第十二章 傅氏级数 三角函数系及其正交性

2为周期的函数 F(x) , 则
y
o
x
a0
1



F(x)d x
1



f
(x)d x

2


x2 2


0

an

1



F (x) cos nx d x

1



f (x) cos nx dx
2


x
sin n
nx

cos nx n2



f
(x)dx

a0 2

d

x

n1
an

cos

nx
dx

bn

sin

nx
dx

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a0

1



f
( x) d
x


f
(x) cos kx dx

a0 2


cos kx dx

n1an


cos
k
x
sin
nx
dx

0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有

11dx

2
cos2 n x dx




sin 2
nx
dx


cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx

无穷级数
二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1 (1) 求a0 . a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
2 bn f ( x ) sin nxdx ( n 1, 2,) 0 傅里叶级数 bn sin nx 称为正弦级数.
n 1
26
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第十二章
无穷级数
当周期为 2 的偶函数 f ( x ) 展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 2 an f ( x ) cos nxdx ( n 0,1, 2,) 0 bn 0 ( n 1, 2,)
0, m n , sin mx sin nxdx , m n

0, m n , cos mx cos nxdx , m n

sin mx cos nxdx 0.

(其中m, n 1,2,)
4
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第十二章
5
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第十二章
无穷级数
a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx 2 k 1 k 1 1 a0 a 0 f ( x )dx 2 , 2
( 2) 求an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
2

y
0

n 1
(谐波迭加)
A n sn c in n t o A n c s n s o n t is n
令
a0 2
A0,
a n A n sin n ,b nA nco n ,s tx
得函数项级数 a 2 0k 1(a nco nx sb nsinx n )
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f(x ) a 2 0 n 1 (a ncn o x s b nsn i) nx ①
右端级数可逐项积分, 则有
a b n n 1 1 π π π π f f( ( x x ) ) c sn n io d d n x x x x s ( ( n n 1 0 ,,2 1 , , ) ) ②
证: 由定理条件, 对①在 [π,π]逐项积分, 得
π π f( x ) d x a 2 0 π π d x n 1 a n π π cn x o d x b s n π π sn x id x n
a0π
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a0 1 π πf(x)dx
πf( x ) ck o x d x s a 0π ck o x d x s
π
2 π
n 1
an π πco kxc so nxd sxbn ππco kxsinx ndx
ak ππco2ksxdxak π
(利用正交性)
a k 1 π π πf(x )ck o x d x s(k 1 ,2 , )
1 consnx01 consnx0n21cons
n21(1)n
4 n
0,
,
当 n 1 ,3 ,5 , 当 n 2 ,4 ,6 ,

2
2
224
五、正弦级数和余弦级数
f
(x)
~
a0 2
an
n1
cos nx
bn
sin nx
f f
(x) , (x 0)
2
f
(x
0)
,
x 为连续点 x 为间断点
an
1
f (x) cos nxdx
(n 0,1, )
bn
1
f (x)sin nxdx
(n 1, 2, )
25
1. 周期为 2 的奇、偶函数的傅立叶级数
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ; (2) 在一个周期内只有有限个极值点 ;
则 f (x) 的傅立叶级数收敛 , 且有
a0
2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
f (x) ,
f (x 0)
f
(x 0)
,
x 为连续点
注意德: 国
3
5
(7 t , t 0)
7
二. 三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动: y Asin( t ), (谐波函数)
其中 A 为振幅， 为角频率， 为初相.
复杂的周期运动 :y A0 An sin(n t n ) n1 (谐波迭加)
An sin(n t n ) An sinn cos n t An cosn sin n t
a0
1
F (x)dx 1
f (x)dx 2
x dx
0
2
x2 2
0
an
1