固体物理学能带理论小结
0 / 12 能带理论
一、本章难易及掌握要求
要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点；
2）布洛赫定理的描述及证明；
3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；
5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；
6）会计算能态密度。
本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；
2）对三种模型的证明推导。
了解内容：
1）能带的成因及对称性；
2）万尼尔函数概念；
3）波函数的对称性。
二、基本内容
1、三种近似
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的固体物理学能带理论小结
1 / 12 运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。
2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：
形式一：()()nikRnrRer，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差
形式二：()()ikrreur，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
用受)(ruk调制的平面波表示.其中()()nururR，nR取布拉
维格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
a. 定义平移算符T，)()()()(332211321aTaTaTRTmmmm
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·考试时间 120 分钟
试 题
班级 学号 姓名
一、 简答题（共65分）
1. 名词解释：基元，空间点阵，复式格子，密堆积，负电性。（10分）
2. 氯化钠与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？（6分）
3. 在固体物理中为什么要引入“倒空间”的概念？（5分）
4. 在晶体的物相分析中，为什么使用X光衍射而不使用红外光？（5分）
5. 共价键的定义和特点是什么？（4分）
6. 声子有哪些性质？（7分）
7. 钛酸锶是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？（5分）
8. 晶格振动的Einsten模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？（5分）
9. 试画出自由电子和近自由电子的D～En关系图，并解释二者产生区别的原因。（8分）
10.费米能级Ef的物理意义是什么？在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？ 两块晶体的费米能级本来不同，Ef1≠Ef2，当两块晶体紧密接触后，费米能级如何变化？（10分）
二、计算题（共35分）
1．铜靶发射λ=0.154nm的X射线入射铝单晶（面心立方结构），如铝（111）面一级布拉格反射角θº，试据此计算铝（111）面族的面间距d与铝的晶格常数a。 （10分）
2．图示为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a。只计入最近邻相互作用，使用紧束缚近似计算其s能带E（k）、带中电子的速度v（k）以及能带极值附近的有效质量m*。（15分）
提示：使用尤拉公式化简
3．用Debye模型计算一维单式晶格的热容。（10分） 总
分
2
参考答案
一、 简答题（共65分）
1. （10分）
答：基元：组成晶体的最小结构单元。
空间点阵：为了概括晶体结构的周期性，不考虑基元的具体细节，用几何点把基元抽象成为一点，则晶体抽象成为空间点阵。
中科院固体物理考
研真题解析及考研
辅导(2006)
soffeeswx
2006
1 前 言
本资料主要用于中科院的固体物理考研参考。中科院的很多研究所的硕士入
学考试都有固体物理(均为可选)，例如半导体所、高能物理所、物理所、金属所、
上海应用物理研究所、上海技术物理研究所和上海硅酸盐研究所等，这表明固体
物理这门课程对我们以后在研究生阶段的学习和研究是非常重要的，因此我们在
这门课程的复习过程中要认真对待，对教材的相关内容要理解透彻。
本资料不作理论研究用，仅用于考研复习参考资料，主要是参照中科院的新
大纲来编写的。大纲中给出的参考资料有两本，分别为教材一《固体物理基础》
(阎守胜编)和教材二《固体物理学》(黄昆编)，另外，根据很多同学的推荐本人
再向大家推荐一本教材，就是方俊鑫和陆栋主编的《固体物理学(上册)》，在本
资料里把它称为教材三。这三本教材中最重要的还是教材二，其中主要是前六章，
希望大家都能仔细复习。
本资料按照新大纲要求分为七章，每章都分为三部分(除第三章外)：考试指
导、基本知识点和试题分析。考试指导是来自于本人考研复习的经验，纯属个人
意见，希望能对大家有帮助。基本知识点大多都是考试重点，不是重点内容的将
会说明。试题分析是很重要的部分，我们要通过例题来加强对知识的理解和掌握，
通过分析解题来进一步抓住考点。另外，本资料例题均选自于往年考试真题，因
为真题最具有参考性，解题过程中最重要的是知识点分析，其答案仅供参考。
由于本人知识有限，本资料在编写过程中定有一些不妥或错误之处，诚恳大
家在以后的交流中批评、指正。
2中科院研究生院硕士研究生入学考试
《固体物理》考试大纲
本《固体物理》考试大纲适用于中国科学院凝聚态物理及相关专业的硕士研
究生入学考试。《固体物理》是研究固体的结构、组成粒子的相互作用以及运动
规律的学科，是物理研究的一个重要组成部分，是许多学科专业的基础课程，其
主要内容包括晶体结构、晶格振动、能带理论和金属电子论等内容。要求考生深
德鲁特模型 平均自由程
德鲁特模型四条基本假设：
1.独立电子近似
自由电子之间不存在相互作用，也不存在碰撞，可以彼此独立的运动。（实际上研究证明，忽略电子间相互作用对实验结果影响不大）
2.自由电子近似
晶体中的离子实固定不动，电子可以自由运动，电子和离子之间没有静电力的相互作用。（实际上大多数情况下，电子与离子相互作用不能忽略）
上述两条假设参照了理想气体的概念：理想气体中分子之间不发生碰撞，也没有相互作用。所以又把两条假设统称为自由电子气假设。
3.碰撞假设
电子和离子之间存在碰撞，电子和离子的碰撞是瞬时的，且碰撞后电子的运动速度只与温度有关，与碰撞前速度无关，电子通过这种碰撞和周围的环境达到一个热平衡。
4.弛豫时间
这是Drude模型最中最重要的概念。电子完成碰撞后，距离下一次碰撞所经历时间的平均值，即两次碰撞之间的平均时间间隔称作弛豫时间。弛豫时间仅和晶体结构，即离子之间的距离有关。
能估算出金属电子的平均自由时间（驰豫时间）和平均自由程：
平均自由程：
由此算出平均自由程约在0.1——1nm范围内，与实验相符。
