合情推理与演绎推理
最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
知识梳理
1.合情推理
类型定义特点
归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事
物的全部对象都具有这种性质的推理
由部分到整体、
由个别到一般
类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类
事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理
由特殊到特殊
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
[微点提醒]
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
解析(1)类比推理的结论不一定正确.
(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案(1)×(2)√(3)×(4)×
2.(选修1－2P35A4改编)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为( )
A.当n≥2时，2n≥n2
B.当n≥3时，2n≥n2
C.当n≥4时，2n≥n2
D.当n≥5时，2n≥n2
解析当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2nn2；归纳判断，当n≥4时，2n≥n2.故选C.
答案 C
3.(选修1－2P35A6改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________.
解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*).
答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)
4.(2019·淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x
)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0
0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
解析大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选A.
答案 A
5.(2018·大连模拟)数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.
解析由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.
答案32
6.(2019·西安二模)将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________.
解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.
答案91
考点一归纳推理多维探究
角度1 与图形变化有关的推理
【例1－1】(2018·石家庄模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________.
解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55. 答案55
角度2 与数字或式子有关的推理
【例1－2】(2019·安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，……，以此类推，则标 2 0192的格点的坐标为( )
A.(1 010，1 009)
B.(1 009，1 008)
C.(2 019，2 018)
D.(2 018，2 017) 解析点(1，0)处标1，即12；点(2，1)处标9，即32；点(3，2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 019时，n＝1 009，故标2 0192的格点的坐标为(1 010，1 009).故选A.
答案 A
规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型解题策略
与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
【训练1】 (1)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2 018个图形用的火柴根数为( )
A.2 014×2 017
B.2 015×2 016
