2018学年高中数学第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a =Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ．2121212()4z z z z z z -=+-Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ） Ａ．32 Ｂ．2 Ｃ．62 Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ．2± Ｃ．2- Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3i Ｄ．3i -答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）Ａ．2()1a b +=Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）Ａ．圆Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数3z i =+与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi -=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求y x的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心， 3为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为3．18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a i i i+++=-， ()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ， 2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++222()44a b b =+++844b =++124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得3a =±．3z i =±+∴．32i ω=±+∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···， 由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ②又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <． 由①②，得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，． 故所求3a =-，1b =-．22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<． 所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi b i z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)31a a ωμ-+-+··≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ）Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ） Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数 Ｃ．{}{}M实数复数苘 Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b >Ｂ．11b -<< Ｃ．1b >Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ）Ａ．1个圆Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i -Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9iＢ．93i + Ｃ．9i - Ｄ．93i -－答案：Ｂ9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ） Ａ．2 Ｂ．23 Ｃ．23- Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．411+和411-Ｂ．3和1 Ｃ．52和34 Ｄ．39和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，1222z z +=，13z =，22z =，则12z z -=（ ） Ａ．1Ｂ．12 Ｃ．2 Ｄ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，12z +=，求复数z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，① 又由12z +=，得22(1)2a b ++=， ②由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值． 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·．—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水20．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限，212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

（1）求复数 ；
（2）设 在复平面上的对应点分别为 ，求 的面积．
解：（1）设 ，则 ，
由题意得 且 ，
解得 或 ，
因此 或 ．
（2）当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
15．设 为虚数，求证： 为纯虚数的充要条件是： ．
证明： 为虚数， ，
则 为纯虚数
．
高中新课标数学选修（2-2）
Ａ．实数
Ｂ．纯虚数
Ｃ．是虚数但不一定是纯虚数
Ｄ．可以是虚数也可以是实数
答案：Ａ
二、填空题
7．已知 ， ， ，则实数 ．
答案：
8．已知复数 ， ，且 与 共轭复数的积是实数，则实数 的值为．
答案：
9．已知 是实系数一元二次方程 的一个根，则 ， ．
答案：1，
10．利用公式 ，把 分解成一次因式的积为．
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．对于实数 ， ，下列结论正确的是（ ）
Ａ． 是实数Ｂ． 是虚数
Ｃ． 是复数Ｄ．
答案：Ｃ
2．下列说法正确的是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集；⑤虚轴上的点表示的数都是纯虚数；⑥实轴上的点表示的数都是实数．
答案：
11．已知 ， ，则 的值是．
答案：
12．对于任意两个复数 ， （ 为实数），定义运算“ ”为： 。设非零复数 在复平面内对应的点分别为 ， ，点 为坐标原点．如果 ，那么在 中， 的大小为．
答案：
三、解答题
13．已知 ， ， ，若 ，求 ， 的值．
解： ， ，

第三章检测(B )(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1复数z 是实数的充分不必要条件为( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+是实数z 解析若|z|=z ,则z 一定是实数,而z 是实数,|z|不一定等于z.故选A.答案A2设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a 的值是( )A.-1B.1C.D.-23解析z=(a+i)2=(a 2-1)+2a i,根据条件有解得a=-1.{a 2-1=0,2a <0,答案A3复数z=的模为( )1i -1A. B. C. D.212222解析∵z==-i,1i -1=-i -1(-i -1)(i -1)12‒12∴|z|=,故选B.(-12)2+(-12)2=2答案B4复数的虚部为( )2i 31-i A.i B.-i C.1 D.-1解析∵=1-i,2i 31-i =-2i (1+i )2∴复数的虚部为-1.2i 31-i 答案D5复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( )z A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i解析由题意得z-3==2+i,所以z=5+i .52-i 故=5-i,应选D.z 答案D6当z=-时,z 100+z 50+1的值是( )1-i2A.1 B.-1 C.i D.-i解析原式=+1(-1-i 2)100+(-1-i 2)50=+1[(1-i 2)2]50+[(1-i 2)2]25=(-i)50+(-i)25+1=-i .答案D7若复数z 满足=i,其中i 为虚数单位,则z=( )z 1-i A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i 答案A8复数z=-1,在复平面内z 所对应的点在( )-1+i 1+i A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z=-1=-1=-1+i .(-1+i )i (1+i )i (-1+i )i -1+i 答案B9若z=cos θ+isin θ(i 为虚数单位),则使z 2=-1的θ值可能是( )A. B. C. D.π6π4π3π2解析∵z 2=(cos θ+isin θ)2=(cos 2θ-sin 2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1,∴∴2θ=2k π+π(k ∈Z ).{sin2θ=0,cos2θ=-1,∴θ=k π+(k ∈Z ),令k=0知选D.π2答案D10设复数z=lg(m 2-1)+i(m ∈R ),则z 在复平面内的对应点( )1-m A.一定不在第一、二象限B.一定不在第二、三象限C.一定不在第三、四象限D.一定不在第二、三、四象限解析因为所以m<-1,此时lg(m 2-1)可正、可负,,故选C.{m 2-1>0,1-m ≥0,1-m >2答案C 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= .(1-i )2z 答案-1-i12若复数(a ∈R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 .a +3i 1+2i 解析.a +3i 1+2i =(a +3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(a +6)+(3-2a )i 5∵复数是纯虚数,∴解得a=-6.a +3i1+2i {a +65=0,3-2a 5≠0,答案-613设复数a+b i(a ,b ∈R )的模为,则(a+b i)(a-b i)= .3答案314若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数x ,y 的值分别为 .解析原式可以化为(3y-2x )+(x-10y )i =1-9i,根据复数相等的充要条件,有解得{3y -2x =1,x -10y =-9,{x =1,y =1.答案1,115复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,若∠BAC 是钝角,则实数c 的取值范围为 .解析在复平面内与z 1,z 2,z 3对应的三点坐标分别为A (3,4),B (0,0),C (c ,2c-6),由∠BAC 是钝角得<0,且B ,A ,C 不共线,即(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得c>.其中当c=9时,=(6,8)=-2,三点共线,故AB ·AC 4911AC AB c ≠9.答案{c |c >4911,且c ≠9}三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设复数z=,若z 2+az+b=1+i,求实数a ,b 的值.(1+i )2+3(1-i )2+i解z=(1+i )2+3(1-i )2+i =2i +3(1-i )2+i ==1-i .3-i 2+i =(3-i )(2-i )(2+i )(2-i )将z=1-i 代入z 2+az+b=1+i,得(1-i)2+a (1-i)+b=1+i,即(a+b )-(a+2)i =1+i,∴{a +b =1,-(a +2)=1,∴{a =-3,b =4.17(8分)已知(2+i)=7+i,求z 及.z z z 解设z=a+b i(a ,b ∈R ),则=a-b i .z ∴(2+i)(a-b i)=7+i .∴(2a+b )+(a-2b )i =7+i .∴∴z=3+i .{2a +b =7,a -2b =1,∴{a =3,b =1,∴=3-i .故i .z z z =3+i 3-i =(3+i )210=45+3518(9分)已知复数z 满足|z|=,z 2的虚部为2.2(1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z-z 2在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积.解(1)设z=a+b i(a ,b ∈R ),由已知条件得,a 2+b 2=2,①又z 2=a 2-b 2+2ab i,∴2ab=2.②由①②解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i 或z=-1-i .(2)当z=1+i 时,z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1-i,∴点A (1,1),B (0,2),C (1,-1),∴S △ABC =·|AC|·1=×2×1=1.1212当z=-1-i 时,z 2=(-1-i)2=2i,z-z 2=-1-3i .∴点A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),∴S △ABC =·|AC|·1=×2×1=1.1212故△ABC 的面积为1.19(10分)已知w=z+i(z ∈C ),且为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M 取最大值时w 的z -2z +2值.解设z=x+y i(x ,y ∈R ),则.z -2z +2=(x -2)+yi (x +2)+yi =(x 2+y 2-4)+4yi(x +2)2+y 2∵为纯虚数,∴x 2+y 2-4=0,且y ≠0.z -2z +2∴M=|w+1|2+|w-1|2=(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y+1)2=12+4y.∵x 2+y 2-4=0,且y ≠0,∴x 2=4-y 2≥0,且y ≠0.∴-2≤y<0或0<y ≤2.当y=2时,M 取得最大值,且为20,此时w=3i .20(10分)复数z 和w 满足zw+2i z-2i w+1=0,其中i 为虚数单位.(1)若z 和w 满足-z=2i,求z 和w 的值;w (2)求证:如果|z|=,那么|w-4i |的值是一个常数,并求这个常数.3(1)解设z=a+b i,w=c+d i(a ,b ,c ,d ∈R ),由zw+2i z-2i w+1=0得(a+b i)(c+d i)+2i(a+b i)-2i(c+d i)+1=0,即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c )i =0.∴ac-bd-2b+2d+1=0,①ad+bc+2a-2c=0.②又-z=2i,∴c-d i -(a+b i)=2i,w 即(c-a )-(b+d )i =2i .∴c-a=0,③b+d=-2.④解①②③④组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.∴z=-i,w=-i 或z=3i,w=-5i .(2)证明∵zw+2i z-2i w+1=0,∴z (w+2i)=2i w-1.∴|z (w+2i)|=|2i w-1|,即|z|·|w+2i |=|2i w-1|.又|z|=,∴|w+2i |=|2i w-1|.33设w=x+y i(x ,y ∈R ),代入上式整理得,3·x 2+y 2+4y +4=4x 2+4y 2+4y +1两边平方得3x 2+3y 2+12y+12=4x 2+4y 2+4y+1,化简得x 2+y 2-8y=11.∴|w-4i |=|x+y i -4i |==3是一个常数.x 2+(y -4)2=x 2+y 2-8y +16=11+16=273故|w-4i |的值是一个常数,且这个常数为3.3。

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是导学号 10510741( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C. 2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为导学号 10510742( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i[答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.3．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝导学号 10510743( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i[答案] D[解析] 设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.故选D.4．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在导学号 10510744( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.5．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于导学号 10510745( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C.6．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为导学号 10510746( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.二、填空题7．(湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.导学号 10510747[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________.导学号 10510748[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.导学号 10510749[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：导学号 10510750(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是导学号 10510751( )A ．－1B ．4C ．－1和4D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C. 2．下列命题中，假命题是导学号 10510752( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 二、填空题3．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是______.导学号 10510753[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.4．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________.导学号 10510754[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.三、解答题5．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值.导学号 10510755[解析] 因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，b＝(－12，m )．又a ，b 的夹角为60°，所以cos60° ＝(－3，0)·(－12，m )(－3)2＋02·(－12)2＋m 2，即12＝32314＋m 2，解得m ＝±32.6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹.导学号 10510756[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．。