高二数学第三章数系的扩充与复数的引入章末总结新人教A版选修1-2
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末总结
专题1 复数的基本概念
复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数
等，成为近年来高考对复数考查的重要对象，准确理解概念的内涵是解决此类问题的关键．
例1 若z
1＝a
＋2i，z
2＝3－4i，且z
1
z
2为纯虚数，则实数a
的值为________．
解析：z
1
z
2＝a＋2i
3－4i＝（a＋2i）（3＋4i）
（3－4i）（3＋4i）＝
3a
＋6i＋4a
i－8
25＝3a
－8
25＋6＋4a
25i.
∵z
1
z
2为纯虚数，∴3a
－8＝0，且6＋4a
≠0，∴a
＝8
3.
答案：8
3
?变式训练
1．当实数x
为何值时，复数z
＝(x2
－1)＋(x2
＋3x
＋2)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：(1)当x2
＋3x
＋2＝0，即(x
＋2)(x
＋1)＝0，即x
＝－2或x
＝－1时，z
为实数．
(2)当且仅当x2
＋3x
＋2≠0，即(x
＋2)(x
＋1)≠0，即x
≠－2且x
≠－1时，z
为虚数．
(3)当且仅当x2
＋3x
＋2≠0，
x2
－1＝0，即当x
＝1时，z
为纯虚数．
专题2 复数的相等
求复数相等的问题，要充分利用复数相等的充分条件，把复数问题转化为实数问题，在
高考中时有出现．
例2 已知a
＋2i
i＝b
＋i(a
，b
，c
∈R)，其中i为虚数单位，则a
＋b
等于( )．
A．－1 B．1 C．2 D．3
解析：a
＋2i＝b
i－1?a
＝－1，b
＝2，所以a
＋b
＝1.
答案：B
点评：
注意复数的运算．
?变式训练
2．若2
1－i＝a
＋b
i(i为虚数单位，a
，b
∈R)，则a
＋b
＝________．
解析：a
＋b
i＝2
1－i＝1＋i，∴a
＋b
＝1＋1＝2.
答案：2
专题3 复数的几何意义及应用
1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的
运算的几何意义．复数的几何意义体现了从几何图形的方面研究代数问题的数学思想方法．
2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意
义知|z
－z
1|表示复平面上两点z
和z
1之间的距离．
例3 若i为虚数单位，如图所示的复平面内表示复数z
1＋i表示的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：由图，z
＝3＋i，因此z
1＋i＝3＋i
1＋i＝2－i对应点是(2，－1)．
答案：D
?变式训练
3．在复平面内，复数z
＝1
2＋i对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
解析：z
＝1
2＋i＝2－i
5＝2
5－1
5i，∵点2
5，－1
5在第四象限，∴复数z
对应的点在第四象限．
答案：D
专题4 复数的代数运算
复数的代数运算是复数这一章的基本内容，也是高考中的必考内容，在高考中要考查复
数内容时，一般都是考查复数的代数运算，尤其是复数的乘、除运算．
例4 已知复数z
＝1－i，则z2
－2z
z
－1＝( )
A．2i B．－2i C．2 D．－2
解析：∵z
＝1－i，
∴z2
－2z＝－2i－2(1－i)＝－2.
又∵z
－1＝(1－i)－1＝－i，
∴z2
－2z
z－1＝－2
－i＝2i
－1＝－2i.
答案：B
例5 复数i3
(1＋i)2
＝( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
解析：i3
(1＋i)2
＝－i·2i＝2.
答案：A
?变式训练
4．定义运算ac
bd＝ad－bc，复数z满足zi
1 i＝1＋i，求z.
解析：由题意知，zi
1 i＝i·z
－i＝1＋i，
∴iz
＝1＋2i，∴z
＝1＋2i
i＝2－i.
