12、4 一元二次方程根与系数的关系1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1, x2,那么x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿,2韦达定理的逆定理如果实数x1, x2满足x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿,那么x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根．3韦达定理的两个重要推论推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2，那么x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿,推论2：以两个数x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为１）是＿＿＿＿＿＿＿＿＿4一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）验根（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数．（3）不解方程，求关于x1, x2的对称式的值．如x12＋x22，x12x2＋x1x22，11x＋21x，︳x1－x2︳，（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程．（5）已知两数的和与积，求这两个数（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的取值范围（7）证明方程系数之间的特殊关系（8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．（9）根的符号的讨论12、5 二次三项式的因式分解（用公式法）1 二次三项式的因式分解公式ax2+bx+c=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2研究用公式法分解二次三项式意义3用公式法分解二次三项式的一般步骤：（1）用求根公式求出二次三项式ax2+bx+c对应的方程ax2+bx+c=０的两个实数根x1, x2；（２）将a、x1, x2的值代入二次三项式的因式分解公式，写出分解式。

考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—基础巩固【知识梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．方法指导：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．方法指导： △≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．方法指导：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.方法指导：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方法指导：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【基础巩固训练】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x--=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b+ 二、填空题7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9． 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？答案与解析一、选择题1.【答案】B；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ．4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x .6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（）S av -千米。

各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。

1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。

注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。

二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。

由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。

当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。

当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。

1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。

2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。

3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。

四、 可化为一元二次方程的方程——分式方程1、分式方程定义： 中含有未知数的方程叫分式方程。

2、分式方程的解法:解分式方程时一般把 转化为 再解 ，在方程变形时有可能产生不适合 原方程的根，这种根叫做原方程的 ，（使方程的分母为 的解称为原方程的增根。

）因此，解分式方程必须例1、解方程：x 32-x 1=例2、22121--=--x x x例3、（2008数理报）分式方程0111=+--+-x xx kx x有增根x =1,求k 的值。

3、分式方程的应用例4、（2008数理报）某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若由两对合作6天可以完成，共需工程费10200元，若甲单独完成此工程甲对比乙队少用5天，但几甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金角度考虑应该选择哪一个队？为什么？练习题：1、（2007重庆市）分式方程1321=-x 的解为（ ）（A ）2=x （B ）1=x （C ）1-=x （D ）2-=x2、(2007年甘肃省白银)将方程132142+-=+-x x x 去分母并化简后，得到的方程是（ ） A ．0322=--x x B ．0522=--x x C ．032=-x D ．052=-x3、（2007山东省潍坊市）解分式方程81877x x x --=--，可知方程（ ） A ．解为7x =B ．解为8x =C ．解为15x =D ．无解 4、若分式方程7667=----xxx x 有增根，则增根是： 5、(2007泸州市)方程11262213x x =+--的解x= 。

6、(2007江西省南昌市)方程212x x =-的解是 ． 7、（2007年天津市）方程)1(56)1(2-=+-x x x x 的整数．．解是 。

8、（2007岳阳市）.分式方程3x+4－1＝0的解是____________ 9、（2007资阳市）方程21044xx x --=--的解是____________ .10、(2007湖北省荆门市)若方程322x mx x -=--无解，则m =______．11、（2007年山东省青岛市）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 ()240024008120%x x -=+12、（2007年上海市）解方程：22321011x xx x x --+=-- 13、（2007年河南省实验区）解方程：32322x x x +=+- 14、(2007山东省滨州市)解方程：22111x x x -=--． 15、（2007年浙江省）解方程21124x x x -=--． 16、（2006陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 17、(2007年连云港市)解方程：11322x x x -=---． 18、解分式方程：1223x x =+．19、(2007年广东省中山市)某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具。

分式方程意义及解法一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．1．解分式方程：。

2解方程：一元二次方程知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3．公式法解一元二次方程：(1)一元二次方程求根公式：对于一元二次方程，当时，，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．(2)归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，称为一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.4．因式分解法解一元二次方程：(1)因式分解法解一元二次方程：将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.1.判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0；(2)．5.解方程(x-3)2=49．6.用配方法解方程1）.x2-7x-1=0．2)x2-4x-2=0；7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3)．8用因式分解法解方程.(1)2x2+3x=0；(2)5(3-2x)=2x(3-2x)；(3)4(x+2)2-9(x-3)2=0.。

分式方程 教学目标理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程的解法。

可化为一元二次方程的分式方程（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）解分式方程的基本思路：把分式方程转化为整式方程，即“整式化”的化归数学思想 （3）解分式方程的基本方法：换元法和去分母法（4）解分式方程的基本步骤：找最简公分母——转化为整式方程——解整式方程——验根（把根代人最简公分母中，分母为零则此根为增根，分母不为零，则此根为原方程的解）一、选择题1、以下说法中正确的是( )．A ．存在分式方程，它没有增根，也没有根B ．分式方程的增根也是分式方程的根C ．若有一个数使得分式方程的公分母为零，则这个数称为分式方程的增根D ．如果分式方程可化为一元一次方程，那么它的根就不需要检验 2、方程①11=+x x ；②6323=+x x ；③11182=+x；④1=x x 中，分式方程的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．43、用换元法解方程02131222=+--+-x xx x x 时，下列“换元”中最适宜的是（ ） A ．y x x x =+-1222B ．y x x =-1C ．y x x =+-122D ．y x =-14、若解关于x 的方程的值产生增根，求m xx x x m x x 11122+=++-+ 把分式方程24222x x x x -=---化为整式方程时，方程两边应同乘的最简公分母是（ ） （A ）2(2)(2)x x x ---； （B ）22x x +-；（C ） 2x -； （D ）(2)(1)x x -+.5、方程2412x x -=-的根是（ ）（A ） 122,1x x =-=； B ） 122,1x x ==-；（C ） 1x =-； D ） 1x =. 6、下面 “去分母”后所得方程正确的是（ ） （A ）23211x x x x-+=--，去分母，得321x x -+=；（B ）23211x x x x-+=--，去分母，得232x x x -+=-；（C ）23211x x x x-+=--，去分母，得232x x x x -+=-；D ）23211x x x x -+=--，去分母，得(3)21x x x x -+=-. 7、下列方程中，是分式方程的是（ ）A ．123x x +=；B ．22253x x +-=； C ．11x x +=； D ．12x x -=． 8、已知方程：① 2352x x x +=；②422x x +=+；③2150x -=；④ 13()(6)18x x ++=-. 这四个方程中，分式方程的个数是（ ）. A ． 1 ； B ． 2 ； C ． 3 ； D ． 4 .9、用换元法解分式方程2233201x x x x+-+=+时，设21x y x =+，原方程可变形为（ ）Ａ．2230y y +-=； Ｂ．2320y y -+=； Ｃ．2320y y -+=； Ｄ．2230y y -+=．10、用换元法解分式方程x ─ 1x ─ 3 x x ─ 1 + 1 = 0 时，如果设 x ─ 1x= y ，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A . y 2 + y ─ 3 = 0B . y 2 ─ 3 y + 1 = 0C . 3 y 2 ─ y + 1 = 0D . 3 y 2 ─ y ─ 1= 05．解方程234011x x x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，如果设_________=y ，那么得到关于y 的整式方程是_____________________.6．若分式2652-+-x x x 的值是零，则______=x .7、方程2111x x x =--的根为______ _____________.8、分式方程242142x x x=+--的最简公分母是________________. 9、当x ＝__________时，分式2422x x x ++与的值相等. 10、当m = 时，去分母解关于x 的方程222-=--x m x x 时会产生增根.11、如果分式方程4332=-+x a ax 的根是x ＝1，那么________.a = 12、若函数3m y x m-=+的图像经过点（1，m ），则___________.m =13、在分式方程0)1()1(22=+++y y y y 中，如果设x y y =+1，那么原方程化为关于x 的整式方程为__________________. 3．用换元法解分式方程，，若设103221-==+-+-x xy x x x x 则由原方程化成的关于y 的整式方程是 ．（2）2522=+++x x x x ； 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x y x-=，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是 ．（1）51144x x x --=-- 22162242x x x x x -+-=+-- （7）6152732--=+--x x x x x ； （8）8441322=-+-x x x x ． （9）01411321222=---+-+x x x x x （4）2722382172222--+-=+---+--x a a x x x a a x x （4）2261x x x x =+++； （5）11171272-=+---x x x x ； （6）123312322++=-+x x x x 223139yy +=--. 431x x +=+ 2412122x x x x x+-=+++ 2116122312x x x x --=----0615)1(2=+-⋅--x xx x 22331332x x xx -+=-012832122=+--x x（1）02772222=++-+x x x x（2）71618151+++=+++x x x x 61418121-+-=-+-x x x x例题3：用换元法解方程,41124=+++x x xx 可设x x y 1+=，则原方程化为关于y 的整式方程为2.在方程0272222=+-+x x x 中，如果设x x y 1-=，则原方程化为关于y 的整式方程为4：用换元法解111222-=---x x x x 时， （1）若设xx b 212-=，则b 的整式方程为（2）若设xx c 312-=，则原方程化为关于c 的整式方程为四、解答题例9：如果关于x 的方程x mx xm m 2652=++-有无数个解，求m 的值例10：当a 为何值时，关于x 的方程()02222=-+----x x a x x x x x 只有一个实数根？1.当a 为何值时，分式方程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实数根，并求出这个实数根。

代数方程化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元分式化整式：化整式的方法：去分母，换元无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元多元化一元：代入和加减消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法主要有四种：（1）直接开平方法：适用于（mx+n）2=h (h≥0)的一元二次方程。

（2）配方法：适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。

但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）2=h (h≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

其基本步骤是：①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②把常数项移到等式的右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；⑤利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方（3）公式法：适用于解一般形式的一元二次方程。

利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。

注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。

（4）因式分解法：适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、含字母系数的整式方程的解法3、特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，则这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为ab x n -= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

湘教版数学八年级上册1.5《可化为一元一次方程的分式方程的解法》说课稿1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程的解法》是湘教版数学八年级上册1.5节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了分式的基本性质、分式的运算、分式方程的初步知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生掌握如何将分式方程化为整式方程，并运用一元一次方程的解法来求解。

通过这部分的学习，让学生能够解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的分式知识基础，但对于如何将分式方程化为整式方程，以及如何运用一元一次方程的解法来求解，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握将分式方程化为整式方程的方法，以及运用一元一次方程的解法来求解分式方程。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：将分式方程化为整式方程的方法，以及一元一次方程的解法。

2.教学难点：如何引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决分式方程。

2.自主学习：让学生自主探究如何将分式方程化为整式方程。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题方法。

4.教师引导：教师引导学生总结分式方程化简的方法，并讲解一元一次方程的解法。

5.巩固练习：让学生运用所学知识解决一些实际问题。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。