高考数学总复习：第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词学习要求:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的①充分条件,q是p的②必要条件p是q的③充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的④必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的⑤充要条件p⇔qp是q的⑥既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“⑦∀”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“⑧∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题(命题p的否定记为¬p,读作“非p”)名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x,使p(x)成立简记⑨∀x∈M,p(x)⑩∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M ,¬p(x)知识拓展1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B).2.A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题. ()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)✕(3)√(4)√2.(新教材人A必修第一册P34复习参考题1T5改编)设a,b∈R且ab≠0,则“ab>1”是“a>1”的()bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.(新教材人A必修第一册P30例4改编)命题“∃x0∈N,b02≤0”的否定是.答案∀x∈N,x2>04.(新教材人A必修第一册P31习题1.5T3改编)命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是.答案∃x0∈R,b02+x0+1≤05.(易错题)若命题“∃t0∈R,b02-2t0-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,-1]解析易错原因:理解存在量词命题出现错误,写命题的否定时出错.命题“∃t0∈R,b02-2t0-a<0”是假命题,等价于∀t∈R,t2-2t-a≥0是真命题,∴Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.全称量词命题与存在量词命题典例1(1)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为()A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f (x )∈A ,|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ,|f (x )|∉B(2)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )=(12)b-m ,若∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是 .答案 (1)C (2)[14,+∞)解析 (1)全称量词命题的否定为存在量词命题:改写量词,否定结论, ∴¬p :∃f (x )∈A ,|f (x )|∉B.(2)∵∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2), ∴f (x )min ≥g (x )min .当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0, 当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m , 由f (x )min ≥g (x )min , 得0≥14-m ,∴m ≥14.◆变式探究 若将本例(2)中条件“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”,则实数m 的取值范围是 .答案 [12,+∞)解析 ∵∀x 1∈[0,3],∀x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),∴f (x )min ≥g (x )max . 当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )max =g (1)=12-m , 由f (x )min ≥g (x )max ,得0≥12-m ,∴m ≥12.名师点评1.否定全称量词命题或存在量词命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.2.判定全称量词命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可.3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值求解.1.已知f(x)=x-sin x,命题p:∃x∈(0,π2),f(x)<0,则()A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x∈(0,π2),f(x)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x∈(0,π2),f(x)≥0答案A因为f'(x)=1-cos x>0,x∈(0,π2),所以函数f(x)=x-sin x在(0,π2)上单调递增,则0=f(0)<f(x)<f(π2)=π2-1,所以命题p是假命题,其否定为¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0,故选A.2.若“∀x∈[-π4,π3],m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为.答案 1充分、必要条件的判断典例2(1)已知a,b为正实数,则“a>1,b>1”是“lg a+lg b>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020北京理,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)A(2)C解析(1)∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,∴lg a+lg b>0,即充分性成立;若lg a+lg b>0,则{lg(bb)>0,b>0,b>0,∴{bb>1,b>0,b>0,即必要性不成立.故选A.(2)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转换法:利用p⇒q与¬q⇒¬p,p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系进行判断,对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法.1.(2019北京石景山一模,6)已知平面向量a=(k,2),b=(1,k),k∈R,则“k=√2”是“a与b同向”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2020天津理,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A充分、必要条件的应用典例3 设p :|4x -3|≤1;q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A.[0,12] B.(0,12)C.(-∞,0)∪[12,+∞) D.(-∞,0)∪(12,+∞)答案 A 设A ={x ||4x -3|≤1},B ={x |x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0}. 由|4x -3|≤1,得12≤x ≤1,故A ={b |12≤b ≤1}.由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0, 得a ≤x ≤a +1,故B ={x |a ≤x ≤a +1}.所以¬p 所对应的集合为∁R A ={b |b <12或b >1}, ¬q 所对应的集合为∁R B ={x |x <a 或x >a +1}. 由¬p 是¬q 的必要不充分条件,知∁R B ⫋∁R A ,所以{b ≤12,b +1>1或{b <12,b +1≥1,解得0≤a ≤12.故实数a 的取值范围是[0,12].名师点评根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解;(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.若关于x 的不等式|x -1|<a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(3,+∞) D.[3,+∞) 答案 D2.设p :|2x +1|<m (m >0);q :b -12b -1>0.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (0,2]逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题1.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x ,g (x )=196x -13,若对任意x 1∈[-1,1],总存在x 2∈[0,2],使得f'(x 1)+2ax 1=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .答案 [-2,0]解析 由题意知,g (x )在[0,2]上的值域为[-13,6].令h (x )=f'(x )+2ax =3x 2+2x -a (a +2)(x ∈[-1,1]), 则h'(x )=6x +2,由h'(x )=0得x =-13.当x ∈[-1,-13)时,h'(x )<0;当x ∈(-13,1]时,h'(x )>0, 所以h (x )min =h (-13)=-a 2-2a -13.又由题意可知,h (x )的值域是[-13,6]的子集,所以{b (-1)≤6,-b 2-2b -13≥-13,b (1)≤6,解得实数a 的取值范围是[-2,0].2.已知函数f (x )=x +4b ,g (x )=2x+a ,若∀x 1∈[12,1],∃x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是 .答案 [12,+∞)逻辑推理的关键要素:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.已知函数f (x )={2b 3b +1,b ∈(12,1],-13b +16,b ∈[0,12],函数g (x )=k sin πb 6-2k +2(k >0),若存在x 1∈[0,1],x 2∈[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数k 的取值范围.解析 由题意,易得函数f (x )的值域为[0,1],g (x )在[0,1]上的值域为[2-2b ,2-3b 2],并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k >1或2-32k <0,解得0<k <12或k >43,所以要使两个值域有公共部分,k 的取值范围是[12,43].A 组 基础达标1.(2020北京八中高三月考)已知命题p :∀x ∈R +,ln x >0,那么命题¬p 为 ( ) A.∃x ∈R +,ln x ≤0 B.∀x ∈R +,ln x <0 C.∃x ∈R +,ln x <0 D.∀x ∈R +,ln x ≤0答案 A 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p :“∀x ∈R +,ln x >0”的否定¬p 为“∃x ∈R +,ln x ≤0”.2.下列命题中,真命题是 ( )A.∃x 0∈R,e b 0≤0B.∀x ∈R,2x >x 2C.“a +b =0”的充要条件是“bb =-1” D.“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D 因为y =e x>0,x ∈R 恒成立,所以A 不正确;因为当x =-5时,2-5<(-5)2,所以B 不正确;“bb =-1”是“a +b =0”的充分不必要条件,C 不正确;当a >1,b >1时,显然ab >1,D 正确. 3.已知a ,b 是两条不同的直线,α是平面,且b ⊂α,那么“a ∥α”是“a ∥b ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D 由b ⊂α,a ∥α,得a ∥b 或a 与b 异面,故充分性不成立;由b⊂α,a∥b,得a∥α或a在α内,故必要性不成立.故“a∥α”是“a∥b”的既不充分也不必要条件,故选D.4.(2020北京西城高三一模)设a,b为非零向量,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a与b共线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若|a+b|=|a|+|b|,则a与b共线,且方向相同,充分性成立;当a与b共线,方向相反时,|a+b|≠|a|+|b|,故必要性不成立.5.(2020北京昌平高三期末(理))若∃x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是()A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1答案B由题意可知,∃x≥0,使a≥2x+x,则a≥(2x+x)min.由于函数y=2x+x(x≥0)在定义域内单调递增,故当x=0时,函数取得最小值20+0=1,所以实数a的取值范围是a≥1.6.已知直线m⊥平面α,则“直线n⊥m”是“n∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B当m⊥α且n⊥m时,可以得到n∥α或n⊂α,因为直线n与平面α的位置关系不确定,所以充分性不成立.当n∥α时,过直线n可作平面β,设平面β与平面α交于直线a,则有n∥a.又因为m⊥α,所以m⊥a,所以m⊥n,所以必要性成立.故选B.)=0,则“不等式7.(2020北京第五中学高三模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(12}”的()f(log4x)>0的解集”是“{b|0<b<12A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件)=0,答案C∵定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(12),∴f(log4x)>0,即f(|log4x|)>f(12即|log 4x |>12,即log 4x >12或log 4x <-12,解得x >2或0<x <12,∴{b |b >2或0<b <12}是{b |0<b <12}的必要不充分条件. 8.设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为x 2-b 24=1”是“C 的渐近线方程为y =±2x ”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 由C 的方程为x 2-b 24=1,可知曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线,且a =1,b =2,则C 的渐近线方程为y =±bb x =±2x ,即充分性成立;若双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,则双曲线C 的方程为x 2-b 24=λ(λ≠0),故必要性不成立.故选A.9.(2019北京丰台二模,4)已知i 是虚数单位,a ∈R,则“a =1”是“(a +i)2为纯虚数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 由于(a +i)2=a 2+2a i+i 2=(a 2-1)+2a i 为纯虚数,则{b 2-1=0,2b ≠0,解得a =±1,所以“a =1”是“(a +i)2为纯虚数”的充分而不必要条件.故选A .10.已知不等式|x -m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12,则m 的取值范围是 .答案 [-12,43]解析 解不等式|x -m |<1,得m -1<x <m +1.由题意可得(13,12)⫋(m -1,m +1),故{b -1≤13,b +1≥12,且等号不同时成立,解得-12≤m ≤43.B 组 综合提升11.设p :2b -1b -1≤0,q :x 2-(2a +1)x +a ·(a +1)<0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.(0,12) B.[0,12)C.(0,12] D.[12,1)答案 B 令A ={b |2b -1b -1≤0},则A =[12,1). 令B ={x |x 2-(2a +1)x +a (a +1)<0},则B =(a ,a +1). ∵p 是q 的充分不必要条件,∴A ⫋B ,则{b <12,b +1≥1,解得0≤a <12,故实数a 的取值范围是[0,12),故选B .12.(2019北京海淀二模,7)已知函数f (x )=sin ωx (ω>0),则“函数f (x )的图象经过点(π4,1)”是“函数f (x )的图象经过点(π2,0)”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若函数f (x )的图象经过点(π4,1),则有f (π4)=sin πb 4=1,从而πb 4=π2+2k π(k ∈N),解得ω=2+8k (k∈N).若函数f (x )的图象经过点(π2,0),则有f (π2)=sinπb 2=0,从而πb 2=k π(k ∈N *),解得ω=2k (k ∈N *).因为{ω|ω=2+8k ,k ∈N}⫋{ω|ω=2k ,k ∈N *},所以“函数f (x )的图象经过点(π4,1)”是“函数f (x )的图象经过点(π2,0)”的充分而不必要条件.故选A .13.(2019北京东城一模,7)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“V 1,V 2相等”是“S 1,S 2总相等”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B14.设m ∈R 且m ≠0,则不等式m +4b >4成立的一个充分不必要条件是 ( )A.m >0B.m >1C.m >2D.m ≥2 答案 C 当m <0时,不等式m +4b >4不成立;当m >0时,m +4b≥2√b ·4b=4,当且仅当m =4b,即m =2时取等号.∴当m +4b >4时,m 的取值范围为(0,2)∪(2,+∞),故排除A 、B 、D .C 选项,m >2时,m +4b >4成立,即充分性成立,由上述可知必要性不成立,故C 选项满足题意.C 组 思维拓展15.给出下列四个命题:p 1:对任意x ∈R,2x >0; p 2:存在x ∈R,x 2+x +1≤0; p 3:对任意x ∈R,sin x <2x ; p 4:存在x ∈R,cos x >x 2+x +1.其中的真命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 3C.p 3,p 4D.p 1,p 2 答案 A ∀x ∈R,2x>0恒成立,p 1是真命题. 由x 2+x +1=(b +12)2+34>0恒成立,知p 2是假命题.由sin (-3π2)=1>2-3π2,知p 3是假命题.当x =-12时,cos (-12)>cos (-π6)=√32,x 2+x +1=34<√32,故p 4为真命题.综上,p 1,p 4为真命题,p 2,p 3是假命题.16.能说明“若a >b ,则1b <1b ”为假命题的一组a ,b 的值依次为 .答案2,-1(答案不唯一,只需a>0,b<0即可)。
