广东省顺德一中2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试题Word版含答案

2016学年度高二上学期期中考试试题 数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题 本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的直线1x =的倾斜角为1.假设α，那么α=A. 不存在 B ．90° C ． 45° D ．0°2.口袋内装有就些大小相同在红球、白球和黑球，从中摸出一个，摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率为0.28，那么摸出黑球的概率是3．设a 表示直线,γβα,,表示不同的平面，那么以下命题中正确的选项是A ．假设a α⊥且a b ⊥,那么//b αB ．假设γα⊥且γβ⊥,那么//αβC ．假设//a α且//a β,那么//αβD ．假设γβγα//,//,那么βα//4.某路公共汽车每5分钟发一次车，某乘客到搭车点的时刻是随机的，那么他候车事件不超过3分钟的概率是（ ） A. B ． C ． D ．5.如下图的正方形O ＇A ＇B ＇C ＇的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长是( )A ．6cmB ．8cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm6.假设直线06)5()12(=-+++y a x a 与直线01)4()5(=+-++y a x a 相互垂直，那么a 值为 A. 1 B. -5 C. -5或1 D. 5或-17.已知△ABC 三边的长别离为5、12、13，那么△ABC 的外心O 到重心G 的距离为（ ）．A. 313B. 613C. 4D. 28. 在正方体1111ABCD A B C D -中，B A 1与平面D D BB 11所成的角的大小是 A ．30° B ．45° C ． 60° D ．90°9.某产品在某零售摊位的零售价(单位：元)与天天的销售量y （单位：个）的统计资料如下标所示，x 16 17 18 19 y 50 3441 31由表可得回归方程,据次模型预测零售价为20元时，天天销售量为10.如图，边长为2的正方形ABCD 的四边中点E 、F 、G 、H 别离与D 、A 、B 、C 四点相连，其交点别离为O 、P 、Q 、R ，那么四边形OPQR 的面积为A. B. C. D.11.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，那么光线所通过的路程是A ．B ．6C ．D ．12. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该三棱锥的外接球的表面积是 A ． B ．C ．16D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分13.甲、乙、丙、丁四名选手在选拔赛中所得的平均环数及其方差如下表所示，那么选送决赛的最正确人选应是___________.14. 母线长为6在圆锥侧面展开的圆心角为,那么圆锥体积为 ．15．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形. 若甲 乙 丙 丁7 8 8 67第11题图 第10题图第12题图是三棱柱的体积为312，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的侧面积为_________16.已知(,)P x y 为直线y x =上的动点，2222(1)(2)(2)(1)m x y x y =-+-+++-，那么m 的最小值为___________.三、解答题：解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 17. （本小题10分）（Ⅰ）求通过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程．（Ⅱ）求坐标原点O 到():210l mx y m +-+=的最大距离。

2015-2016学年广东省佛山市顺德一中高二上学期期中数学（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知直线l的方程为y=−x+1，则该直线l的倾斜角为 A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘2. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 A. 5部分B. 6部分C. 7部分D. 8部分3. 下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A. 0B. 1C. 2D. 34. 棱长为2的正四面体的表面积是 A. 4B. 4C.D. 165. 若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有 A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+a+1y+1=0，若L1∥L2，则a的值为 A. −3B. 2C. −3或2D. 3或−27. 如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是 A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8. 直线l过点A2,11，且与点B−1,2的距离最远，则直线l的方程为 A. 3x−y−5=0B. 3x−y+5=0C. x+3y+13=0D. x+3y−35=09. 直线y=x+b与曲线x=− 1−y2有且只有一个交点，则b的取值范围是 A. ∣b∣=B. −1≤b＜1，或b=C. −1≤b≤1D. 非A,B,C结论10. 设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是A. x−2y−1=0B. x−2y+1=0C. 3x−2y+1=0D. x+2y+3=011. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 A. 3B. 4C. 5D. 612. 若圆x2+y2−4x−4y−10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是 A. π12,π4B. π12,5π12C. π6,π3D. 0,π2二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知点M a,b在直线3x+4y=15上，则 a2+b2的最小值为______．14. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______．15. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______．16. 设有一组圆C k:x−k+12+y−3k2=2k4k∈N∗．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）．三、解答题（共6小题；共78分）17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．18. 为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB=100 m，BC=80 m，AE=30 m，AF=20 m．（1）求直线EF的方程．（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大?19. 已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角P−EC−D的正切值．20. 已知圆C:x2+y−12=5，直线l:mx−y+1−m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A,B；（2）若定点P1,1满足PB=2AP，求直线的方程．21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90∘，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P−ABCD 的体积．22. 已知圆C：x2+y2−6x−4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P5,3．（1）求直线l1的方程．（2）若直线l2:x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．（3）是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上?若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．答案第一部分1. D2. C3. C4. A5. C6. A7. D8. D9. B 10. A11. B 12. B第二部分13. 314. 3:1:215. 2316. ②④第三部分17. （1）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，因为F，F1分别是AC，A1C1的中点，所以AF1⊄平面C1BF, C1F⊂平面C1BF,所以AF1∥平面C1BF，同理可证B1F1∥平面C1BF．又因为B1F1∩AF1＝F1，AF1,B1F1⊂平面AB1F1，所以平面AB1F1∥平面C1BF．（2）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，所以B1F1⊥AA1．又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，所以B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1．18. （1）建立坐标系如图所示，EF的方程为：x30+y20=1．（2）在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．设Q x,20−23x ，则矩形PQRC的面积为：S=100−x⋅80−20−23x （其中0≤x≤30）；化简，得S=−23x2+203x+6000（其中0≤x≤30）；所以当x=−2032× −23=5时，此时 y =20−23×5=503，即取点 Q 5,503 时， S 有最大值，最大值为 601623 m 2．19. （1） 取 PC 的中点 O ，连接 OF ，OE ．FO ∥DC ，且 FO =12DC ，所以 FO ∥AE ，又 E 是 AB 的中点，且 AB =DC ，所以 FO =AE ，所以四边形 AEOF 是平行四边形，所以 AF ∥OE ，又 OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以 AF ∥平面PEC ．（2） 连接 ACPA ⊥平面ABCD ，所以 ∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt △PAC 中 tan ∠PCA =PA AC = 5= 55， 即直线 PC 与 平面ABCD 所成的角正切为 55．（3） 作 AM ⊥CE ，交 CE 的延长线于 M ．连接 PM ，PM ⊥CE ，所以 ∠PMA 是二面角 P −EC −D 的平面角由 △AME ∽△CBE ，可得 AM = 22， 所以 tan ∠PMA =PA AM = 2，所以 二面角 P −EC −D 的正切为 2．20. （1） 直线 l ：m x −1 −y +1=0，即 y −1=m x −1 ，恒经过 1,1 ，又因为点在圆内，所以直线和圆恒有两个公共点；（2） 设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，有 x 2+2x 1=3把直线方程 y −1=m x −1 ，代入圆 C ：x 2+ y −1 2=5，化简可得1+m 2 x 2−2m 2x +m 2−5=0，得 x 1x 2=m 2−51+m ，x 1+x 2=2m 2m +1，联立 x 2+2x 1=3 ， 可解得 m =±1，所以所求直线方程为 x −y =0，x +y −2=0．21. （1）解法一：连接AC，AB=4，BC=3，∠ABC=90∘，得AC=5，又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，PA=ℎ，则A0,0,0，B4,0,0，C4,3,0，D0,5,0，E2,4,0，P0,0,ℎ．CD=−4,2,0，AE=2,4,0，AP=0,0,ℎ．因为CD⋅AE=−8+8+0=0，CD⋅AP=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（2）解法一：过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=PAPB ，sin∠BPF=BFPB，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90∘知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG=2+AG2=25，BF=AB2BG =25=855．于是PA=BF=855．又梯形ABCD的面积为：S=12×5+3×4=16．所以四棱锥P−ABCD的体积为：V=13×S×PA=13×16×855=1285解法二：由题设和第一问知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：∣cos＜CD,PB＞∣=∣cos＜PA,PB＞∣，即∣CD⋅PB∣CD∣⋅∣PB∣∣=∣PA⋅PB∣PA∣⋅∣PB∣∣.由第一问知CD=−4,2,0，PA=0,0,−ℎ，又PB=4,0,−ℎ．故∣25⋅ 16+ℎ2∣=∣22∣．解得ℎ=855．又梯形ABCD的面积为：S=12×5+3×4=16．所以四棱锥P−ABCD的体积为：V=13×S×PA=1×16×85=128522. （1）圆C的方程化为标准方程：x−32+y−22=9，则其圆心C3,2，半径r=3 .若设直线l1的斜率为k，直线PC的斜率为k pc，则：k=−1k PC=−112=−2．所以直线l1的方程为：y−3=−2x−5，即2x+y−13=0．（2）因为圆的半径r=3，所以要使直线l2与圆C相交，则须有∣3+2+b∣2<3 . 所以∣b+5∣<32．于是b的取值范围是−3−5＜b＜3−5．（3）设直线l2被圆C截得的弦的中点为M x0,y0，则直线l2与CM垂直，于是有y0−2x0−3=1，整理可得x0−y0−1=0．又因为点M x0,y0在直线l2上，所以x0+y0+b=0 .所以由x0−y0−1=0 x0+y0+b=0,解得x0=1−b2,y0=−1+b2,代入直线l1的方程，得1−b+1+b2−13=0，于是b=−253∈ −32−5,32−5，故存在满足条件的常数b．。

高二数学期中考试试卷(文科)考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++ 的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =-B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。

2015-2016学年广东省佛山市顺德一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分3．（5分）下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）棱长为2的正四面体的表面积是（）A．4 B．4 C．D．165．（5分）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣27．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．（5分）直线l过点A（2，11），且与点B（﹣1，2）的距离最远，则直线l 的方程为（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x﹣y+5=0 C．x+3y+13=0 D．x+3y﹣35=09．（5分）直线y=x+b与曲线x=﹣有且只有一个交点，则b的取值范围是（）A．|b|=B．﹣1≤b＜1，或b=C．﹣1≤b≤1 D．非A，B，C结论10．（5分）光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为（）A． B．C．D．11．（5分）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为．14．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．16．（5分）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．18．（12分）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．（1）求直线EF的方程．（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？19．（12分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．20．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）若定点P（1，1）满足，求直线的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P （5，3）．①求直线l1的方程．②若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年广东省佛山市顺德一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵直线l的方程为y=﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈[0，π），∴α=135°．故选：D．2．（5分）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分【解答】解：可用三线a，b，c表示三个平面，其截面如图，将空间分成7个部分，故选：C．3．（5分）下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据公理2，经过不共线三点确定一个平面，可得①错误；根据公理2的推论，两个平行直线确定一个平面，结合梯形两底边平行，可得②梯形可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线且不共面可以确定三个平面，故③正确；如果两个平面有三个共线公共点，则这两个平面重合或相交，故④错误．则命题正确的个数为2个，故选：C．4．（5分）棱长为2的正四面体的表面积是（）A．4 B．4 C．D．16【解答】解：每个面的面积==×2×2×=．∴正四面体的表面积为：4．故选：A．5．（5分）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；α、β可能平行、也可能相交，所以不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；正确；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．正确，所以正确的命题有2个，故选：C．6．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．7．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C 正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选：D．8．（5分）直线l过点A（2，11），且与点B（﹣1，2）的距离最远，则直线l 的方程为（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x﹣y+5=0 C．x+3y+13=0 D．x+3y﹣35=0【解答】解：∵直线l过点A（2，11），且与点B（﹣1，2）的距离最远，∴当l⊥AB时符合要求，∵k AB==3，∴l的斜率为﹣，所以直线l的方程为y﹣11=﹣（x﹣2），即x+3y﹣35=0．故选：D．9．（5分）直线y=x+b与曲线x=﹣有且只有一个交点，则b的取值范围是（）A．|b|=B．﹣1≤b＜1，或b=C．﹣1≤b≤1 D．非A，B，C结论【解答】解：由x=﹣，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在二、三象限．考虑三个极端情况：①直线在第二象限与曲线相切，②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．直线在第二象限与曲线相切时解得b=，当直线y=x+b经过点（0，1）时，b=1．当直线y=x+b经过点（0，﹣1）时，b=﹣1，所以此时﹣1≤b＜1．综上满足只有一个公共点的实数b 的取值范围是：﹣1≤b＜1或b=．故选：B．10．（5分）光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为（）A． B．C．D．【解答】解：直线y=2x+1与y=x的交点为（﹣1，﹣1），又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0）所以反射后的光线所在的直线方程为：故选：B．11．（5分）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．由于2R＜16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水；故选：B．12．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为3．【解答】解：的几何意义是到原点的距离，它的最小值转化为原点到直线3x+4y=15的距离：=3．故答案为3．14．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，=2π•R3，则V圆柱V圆锥=π•R3，V球=π•R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：215．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．16．（5分）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是②④（写出所有真命题的代号）．【解答】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，之中，选项①错误；任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．【解答】（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F．又∵B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，∴平面AB1F1∥平面C1BF．（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．18．（12分）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．（1）求直线EF的方程．（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？【解答】解：（1）建立坐标系如图所示，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．由题意，直线EF的方程为：；（2）设Q（x，20﹣x），则矩形PQRC的面积为：S=（100﹣x）•[80﹣（20﹣x）]（其中0≤x≤30）；化简，得S=﹣x2+x+6000 （其中0≤x≤30）；所以，当x=﹣=5时，此时y=20﹣×5=，即取点Q（5，）时，S有最大值，最大值为6016m2．19．（12分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．【解答】解：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．∴FO∥DC，且FO=DC∴FO∥AE又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC∴AF∥平面PEC（Ⅱ）连接AC∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理，得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P﹣EC﹣D的平面角由△AME∽△CBE，可得，∴∴二面角P一EC一D的正切为20．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）若定点P（1，1）满足，求直线的方程．【解答】（1）证明：直线l：m（x﹣1）﹣y+1=0，即y﹣1=m（x﹣1），恒经过（1，1）又点在圆内，所以直线和圆恒有两个公共点；（5分）（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，把直线方程y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，得，解得m=±1，所以所求直线方程为x﹣y=0，x+y﹣2=0．（12分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG==2，BF===．于是PA=BF=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．（Ⅰ）=（﹣4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．因为=﹣8+8+0=0，•=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．由第一问知=（﹣4，2，0），=（（0，0，﹣h），又=（4，0，﹣h）．故||=||．解得h=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P （5，3）．①求直线l1的方程．②若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．【解答】解：①∵圆C的方程化标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=9，∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l1的斜率为则k，则k=﹣=﹣=﹣2．∴直线l 1的方程为：y ﹣3=﹣2（x ﹣5）即2x +y ﹣13=0． ②∵圆的半径r=3，∴要使直线l 2与圆C 相交则须有：＜3， ∴|5+b |＜3于是b 的取值范围是：﹣3﹣5＜b ＜3﹣5．③设直线l 2被圆C 解得的弦的中点为M （x °，y °），则直线l 2与CM 垂直，于是有：=1，整理可得：x °﹣y °﹣1=0．又∵点M （x °，y °）在直线l 2上， ∴x °+y °+b=0； ∴由解得：代入直线l 1的方程得：1﹣b ﹣﹣13=0，∴b=﹣∈（﹣3﹣5，3﹣5），故存在满足条件的常数b ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。