三角级数 -
三角级数 形如的级数称为正交函数级数，其中сn是和x无关的实数,{φn(x)}是在某固定区间【α,b】上正交的函数系,特别当正交函数系是【0,2π】上的三角函数系时，相应的级数可写作
(1)
称为三角级数。 式中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数(1)的系数。
三角级数(1)还可以写成下面复数形式的级数：
(2)
式中系数 （叿n表示сn的共轭复数）。级数(2)的部分和Sn理解为
如果三角级数(1)对一切实数x都收敛,那么(1)表示了实数轴上的一个周期为2π周期函数ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)对一切x∈(- ∞，∞)都成立。这是因为(1)中每一项都是周期为2π的周期函数。但是实际问题往往是，对给定的函数ƒ，如果它是具有周期2π的周期函数,需要把它表示成三角级数(1)。19世纪初,法国科学家J.-B.-J.傅里叶在研究热的流动时，为了求解热方程，首先就提出了这个想法。他的设想，虽然从现在的观点看，缺乏理论的严谨性，但却是人们对三角级数进行研究的出发点，对于近代数学以及物理、工程等许多学科都有着深远的影响。
如果三角级数(1)一致收敛于连续函数ƒ(x),那么用coskx或sinkx去乘级数(1)，再在区间(0,2π)上进行积分，注意到逐项积分的可能性，就得到系数αn,bn与函数ƒ的关系式：
(3)
公式(3)表达的系数αn,bn称为函数ƒ的傅里叶系数，以ƒ的傅里叶系数为系数的三角级数就称为ƒ的傅里叶级数。上面的事实说明：一致收敛于函数ƒ的三角级数必为ƒ的傅里叶级数。
对于给定的周期函数ƒ(x)，如果ƒ是可积的,那么从(3)式仍然可以得到αn，bn，从而得到相应的傅里叶级数(1)。这就建议人们去研究ƒ 的傅里叶级数是否收敛于ƒ以及有关的许多问题。从19世纪到现在,傅里叶级数的理论逐步得到建立，已成为三角级数理论中的一个基础分支，也是一个具有广泛应用的工具学科（见傅里叶级数）。
- 1 - 三角正交函数系
三角正交函数系是指由三角函数$sin(nx)$和$cos(nx)$组成的函数系，其中 $n$ 为正整数。它们满足以下性质：
1. 任意两个不同的函数在 $[-pi,pi]$ 上的内积都为 $0$。
2. 每个函数在 $[-pi,pi]$ 上的平方积分为 $pi$。
3. 任意一个周期为 $2pi$ 的函数 $f(x)$ 都可以表示为三角函数的线性组合：$$ f(x) = a_0 + sum_{n=1}^infty (a_n cos(nx)
+ b_n sin(nx))$$ 其中系数 $a_0, a_n, b_n$ 可以通过函数
$f(x)$ 在 $[-pi,pi]$ 上的积分计算得到。
三角正交函数系在数学和物理中都有广泛应用。在傅里叶级数的推导中，三角正交函数系起到了重要的作用。在物理学中，三角正交函数系可以用来表示振动、波动等自然现象。
第十5章 傅里叶级数
1傅里叶级数
一、三角级数·正交函数系
概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.
常用几个简谐振动yk=Aksin(kωx+φk), k=1,2,…,n的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=n1kky=n1kkk)φ+ xsin(kωA，其周期为T=ω2π.
若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A0+1nnn)φ+ xsin(nωA收敛，
当ω=1时，sin(nx+φn)=sinφncosnx+cosφnsinnx，所以
A0+1nnn)φ+sin(nxA= A0+1nnnnnsinnx)cosφA+cosnxsinφ(A，
记A0=2a0，Ansinφn=an，Ancosφn=bn，n=1,2,…，则该级数可以表示为：
2a0+1nnnsinnx)b+cosnx(a. 它是由三角函数列(或称为三角函数系)
1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.
定理15.1：若级数2a0+1nnn|)b||a(|收敛，则三角级数
2a0+1nnnsinnx)b+cosnx(a在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证：对任何实数x，∵|ancosnx+bnsinnx|≤|an|+|bn|，
由魏尔斯特拉斯M判别法得证.
概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且baφ(x)ψ(x)dx=0，则
称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.
注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质：
1、所有函数具有共同的周期2π；
2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：ππ-cosnxdx=ππ-sinnxdx=0；ππ-cosmxcosnxdx=0 (m≠n)；ππ-sinmxsinnxdx=0 (m≠n)；ππ-cosmxsinnxdx=0 (m≠n).
第十五章 Fourier级数
教学目的：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier级数是为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier级数和Fourier级数的收敛定理。
教学重点难点：本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数；难点是Fourier级数的收敛性的判别。
教学时数：10学时
§ 1 Fourier级数
一． 三角级数与正交函数系.
1． 背景：
⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 ( ) . 倍频.
⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .
⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:
调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础. 2. 三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 .
由于 ,
设 , 得三角级数的一般形式
3. 三角级数的收敛性:
Th1 若级数收敛 , 则级数在R 内绝对且一致收敛 .
证用M判别法.
4.三角函数正交系统:
（ 1. ）内积和正交: 由R中的内积与正交概念引入.
设函数和在区间上 ( R)可积 . 定义内积为
.
当时 , 称函数和在区间上正交 . 函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的 .
（2）.正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 .
三角函数系统
是区间上的正交系统 . 验证如下:
,
;
,
对且,有
和.
该系统不是标准正交系 , 因为
, .
因此 , 三角函数系统
是标准正交系. （与R中的坐标系比较）
二. 以为周期函数的Fourier级数：
