高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合新人教A版选修1_2【含答案】

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i的实部与虚部分别是()A．0,2 B．0,0C．0，－2 D．－2,0【解析】－2i的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．2C．－1或－2 D．1或2【解析】由{a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2.【答案】 B3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为() A．1 B．2C．3 D．4【解析】由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．A．0 B．1C．2 D．3【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z1＝a＋b i(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋d i(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋b i.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．【答案】 A5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数⇔{a2－4＝0，a－3≠0⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是________．【解析】3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i，实部为－3，故应填3－3i.【答案】3－3i7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.【导学号：19220037】【解析】由(2x－1)＋2i＝y，得{2x－1＝0，＝y，∴x＝12，y＝2i.【答案】x＝12，y＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2＝－1的数x只有i；③形如b i(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m＋n i的实部一定是m.其中正确说法的个数为________．【解析】③中，b＝0时，b i＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．【解】(1)∵z是零，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3＝0，解得m＝1.(2)∵z是纯虚数，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3≠0，解得m＝0.综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．【解】因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得{m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得{m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.[能力提升]1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是()A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}【解析】由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为()A.π4 B.π4或54πC．2kπ＋π4(k∈Z) D．kπ＋π4(k∈Z)【解析】由复数相等定义得{cos θ＝sin θ，θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋π4(k∈Z)．【答案】 D3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．【解析】∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴{log2(x2－3x－2)>1，2(x2＋2x＋1)＝0，∴{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，∴{x>4或x<－1，x＝0或x＝－2.∴x＝－2.【答案】－24．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.【导学号：19220038】【解】x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件，得{x20＋kx0＋2＝0，x0＋k＝0，解得{x0＝2，k＝－22或{x0＝－2，k＝2 2.∴方程的实根为x0＝2或x0＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝2 2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( ) A. 2B ．2 C.10 D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知，AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故{ b ＋4＝0，a ＋3＝0，－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．(2016·石家庄高二检测)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_______________________.【导学号：19220046】【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋(b －1)2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i.【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1三、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0， 解得{ a ＝2，b ＝1， ∴z ＝2＋i.10．如图3-2-3，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3-2-3【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即{x－1＝1，y－2＝－3，解得{x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋y i)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋x i)－(－x＋y i)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴{x＋y＝2，x－y＝0，∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】 A2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z －z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：19220047】A．内心B．垂心C．重心D．外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．【答案】 D3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)．∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8，|BC →|＝(－3)2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。