学案导学高中数学(苏教版,选修21)课时作业与单元检测第2章+圆锥曲线与方程(14份)第2章 单元检

第2章 单元检测(A卷)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________．

2．当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是__________________．

3．设F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________．

4．短半轴长为2，离心率e＝3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线左支于A、B两点，且AB＝8，则△ABF2的周长为________．

5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．

6．若直线mx－ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是________．

7.

如图所示，若等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px (p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则直角三角形ABO的面积是________．

8．已知抛物线y2＝2px (p>0)与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线在x轴上方的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．

9．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是____________．

10．设椭圆x2m2＋y2n2＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________________．

11．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(0

12．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是__________．

13．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

14．设椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点b2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)已知点M在椭圆x236＋y29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．

16．(14分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线，求双曲线C的方程．

17.(14分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．

18．(16分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

(1)椭圆的方程；

(2)△PF1F2的面积．

19.(16分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且AB＝52p，求AB所在的直线方程．

20．(16分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．

(1)写出C的方程；

(2)若OA→⊥OB→，求k的值．

第2章 圆锥曲线与方程(A)

1.x236＋y227＝1

解析 已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则c＝3，a＝6，b2＝36－9＝27，因此椭圆的方程为x236＋y227＝1.

2．y2＝32x或x2＝－12y

解析 将直线方程化为(2x－4)a＋3x＋y＋2＝0，可得定点P(2，－8)，再设抛物线方程即可．

3．4x±3y＝0

解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系．

4．16＋22

解析 由于b＝2，e＝ca＝3，∴c＝3a，

∴9a2＝a2＋4，∴a＝22，

由双曲线的定义知：

AF2－AF1＝2，BF2－BF1＝2，

∴AF2＋BF2－AB＝22，

∴AF2＋BF2＝8＋22，

则△ABF2的周长为16＋22.

5.33

解析 由题意知AF1＝33F1F2，∴b2a＝33·2c， 即a2－c2＝233ac，∴c2＋233ac－a2＝0，

∴e2＋233e－1＝0，解之得e＝33(负值舍去)．

6．2

解析 由题意4m2＋n2>2，即m2＋n2<4，点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，过点P的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为2.

7．4p2

解析 由题意得∠xOA＝∠xOB＝45°，则可设点A(a，a)，代入抛物线的方程得a＝2p，

∴S△ABO＝12×2a×a＝a2＝4p2.

8.2＋1

解析 ∵Fp2，0，∴Ap2，p.

又∵c＝p2，即p＝2c，

∴A(c,2c)．代入双曲线方程，化简，

得e4－6e2＋1＝0.

∵e>1，∴e＝2＋1.

9.12，1

解析 设P(x0，y0)，则PF＝ea2c－x0＝a－ex0.又点F在AP的垂直平分线上，∴a－ex0＝a2c－c，因此x0＝aac－a2＋c2c2.又－a≤x0＜a，∴－a≤aac－a2＋c2c2＜a.∴－1≤e2＋e－1e2＜1.又0＜e＜1，∴12≤e＜1.

10.x216＋y212＝1

解析 ∵y2＝8x的焦点为(2,0)，

∴x2m2＋y2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.

又e＝12＝2m，∴m＝4.

∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.

∴椭圆方程为x216＋y212＝1.

11．bc

解析 S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝12c·|y1|＋12c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，

∴S△ABF2＝12c|y1－y2|≤12c·2b＝bc.

12．2

解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.

13．2x－y－15＝0

解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－4y21＝4，x22－4y22＝4，

两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

因为线段AB的中点为P(8,1)，

所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. 所以y1－y2x1－x2＝x1＋x24y1＋y2＝2.

所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，

代入x2－4y2＝4满足Δ>0.

即2x－y－15＝0.

14.22

解析 由题意，得b2＋cc－b2＝3⇒b2＋c＝3c－32b⇒b＝c，因此e＝ca＝ c2a2＝ c2b2＋c2＝ 12＝22.

15．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．

∵点M在椭圆x236＋y29＝1上，∴x2036＋y209＝1.

∵M是线段PP′的中点，

∴ x0＝x，y0＝y2， 把 x0＝xy0＝y2，

代入x2036＋y209＝1，得x236＋y236＝1，即x2＋y2＝36.

∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.

16．解 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.

由椭圆x28＋y24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

∴对于双曲线C：c＝2.

又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，

∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，

∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.

17．解 将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：

k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，

由 k≠04k＋82－16k2>0，得k>－1且k≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意得：x1＋x2＝4k＋8k2＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.

解得：k＝2或k＝－1(舍去)．

由弦长公式得：

AB＝1＋k2·64k＋64k2＝5×1924＝215.

18．解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，

则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2＝－1，即43＋c·43－c＝－1，