一元二次方程分式方程

解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。

简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。

如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。

●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。

解方程的6个公式方程是数学中的一个基本概念，是指包含未知量的等式。

解方程是求解未知量的过程，是数学学习中的重要内容。

下面将介绍解方程的6个公式及其详细解释。

1. 一元一次方程一元一次方程是最基本的方程，形式为ax+b=c，其中a、b、c均为已知数，x为未知数。

其解法为：将方程两边减去b，得ax=c-b。

将方程两边除以a，得x=(c-b)/a。

特别地，若a=0，则b=c的情况下，方程有无数解；若a=0，b≠c的情况下，方程无解。

2. 一元二次方程一元二次方程是一个二次函数，形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0，a、b、c 均为已知数，x为未知数。

其解法为：利用求根公式，令Δ=b²-4ac，x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。

特别地，若Δ=0，则方程有两个相等的根；若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ<0，则方程有两个共轭复数根。

3. 二元一次方程二元一次方程有两个未知数，可以写为ax+by=c，dx+ey=f，其中a、b、c、d、e、f均为已知数，x、y为未知数。

其解法为：将上式中第一个方程的x消去，得到y=(cf-be)/(ae-bd)。

将上式中第二个方程的x消去，得到y=(af-cd)/(ae-bd)。

4. 多项式方程多项式方程是指包含多个项的方程，可表示为a0+a1x+a2x²+…+an-1x^n=0，其中ai为常数，n为方程的次数，x为未知数。

其解法为：实数情况下，可以采用根据方程次数和系数求解的方法。

另一种解法是复数情况下的代数方法，即使用复数根的概念求解。

5. 分式方程分式方程是含有分式的方程，可表示为f(x)/g(x)=a，其中f(x)、g(x)为多项式，x为未知数，a为已知数。

其解法为：将等式两边乘以g(x)，得到f(x)=ag(x)。

将方程变形为f(x)-ag(x)=0。

将上式进行因式分解，得到[f(x)-ag(x)]/[g(x)]×[g(x)]/[g(x)-ag(x)]=0。

可化为一元二次方程的分式方程的应用题可化为一元二次方程的分式方程是八年级代数的一个重点内容，它的应用题作为初中阶段围绕方程的一系列知识的终结点，是中考的一个主要考察对象，也是一个难点。

本课中的例题及练习题都给出了三种解法，目的是增加解题手段，并附有专门用于解特殊一元二次方程的变形的求根公式，帮你解决困难。

解答中出现的“同类量”是指与所设未知数有相同单位的量，“相关量”是指由已知数据和所设未知数及其同类量能表示的量. 一般情况下，由“相关量”得出方程.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米. 中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.解法1：(直接法)设大客车每小时行驶x 千米，(同类量)中巴车每小时行驶(相关量)大客车跑完全程需,300小时x 中巴车需,20300小时 x 则(x +20)千米,例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法1：).2120300300=+-x x 根据题意, 得去分母, 得600x +1200–600x= x2+20x ,整理得x 2+20x –1200=0,解得x 1=100,x 2= –120.(解法1：)经检验，x1=100, x2= –120都是原方程的根,但速度为负不符合题意,∴只取x=100,这时，100+20=120.答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法2：(间接法)设大客车行驶全程需y 千小时，(同类量)中巴车行驶全程需(相关量)大客车速度为,/300小时千米y 中巴车速度为,)21(小时-y ,/21300小时千米-y 则例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：).2030021300=--y y 根据题意, 得去分母, 得30y –15(2y –1)=2y 2–y ,整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：)经检验，y1=3, y2= –2.5都是原方程的根,但时间为负不符合题意,∴只取y=3,100+20=120.这时，300÷3=100,答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法3：(方程组法)设大客车每小时行驶x 千米，则中巴车每小时行驶(x +20)千米,行驶全程需y 千小时，行驶全程需,)21(小时 y 例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：)①,300=xy 根据题意, 得展开②式, 得把①式代入并化简得∵y ≠0,两边都乘以y,得②.300)21)(20(=-+y x ,300102021=-+-y x xy ,0102021=-+-y x {例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：),01020212=-+-y y xy 再次把①式代入并整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.但时间为负不符合题意, ∴只取y =3,这时，300÷3=100,答：(略.)100+20=120.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.评：本题是四年制代数课本第三册(2002年版)解法1的优点是直接得到所求, 解法2的优点是方程比较容易解, 解法3的优点是不需检验, 第116页例3的“现代版”.缺点是由于得数绝对值大, 因而方程的常数项绝对值也大, 使解方程的难度加大;但必须注意所得结果不是所求, 还需再计算一步;并且适合有两问缺点是解方程组的过程稍麻烦.的题目;课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务. 原计划每天挖多少米?解法1：设原计划每天挖x 米，则(同类量)实际每天挖(相关量)原计划工期为,960天x 实际工期为.20960天 x (x +20) 米，课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法1：).420960960=+-x x 根据题意, 得去分母, 得960x +19200–960x= 4x 2+80x ,整理得x 2+20x –4800=0,解得x 1=60,x 2= –80.(解法1：)经检验，x1=60, x2= –80 都是原方程的根,但工效为负不符合题意,∴只取x=60.答：原计划每天挖60米.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法2：(间接法)设原计划工期为y 天，(同类量)实际工期为(相关量)原计划每天挖,960米y实际每天挖,)4(天-y ,4960米-y 则课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?.209604960=--yy 根据题意, 得去分母, 得960y –(960y –3840)=20y 2–80y ,整理得y 2–4y –192=0,解得y 1=16,y 2= –12.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?经检验，y1=16, y2= –12都是原方程的根,但工期为负不符合题意,∴只取y=16,这时，960÷16=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法3：(方程组法)设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(x +20)米,工期为y 天，工期为,)4(天-y ①,960=xy 根据题意, 得②.960)4)(20(=-+y x {课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?展开②式, 得把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,96080204=-+-y x xy ,0205=+-y x (解法3：),02052=+-x xy x 课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法3：)再次把①式代入并整理得x2+20x–4800=0,解得x1=60,x2= –80.∵工期为负不符合题意,∴只取x=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解法1：设原计划用x 天，则(同类量)实际用了(相关量)原计划每天用煤,350吨x .20350吨 x (x +20) 天,实际每天用煤.220350350=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x 2+20x –3500=0,解得x 1=50,x 2= –70.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，, x1=50, x2= –70都是原方程的根.∵时间为负不符合题意,∴只能取x=50.这时，350÷50=7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法2：(间接法)设原计划每天用y 吨，(同类量)实际每天用(相关量)原计划和实际分别用,350天y ,)2(吨-y .2350天-y 则课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，.203502350=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得y2–2y –35=0,解得y 1=y 2=,7.5-课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，y1=7,y2= –5都是原方程的根.∵每天用量为负不符合题意,∴只能取y=7.这时，350÷7=50.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法3：(方程组法)则实际用了每天用.)2(吨-y (x +20)天,设原计划用x 天，每天用y 吨，①,350=xy 根据题意, 得②.350)2)(20(=-+y x {课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，展开②式, 得,35040220=--+x y xy 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得③,01020=-+y x ,03500202=-+x x 课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解得x 1=50,x 2= –70.代入③式, 得y 1=y 2=,7.5 ∵负数不符合题意，舍去.∴{x =50,y =7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作,6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作各需多少天完成?解法1：设乙班单独工作需x 天完成，则(同类量)甲班单独工作需(相关量)两班的效率分别为,1x.51 x (x –5) 天,.61151=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x2–17x +30=0,解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作经检验，, x1=15, x2=2都是原方程的根.当x=15 时, x–10=5.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意,∴只能取x=15.答：单独工作甲班需10小时完成，乙班需15小时.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法2：(间接法)设乙班的效率为y ，(同类量)甲班的效率为(相关量)单独完成工作两班分别需要,611天y -),61(y -.1天y 则课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：).56111=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得30y2–17y +1=0,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解得y 1=y 2=,151.21(解法2：)经检验，y 1=y 2= 都是原方程的根.,15121,151时当=y ,151=y =-y 611.10课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：)答：(略.),41时当=y ,3611,21-=-=y y.,舍去不合题意课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法3：(方程组法)则甲班需每天完成).61(y 设单独工作乙班需x 天完成，乙班的每天完成的工作量为y ，(x –5)天,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作①,1=xy 根据题意, 得②.1)61)(5(=--y x {展开②式, 得,156561=+--y xy x 课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,03017=+-y x ,030172=+-x x 解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法3：)当x=15 时, x–5=10.当x=2 时, x–5= –3.∵时间不能是负数,∴只能取x=15.答：(略.)课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作, 10天以后,甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成.如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天. 求各组单独完成这项工作所需的天数.解法1：设单独完成工作乙组需x 天，则(同类量)单独完成甲组需(相关量)两组的效率分别为,1x .41 x (x –4) 天,.112410=+-xx 根据题意, 得去分母并整理得x 2–26x +48=0,解得x 1=24,x 2=2.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.经检验，, x1=24, x2=2都是原方程的根.当x=24 时, x–4=20.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意, ∴只能取x=24.这时，x–4=20.答：单独完成, 甲组需20天，乙组需24天.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法2：(间接法)设乙组的效率为y ，(同类量)甲组的效率为(相关量)单独完成分别需,12110天y -,10121y -.1天y则课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：).4121101=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得48y2–26y +1=0,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解得y 1=y 2=,241.21(解法2：)经检验，y 1= y 2= 都是原方程的根.,24121,241时当=y ,241=y .2012110=-y课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：)答：(略.),21时当=y .,,212110,21舍去不合题意-=-=yy 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法3：(方程组法)则甲组需每天完成.10121y 设单独完成工作乙组需x 天，乙组每天完成的工作量为y ，(x –4)天,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.①,1=xy 根据题意, 得②.110121)4(=--y x {(解法3：)展开②式并整理, 得,0144812=-+-y xy x 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,04826=+-y x ,048262=+-x x 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.。

分式方程与一元二次方程应用（20题）一．分式方程1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？二、一元二次方程6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．8．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？。

中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、不等式的相关概念 1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或a c ＞bc ）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c ＜b c）． 要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号.概念 基本性质不等式的定义 不等式的解法 一元一次不等式 的解法一元一次不等式组 的解法 不等式 实际应用 不等式的解集（2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b ＞0(a ≠0)或ax+b ≥0(a ≠0) ，ax+b ＜0(a ≠0)或ax+b ≤0(a ≠0)． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 不等式组 （其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b>⎧⎨<⎩ ba无解 （空集） （大大、小小 找不到）5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．要点诠释：列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数(0)y kx b k =+≠，当函数值0y =时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值0y ＞或0y ＜时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围.【典型例题】类型一、解不等式（组）1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x ﹣1＜3x+2 （2）．举一反三：【变式】131321≤---x x 解不等式：.2．解不等式组352,1212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩并将其解集在数轴上表示出来.举一反三：【变式1】解不等式组312(1)2(1)4x x x x +≥-⎧⎨+>⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式2】解不等式组24x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩（x-1）+33x x-2＞3，并写出不等式组的整数解；类型二、一元一次不等式（组）的特解问题3．若不等式组的正整数解有3个，那么a 必须满足（ ） A ．5＜a ＜6 B ．5≤a＜6 C ．5＜a≤6 D ．5≤a≤6举一反三：【变式1】关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．【变式2】若不等式-3x+n ＞0的解集是x ＜2，则不等式-3x+n ＜0的解集是_______．类型三、一元一次不等式（组）的应用4．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元．举一反三：【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，•那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？产品每件产品的产值甲 4.5万元乙7.5万元类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【巩固练习】一、选择题1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D2．若实数a＞1，则实数M=a，N=23a+，P=213a+的大小关系为（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A ，B两点，则不等式kx+b＞0•的解集是（）A．x＞0 B．x＞2 C．x＞-3 D．-3＜x＜24．如果不等式213x++1＞13ax-的解集是x＜53，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a=5 C．a＞-5 D．a=-55．已知整数x满足是不等式组，则x的算术平方根为（）A．2 B．±2 C． D．46．不等式组3(2)423xa xxx+--≤⎧>⎪⎨⎪⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1二、填空题7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__ ____．8．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m= ．9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__ ____．10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____ __．11．满足22x+≥213x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____．12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．三、解答题13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥354x-．（2）解不等式组14. 若0231<-+x x ，求x 的取值范围．15．某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为24b b acx -±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x +=举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．类型二、分式方程 3．解分式方程：=﹣．举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x ++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B. C. D.举一反三： 【变式】若关于x 的方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 . 11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？。

一元二次方程与分式方程适用学科数学 适用年级 初中三年级 适用区域上海 课时时长（分钟） 120分钟 知识点1.一元二次方程2.分式方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念；2.掌握一元二次方程的解法；3.掌握一元二次方程根的判别式并能灵活运用；4.理解分式方程的概念；5.掌握一元二次方程和分式方程的实际应用。

教学重点 1.解一元二次方程；2.一元二次方程根的判别式；3.解分式方程。

教学难点1.配方法解一元二次方程；2.一元一次方程与二元一次方程组的实际应用。

教学过程：一、复习预习教师引导学生上一节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2.一元二次方程的解法（1）直接开方法：形如20(0,0)ax c a c +=≠≠的一元二次方程的解法： 2ax c =-，2c x a=-. 当0ac <时，c x a=±-. 当0ac >时，此方程无实数解.（2）配方法①把原方程化成20x px q ++=的形式；②移项整理得2x px q +=-；③在方程2x px q +=-的两边同加上一次项系数p 的一半的平方：222()()22p p x px q ++=-+ ④用直接开平方法解方程22()24p p x q +=-. （3）公式法（求根公式：242b b ac x a-±-=） ①把方程化成一般形式，并写出a b c 、、的值；②求出24b ac -的值； ③代入求根公式：224(0,40)2b b ac x a b ac a-±-=≠-≥； ④写出方程的解：12?,?x x ==.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，其中24b ac ∆=-叫做一元二次方程根的判别式，其中：① 240b ac ∆=->⇒有两个不相等的实数根；② 240b ac ∆=-=⇒有两个相等的实数根；③ 240b ac ∆=-<⇒没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x 、，那么1212,.b c x x x x a a+=-= 以两个数12x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x -++=.分式方程容易犯的错误主要有：（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘；（2）约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号；（3）增根没有舍掉；解分式方程的一般步骤：①方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程②这个整式方程；③主要的概念：（1）方程的概念含有未知数的等式叫方程。

第五讲：可化为一元二次方程的分式方程解分式方程有三步：第一步：去分母，化分式方程为整式方程. 第二步：解整式方程.第三步：验根.把整式方程的根中不适合分式方程的舍去.验根的方法是把变形后求得的 形式方程的根代入去分母时所乘的整式，如果使这个整式等于0，就是增根)去分母的关键是找出各分母的最简公分母.由于去分母过程是在方程两边乘以含未知数 的整式(最简公分母)，当此乘式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此从第二步解出的整 式方程的根就不一定是原分式方程的根，所以必须验根.方程两边都乘以(x+2)(x-2),约去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，整理后，得x 2- 3x+2=0,解这个方程，得x 1=1,x 2=2.检验：把x=1化入最简公分母，它不等于0，所以x=1是原方程的根；把x=2代入最简公分母，它等于0，所以x=2是增根. 因此原方程的根是x=1.解：把各个分母分解因式，并求出最简公分母方程两边都乘以最简公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3),得2(2x-1)-(2x+1)+(2x-5)(2x-3)=0, 整理，得 4x 2-14x+12=0,2x 2-7x+6=0,x 1=2,x 2=23把x=2代入最简公分母，所得的值不为零；把x=23代入最简公分母，所得的值为零，所以x=23是增根. 答：原方程的根是x=2.分析：(1)这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以(x+1)(x2+1),所得到的将是一个难题的四次方程.所以，要考虑别的解法.(2) 观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子互为倒数.(3) 由于具有倒数关系，如果设，原方程就可变形为①，此方程去分母可化为一元二次方程2x2-7y+6=0.从中解出y，再解出x.因此，原分式方程可用换元法来解.方程的两边都乘以y,约去分母，得2y2-7y+6=0.检验：把分别原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根.换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法.它的基本思想是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把原方程的形式简化.例4 解分式方程：经过检验，这四个根都适合.所以原分式方程的解是例5 解关于x的方程：解：方程两边都乘以最简公分母abx(a+b+c)去分母，得bx(a+b+x)+ax(a+b+x)+ab(a+b+x)=abx.整理得 (a+b)x2+(a+b)2x+ab(a+b)=0. ①(1) 当a+b≠0时，x2+(a+b)x+ab=0,x1=-a,x2=-b.(2) 当a+b=0时，方程①中的x≠0.(否则a+b+x=0,使原方程等号右边的分式母为零)经检验可知，当a+b≠0时，原方程的解是x1=-a,x2=-b;当a+b=0时，原方程的解是一切非零实数.说明：当a+b=0时，检验的方法是x=t(t≠0)，代入原方程解字母系数的方程应注意对字母的取值予以讨论.(A) 0个 (B) 1个 (C)2个 (D) 无数多个分析：去分母，得4+2(x+3)2=(x-1)(x+3),整理得x2+10x+25=0,得x1=x2=-5.对朱方程业说，分式方程不计次数，应算一个根.所以选(B).例7 判断下面的解分式方程过程是否正确?解：方程两边通分，得因为分子相等，所以分析：上面的解法错误地认为：“相等的两个分式，如果分子相等，则分母必相等”，事实上，时分子相等，但分母3与5并不相等.正确的解法是：.分析：若用最简公分母(x2+11x-8)(x2+2x-8)(x2-13x-8)乘方程两边，得(x2+2x-8)(x2- 13x-8)+(x2+11x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2+2x-8)=0.式中每项的两个括号之积都是4次式，运算起来很复杂.我们发现每个括号里都含用x2-8,如果令y=x2-8,即把2次式降为1次式，于是①式中每项的两个括号之积都降为2次式，可使运算简便些.解令y=x2-8，则原方程转化为去分母，得 (y+2x)(y-13x)+(y+11x)(y-13x)+(y+11x)(y+2x)=0.去括号，整理得 y2-49x2=0,(y+7x)(y-7x)=0.所以y1=-7x,y2=7x.(1)当y1=-7x时，得x2-8=-7x.即 x2+7x-8=0,x1=-8,x2=1;(2)当y2=7x时，得x2-8=7x.即x2-7x-8=0.x3=8,x4=-1.经过检验，可知这四个根都是适合原方程.答：原方程的根是x1=-8,x2=1,x3=8,x4=-1.练习题： 1.解下列方程：2.用换元法解下列方程：.3.解下列关于x的方程：.4.解方程.答案或提示。

初中数学总复习一元二次方程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是 （其中 、 ） 它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根；一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2(40)b ac -≥ 注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．4．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．5．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；6．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】 类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x - 看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=……①， 解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x ∴=，2x ∴=±当4y =时，214x -=，25x ∴=，5x ∴=12x =22x =-35x =45x =-解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程4260x x --=．【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设2x y =，那么原方程可化为260y y --= 解得13y =；22y =-当3y =时，23x =；3x ∴=±当2y =-时，22x =-不符合题意，舍去． 所以原方程的解为13x =，23x =-．【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例3】 【变式】设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值. 【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将4)2(222-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． 【答案与解析】∵)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．∵2222222222244444)2(aab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴4222==a b a ab【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根， ∴2(3)4()k ---＞0．即49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=． 解得，1352x +=，2352x -=． （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为代入原方程求解较为简单.【答案与解析】原方程变为经检验，是原方程的根.【总结升华】因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三： 【变式1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得解得经检验：是原方程的根.【变式2】解方程：7643165469222x x x x x x ----+=--+ 【答案】 设，则原方程可化为：k x x =-+265793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320当时，k x x =--=126702()()x x -+=710解之得：，x x 1217=-=当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+=解此方程此方程无解.1217x x =-=经检验：，是原分式方程的根.4．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以，得整理，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1.【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，由题意得1000550 240x x=-，解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝ 30，④－②×，得＝，即x ＝ 10，④－③×，得＝，即y＝ 15．经检验，x＝ 10，y＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。