【师说】高中数学 第2章 第12课时 直线与平面垂直的判定课时作业 新人教A版必修2
- 格式：doc
- 大小：731.00 KB
- 文档页数：5
课时作业(十二) 直线与平面垂直的判定
A组 基础巩固
1.烟台高一评估空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
解析：
取BD的中点E，连接AE，CE.
可证BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，
即得BD⊥平面AEC.
得BD⊥AC.
故选C.
答案：C
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
解析：如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．
答案：A
3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA＝AC＝a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
解析：因为PA⊥底面ABCD，则PA⊥AC，又PA＝AC，∴∠PCA＝45°，因△PAB≌△PAD⇒PB＝PD，又△PBM≌△PDM⇒BM＝DM，设AC与BD交于0，则OM⊥BD，S△MCD＝12BD·OM最小，只需OM最短，过O作OM′⊥PC，垂足为M′，连接M′B、M′A，此时直线AC与平面M′BD所成的角为∠CM′O＝π4.
答案：B
4．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的( )
A．∠PAD
B．∠PDA
C．∠PDB
D．∠PDC
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．
答案：B
5．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：设AB与平面α所成的角为θ，由题意可知cosθ＝12，∴θ＝60°.
答案：C
6．已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
解析：如图，∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC.
又BC⊥PH，PA∩PH＝P，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.
同理AB⊥CH，AC⊥BH.
∴点H为△ABC的垂心．
答案：C
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面________；直线BD⊥平面________；直线CD⊥平面________．
解析：∵△ADB、△ADC都是直角三角形，
∴AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
又AD＝BD＝CD，∴AB＝AC， 又∠BAC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
∴BC＝AB＝AC，
∴∠BDC＝90°，
由直线和平面垂直的判定定理，
得BD⊥平面ADC，CD⊥平面ABD.
答案：BDC ADC ABD
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
解析：
如图所示，在Rt△ABC中，CD＝12AB.
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝62＋82＝10.
∴CD＝5.
∵EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴EC⊥CD.
∴ED＝EC2＋CD2＝122＋52＝13.
答案：13
9．如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________．
解析：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
则在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
答案：垂直
10．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝2.
求证：PD⊥平面ABCD.
证明：∵PD＝DC＝1，PC＝2，
∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC是直角三角形．
∴PD⊥CD.
又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C，且BC⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.
B组 能力提升
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．
解析：(1)如图所示，连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影．
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
∵DB＝2AB，D1B＝3AB，
∴cos∠D1BD＝DBD1B＝63，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为63.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，
∴∠EFA1＝45°.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解析：
(1)证明：如图连接BD，MO.
在平行四边形ABCD中，
∵O为AC的中点，
∴O为BD的中点，
又M为PD的中点，
∴PB∥MO.
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，
∴PB∥平面ACM. (2)证明：∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.
(3)解：取DO的中点N，连接MN，AN.
∵M为PD的中点，
∴MN∥PO，且MN＝12PO＝1.
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，∴DO＝52，
从而AN＝12DO＝54.
在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.
