2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库：第6章 第3讲 等比数列及其前n项和 Word版含解析]

第3讲 等比数列及其前n项和

一、选择题

1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )

A．1 B．－1

C．±1 D.12

解析 设等比中项为x，

则x2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.

答案 C

2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )．

A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)

C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.

答案 D

3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝( )．

A．2 B.12 C．2或12 D．3

解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，

化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.

答案 A

4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝

( )．

A．8 B．15(2＋1)

C．15(2－1) D．15(1－2)

解析 ∵a2a6＝a24＝8，∴a21q6＝8，∴q＝2，∴S8＝1－q81－q＝15(2＋1)．

答案 B

5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为( )．

A．4 B．5 C.45 D.15

解析 ∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知45t2＝15t－15·4t，显然t≠0，所以t＝5.

答案 B

6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为 ( )．

A.12 B.32 C．1 D．－32

解析 因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝3π3.

log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a74＝7log33π3＝7π3，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝32.

答案 B

二、填空题

7．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．

解析 设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，t＋1，3t＋2}故q的最小值是33.

答案 33

8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，

所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.

答案 4n－1

9．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．

解析 由已知可得a1＝f(1)＝12，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝122，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝123，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝12n，

∴Sn＝12＋122＋123＋…＋12n

＝121－12n1－12＝1－12n，

∵n∈N*，∴12≤Sn<1.

答案 12，1

10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列12an为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－nn－12d；④若d>0，则Sn一定有最大值．

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析 对于①，注意到12an＋112an＝12an＋1－an＝12d是一个非零常数，因此数列12an是等比数列，①正确．对于②，S13＝13a1＋a132＝13a2＋a122＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋nn－12d＝n[an－(n－1)d]＋nn－12d＝nan－nn－12d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋nn－12d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.

答案 ①②③

三、解答题

11．已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.

(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

解 (1)证明 因为an＝13×13n－1＝13n，Sn＝131－13n1－13＝1－13n2，所以Sn＝1－an2.

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋2.所以{bn}的通项公式为bn＝－nn＋2.

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{bn}的通项公式．

(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ①

∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，

∴an＋1－1an－1＝12.

∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.

∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.

∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．

(2)解 由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，

∴an＝cn＋1＝1－12n.

∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1

＝12n－1－12n＝12n.

又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.

13．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}唯一，求a的值．

解 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．

即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.

所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.

(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，

由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．

由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，

代入(*)得a＝13.

14．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.

(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.

解 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，

∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．

∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，

∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．

(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)

＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)

＝4n－13＋1＋nn2.