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2014年高中数学解题思维一点通：-利用相关点法巧解对称问题

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刘思捷

第 1 页 共 4 页 利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题

例1 （2001年高考）设yfx()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称。证明yfx()是周期函数。

证明：设（x，y）为yfx()图象上任意一点，则其关于x1的对称点可求得：(,)2xy，于是根据函数关系有：yfxfx()()2，又因为yfx()是定义在R上的偶函数，故有：fxfx()()，因此结合上式有：fxfxfx()()()2，故由fxfx()()2知：yfx()是周期函数，T2。

例2 （1997年高考文）设yfx()是定义在R上的函数，则函数yfx()1与ffx()1的图象关于（ ）

A. 直线y0对称 B. 直线x0对称

C. 直线y1对称 D. 直线x1对称

解：可设（x1，y）为yfx()1上任意一点，则有yfx()11；

若（x2，y）为yfx()1上一点，也有yfx()12，一般地，由

fxfx()()1211可知：xx1211，所以xx1221，即（x1，y）与（x2，y）关于直线x1对称，故选（D）。

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

刘思捷

第 2 页 共 4 页 二. 三角函数中的对称问题

例3 （2003年高考江苏卷）已知函数fxx()sin()(,)00是R上的偶函数，其图象关于点M(,)340对称，且在区间02,上是单调函数，求和的值。

解：由fx()是偶函数，得fxfx()()

即sin()sin()xx

所以cossincossinxx

对任意x都成立，且0，所以得

cos0

依题设0，所以解得2，这时fxx()sin()2

由yfx()的图象关于点M对称，可设P（x，y）是其图象上任意一点，P点关于M(,)340的对称点可求得为：(,)32xy

即有yfxfx()()32，（*）

取x＝0，得ff()()032，所以，sinsin()23221

所以sin()3221

所以2321123(),,,...kk

当k1时，2323202,()sin(),fxx在上是减函数；

当k2时，222,()sin()fxx在02,上是减函数；

当k2时，103202,()sin(),fxx在上不是单调函数； 刘思捷

第 3 页 共 4 页 所以，综合得232或

评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题

例4 （1998年高考理）设曲线C的方程是yxx3，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1

（I）写出曲线C1的方程；

（II）证明曲线C与C1关于Ats(,)22点对称；

（I）解：曲线C1的方程为：

yxtxts()()3

（II）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）。设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有：

xxtyys12122222,

所以xtxysy1212,

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

sytxtxyxtxts22322232()()()()即

可知点Bxy222(,)在曲线C1上

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。

例5 （1997年高考文）椭圆C与椭圆C1：()()xy3924122关于直线xy0对称，椭圆C的方程是（ ） 刘思捷

第 4 页 共 4 页 A. ()()xy2439122 B. ()()xy2934122

C. ()()xy2934122 D. ()()xy2439122

解：设（x，y）是椭圆C上任意一点，则其关于直线xy0的对称点可求得为(,)yx，该点在椭圆C1上，故其坐标适合椭圆C1的方程，将其代入有：()()yx3924122，化简后知选A。

从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

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【高中数学】高中数学学习方法：高中数学对称问题分类探析

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高中数学

学习方法：《高中数学对称性问题分类分析》，供大家参考！

本文题目：高中数学学习方法：高中数学对称问题分类探析

对称性问题是高中数学的重要内容之一

高考

数学试题中经常出现一些思路新颖、解答灵活的对称问题。为了使对称问题的知识系统化，本文做了如下归纳。

一、点关于已知点或已知直线对称点问题

1.设点P（x，y）是关于点（a，b）的P′（x′，y′），

x′=2a-x

根据中点坐标公式：y′=2b-y

2、点p(x，y)关于直线l：ax+by+c=o的对称点为

x′=x-（ax+by+c）

p′(x′，y′)则

y′=y-（ax+by+c）

事实上：∵pp′⊥l及pp′的中点在直线l上，可得：ax′+by′=-ax-by-2c

通过解这些方程可以得出结论。

(-)=-1(b≠0)

特别是，点P（x，y）是关于

1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)

2.直线X=A和y=A的标点分别为（2a-X，y）和（X，2a-y）

3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)

例1从a（3,4）发射光后，它被直线x-2y=0反射，然后被y轴反射。反射光通过点B（1,5），得到反射光线进入y轴后的线性方程。 解：如图，由公式可求得a关于直线x-2y=0的对称点

A'（5,0），B相对于y轴对称点B'为（-1,5），直线A'B'的方程为5x+6y-25=0

`c(0,)

`直线BC的方程式为5x-6y+25=0

二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题

在求解已知曲线f（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，我们只需要将曲线f（x，y）=O关于已知点或已知直线对称点的任意点（x，y）的坐标替换为方程f（x，y）=0中相应的名称。因此，我们得出以下结论。

常见的对称问题及求解方法

常见的对称问题及求解方法

1

常见的对称问题及求解方法

一、中心对称

1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解

例1、已知点(5,6)A和点(1,2)B，求点A关于点B的对称点A。

解：设(,)Axy，由题意可知点B为点A与点A的中点，即有

512622xx， 解得32xy

所以点A的坐标为(3,2)A。

2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解

例2、已知直线:210lxy和点(1,2)A，求直线l关于点A对称的直线l。

分析：l与l互相平行，且点A到直线l的距离等于点A到直线l的距离

解：设直线l的方程为：20(1)xymm，则有

|141||14|55m， 解得11m或1m（舍）

所以直线l的方程为：2110xy。

3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解

例3、求曲线1C22231xy的图象关于点(1,1)A对称的曲线2C的解析式。

解：在曲线2C上任取一点(,)Pxy，则它关于点(1,1)A的对称点为(2,2)Qxy，

由点Q在22231xy上可得 222(2)3(2)1xy

即曲线2C的解析式为222(2)3(2)1xy。

二、轴对称

1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解

例4、已知直线:230lxy和点(1,1)A，求点A关于直线l的对称点A的坐标。

解：设(,)Axy，则由点A与点A关于直线l对称可得，AAl，且点A与点A的中点

在直线l上。 故有11()1121123022yxxy 解得75195xy

所以点A的坐标为719(,)55A。

2、直线关于直线的对称

（1）平行线之间的对称，可以利用平行线间的距离公式求解

点和直线的有关对称问题

点和直线的有关对称问题

精品---

--精品 点和直线的有关对称问题

摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。

关键词:点；直线；中心对称；轴对称

对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:

(一)中心对称

⒈ 点关于点对称

⒉ 直线关于点对称

例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线精品---

--精品 方程.

分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.

解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为 A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:

分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.

解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则

点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.

(二)轴对称 精品---

--精品 ⒈ 点关于直线对称

例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.

解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.

高中数学专题---对称问题

高中数学专题---对称问题

高中数学专题--- 对称问题

基本方法：

对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：

1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）

设点000,Pxy，对称中心为,Aab，则点000,Pxy关于,Aab的对称点为002,2Paxby.

2. 点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：

设点000,Pxy关于直线ykxb的对称点为,Pxy，则有0000122yykxxyyxxkb，可求得,Pxy.

特殊情形：

①点000,Pxy关于直线xa对称的点为002,Paxy；

②点000,Pxy关于直线yb对称的点为00,2Pxby；

③若对称轴的斜率为1，则可把000,Pxy直接代入对称轴方程求得对称点P的坐标.

一、典型例题

1．已知椭圆C：2214xy，A为椭圆左顶点，设椭圆C上不与A点重合的两点D，E关于原点O对称，直线AD，AE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长是定值．

2．已知椭圆22143xy与直线ykxm相交于不同的两点,MN，如果存在过点10,2P的直线l,使得点MN,关于l对称，求实数m的取值范围.

二、课堂练习

1．已知椭圆22184xy，上顶点为,PO为坐标原点，设线段PO的中点为M，经过M的直线l与椭圆交于,AB两点，3,0C，若点A关于x轴的对称点在直线BC上，求直线l方程.

2．已知椭圆22:194xyC. 点P为圆22:13Mxy上任意一点，O为坐标原点.设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，证明：直线PB与椭圆C相切.