2022年福建省质检高三诊断性测试数学参考答案

泉州市2022届高中毕业班质量监测（二）2022.01高三数学本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1M x x =≤-或}1≥x ，{}31=-<<N x x ，则=M N A ．{}31-<≤-x x B ．{}31-<<-x x C ．RD ．{}31x x -≤≤2．若1i =++z a a (∈R a ，i 是虚数单位）是纯虚数，则|i (1)|z ⋅+ =A ．1BCD ．23．已知2332log 233a b c ===，，则A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c<<4．已知π3cos()45α-=-，则sin 2α=A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-5．抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知F 是抛物线:C 24y x =的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M反射后经过点(4，，则FM =A ．2B ．3C ．4D ．5保密★使用前6．若正实数x y ，满足12y x+=，则4x y +的最小值是A ．4B ．92C ．5D ．97．四边形ABCD 为梯形，且2=AB DC uuu r uuu r ，||||2DC DA = =uuu r uuu r ，π3∠=DAB ，点P 是四边形ABCD 内及其边界上的点．若()()4AP DP PB BA -⋅+=-uuu r uuu r uur uur，则点P 的轨迹的长度是A ．B ．C ．4πD ．16π8．已知函数()x f x ax =-e ，(1 )x ∀∈+∞，，()ln f x a x a x <+-e ，则实数a 的取值范围是A ．(1)-∞ ，B ．(1]-∞ ，C ．()-∞e ，D ．(]-∞e ，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三毕业班下学期3月高考诊断性测试数学(理)试题2022年3月本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={xl(x+1)(x—1)v0},B={yly>0}，则A G(R B)=A.0B.[0，1)C.(—1，0)D.(—1，0]2.已知双曲线乂-兰=1的一条渐近线过点(2,1),则此双曲线的离心率为a2b2A.朽B.逼D.空223•若复数z满足z(1+i)=2i—1(i为虚数单位)，则下列说法正确的是A.z的虚部为3iB」z|=》1022C.z+Z=3D.z在复平面内对应的点在第二象限44.设a>0，b>0，则“9a+b W4"是“ab W—"的9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5•已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A.f(x)=ln(l +cosx 2)B.f(x)=x •ln(1—cosx 2)2C.f(x)=ln(1+sinx 2)D.f(x)=x •ln(1—sinx 2)C.BD 丄ABD.BC 丄CD6. 为了得到函数y =sin(2x +呂)的图象，可以将函数y =cos(2x +才)的图象 A.向左平移竺个单位B.向右平移竺个单位 2424C.向左平移-个单位D.向右平移-个单位 227. 已知(ax+—)6(a>0)的展开式中含x —的系数为60，则(ax —丄)6的展开式中的常xx数项为A.—160B.160C.80D.—808.如图所示，已知四边形ABCD 是由一个等腰直角三角形ABC 和一个有一内角为30°的直角三角形ACD 拼接而成，将△ACD 绕AC 边旋转的过程中,下列结论中不9.已知随机变量Z 的分布列如下表所示，且满足E(Z )=0,则下列方差值中最大的是-1 02 P a11 b A.D (Z)B.D(IQ)C.D(2Z +1)D.D(3I Z I —2)10.已知椭圆兰+兰=1(a >b >0)的离心率为应，过左焦点F 作一条斜率为k(k>0)a 2b 23 的直线，与椭圆交于A,B 两点，满足|AF|=2|FB|,则实数k 的值为A.1B<2C.朽D.211.对任意的x 1,x 2^(1,2]，当X ]<x 2时,x 2—x 1+^ln 九<0恒成立，则实数a 的取值范围。

福建省漳州市2022届高三下学期第三次质量检测（漳州三模）1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则( )A. B. C. D.3. 若，则( )A. B. C. D.4. 已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，，的终边关于y轴对称，的终边过点，则( )A. B. C. D.5. 对于给定向量，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：，其中只有一个是假命题，则与的夹角为( )A. 0B.C.D.6. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.7. 若直线l：与抛物线C：相切于点A，l与x轴交于点B，F为C的焦点，则( )A. B. C. D.8. 英国化学家、物理学家享利卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球如图，由于万有引力作用，扭秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G ，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，从P 出发的光线经过镜面点M 处反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若是正三角形．如图，则下列等式中成立的是( )A.B.C. D.9. 已知数列的前n 项和为，则下列说法正确的是( )A. 是递增数列B. 是递减数列C. D.数列的最大项为和10. 已知a ，b 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.若，，则B.若，，则C. 若，，，，则D.若，，，则11. 若函数的图象与的图象关于y 轴对称，则( )A.B. 的值可以是C. 函数在单调递减D. 将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象12. 已知函数，若方程有且只有三个实根，，，且，则( )A. B.C. D.13.除以6的余数是__________.14. 古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种职业，“八门”则指巾、皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业，厦门中学生助手从这13种职业中任取两种职业，则这两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是__________.15. 已知正方体的棱长为4，M在棱上，且，则直线BM与平面所成角的正弦值为__________.16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为I，若为正三角形，则__________，C的离心率的取值范围是__________.17. 已知等差数列的前n项和为，，且求的通项公式：若数列满足，求的前10项和．18. 漳州布袋木偶戏是传统民俗艺术，2006年被列入首批国家非物质文化遗产保护．据《漳州府志》记载，漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了．清朝中叶后，布袋木偶戏开始进入兴盛时期，一直到抗日战争前，漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县，几乎乡乡都有专业或者业余的戏班．现今，随着漳州市木偶剧团和木偶学校的蓬勃发展，漳州布袋木偶戏在传承的基础上，不断创新和发展壮大，走向更广阔的世界．为了了解民众对布袋木偶戏的了解程度，厦门中学生助手微信公众号随机抽取了漳州地区男女各100名市民，进行问卷调查，根据调查结果绘制出得分条形图，如图所示．不够了解相对了解合计男女合计若被调查者得分低于60分，则认为是不够了解布袋木偶戏，否则认为是相对了解布袋木偶戏．根据条形图，完成联表，并根据列联表，判断能否有的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关？恰逢三八妇女节，该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案：得分低于60分的可以获得1次抽奖机会，得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会，每次抽奖结果相互独立．在一次抽奖中，获得一个木偶纪念品的概率为，获得两个木偶纪念品的概率为，不获得木偶纪念品的概率为，在这100名女市民中任选一人，记X为她获得木偶纪念品的个数，求X的分布列和数学期望．参考公式：参考数据：19. 如图，在三棱锥的平面展开图中，B，A，D三点共线，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求的大小；若，，且________，求从以下三个条件中任选一个补充到题目中，并完成解答．①，；②的面积为10，；③，20.如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点，平面经过直线，，平面直线请在图中画出直线l，写出画法并说明理由;求平面与平面所成角的余弦值.21. 已知圆：，圆：，动圆P与圆，圆都外切．圆心P的轨迹为曲线求C的方程；已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数，求的单调区间与零点；若恒成立，求实数a的取值范围。

2021－2022学年第一学期福州市高三期末质量检测数学试题（完卷时间：120分钟；满分:150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1到3页，第Ⅱ卷3至4页．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}*22,120A B x x x =--=∈--N ，≤，则A B = A ．∅ B ．{}211--，， C ．{}2112--，，， D ．{}21012--，，，， 【答案】C【解析】{}{}*1212B x x =∈-=N ≤≤，，所以A B ={}2112--，，，，故选C ． 【考查意图】本小题以集合为载体，主要考查集合的概念和基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 2. 已知34i z =-，则+i z z =A ．1+3iB ．84i -C ．9+3iD ．29+3i【答案】C【解析】因为34i z =-，所以()+i 5+34i i=9+3i z z =-，故选C ．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本概念等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 3. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是 A ．这五位同学年龄的平均数变为19 B ．这五位同学年龄的中位数变为19 C ．这五位同学年龄的方差仍为0.8 D ．这五位同学年龄的方差变为3.8【答案】D【考查意图】本小题以“五位同学的年龄”为载体，考查平均数、中位数、方差等基础知识；考查应用意识；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．4.63x⎛- ⎝展开式中的常数项为A ．540-B ．15-C ．15D ．135【答案】D【解析】二项式63x⎛- ⎝的展开式的第1r +项为()616(3r r r r T C x --+==36626(1)C 3r r r rx---．令3602r -=，解得4r =，所以42651353T C =⨯=，所以63x ⎛ ⎝展开式中的常数项为135．故选D.【考查意图】本小题以二项式为载体，主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 5. 已知函数3310()0x x f x ax b x ⎧+=⎨+⎩，＞，，＜为偶函数，则2+a b =A ．3B ．32 C ．12-D ．32-【答案】B【解析】解法一、当0x <时，0x ->，所以33()()1+1f x x x -=-+=-，因为()f x 为偶函数，所以3()()+1f x f x x =-=-，又3()f x ax b =+，所以1,1a b =-=，所以32+2a b =． 解法二、因为()f x 为偶函数，所以()()(1)1,(2)2,f f f f ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以2,89,a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得11a b =-⎧⎨=⎩，，经检验，11a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，所以32+2a b =．【考查意图】本小题以分段函数为载体，主要考查函数的奇偶性的定义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 6. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转4π弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为 A ．2π B ．π+8 C ．2π+8 D ．4π+8【答案】C【解析】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转4π，所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径r 为2，高h 为2的圆柱的八分之一，所以其表面积()21228S rh r =π+π+222⨯=()2122222828π⨯⨯+π⨯+=π+8，故选C ．【考查意图】本小题以旋转体为载体，主要考查旋转体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．7. 已知函数()()sin f x x ωϕ=-的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为A ．15,,66k k k ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．152,2,66k k k ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．15,,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．152,2,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】D【解析】解法一、由()()2342,3m m m m ωϕωϕ⎧-=π∈⎪⎪⎨⎪-=π+π∈⎪⎩Z ,Z 解得()2,3m m ωϕ=π⎧⎪π⎨=-π∈⎪⎩,Z ()sin 2sin 33f x x m x ππ⎛⎫⎛⎫=π-+π=π- ⎪⎭∴ ⎪⎝⎝⎭，令232k x k k πππ-+2ππ-+2π,∈Z ，解得1566k x k k -+2+2,∈Z ．故选D ． 解法二、由图象知411,2,233T T =-=∴=又1453326x +==时，()f x 取得最大值， 排除A 、B 、C.故选D ．【考查意图】本小题以三角函数的图象为载体，考查三角函数的图象和性质等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．8. 已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左焦点，A 为C 的右顶点．过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P ．若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率为 A ．2 B ．32C ．3D ．43【答案】A【解析】解法一、如图所示，设AM 交y 轴于Q ，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ．由双曲线性质可知，FM b =，OFc OM a ==，，由FMN △∽FPO △，AQO AMN △∽△得FN MN FO PO =,AO QO AN MN =,以上两式相乘得12FN AO FO AN ⋅=⋅，所以2212a c ac a c a c ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212a c a ac c a-=+，即12c a c -=，所以1112e -=，解得2e =．故选A ．解法二、如图所示，设AM 交y 轴于Q ，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ．不妨设渐近线方程为b y x a =-，则直线FP 的方程为()a y x c b =+，令0x =，得P ac y b =．由()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2a ab Mc c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则2AMabb c k a a c a c==-+--，所以直线AM 的方程为()b y x a a c =--+，令0x =得Q ab y a c =+．因为Q 为OP 中点，所以2ab aca c b=+，整理得()222222ac c b c a +==-，即2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，或1e =-（舍去）．故选A ．解法三：如图所示，设AM 交y 轴于Q ．由双曲线性质可知，FM b =，OF c =，OM a OA ==，所以OMQ OAQ ∠=∠．在Rt OPM △中， Q 为OP 中点，所以MQ OQ PQ ==，所以QOM OMQ OAQ ∠=∠=∠，所以Rt Rt OMP AOQ △≌△，所以MP =OQ ，所以MPQ △为正三角形，所以60MPQ ∠=︒，故30MFO ∠=︒，所以2,c a =所以2e =.（也可以利用tan30FPa kb ==︒，即2e =），故选A ．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知向量()()3111+--，，，m n =m n =，则 A ．()-∥m n n B ．()-⊥m n nC．m D ．45=︒，m n 【答案】BCD ． 【解析】依题意，()()()1202++-=⎡⎤⎣⎦，m =m n m n ，()1[2+-n =m n ()()]11-=，m n ，所以()()()11110-⋅=-⋅=，，m n n ，所以()-⊥m n n ，所以选项A 错误，B 正确． 所以2=m n ，选项C正确；cos ⋅===，m n m n m n ， 因为0180︒︒m n ≤，≤，所以45=︒，m n ，选项D 正确． 【考查意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标表示、平面向量共线与垂直、平面向量模长、夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．10. 某人有6把钥匙，其中n 把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p ，则下列结论正确的是 A. 当1n =时，16p = B. 当2n =时，13p =，C. 当3n =时，310p = D. 当4n =时，45p =【答案】AC【解析】当1n =时，511656p ⨯==⨯，选项A 正确；当2n =时，4246515p ⨯==⨯，选项B 错误；当3n =时，3336510p ⨯==⨯，选项C 正确；当4n =时，2446515p ⨯==⨯，选项D 错误．故选AC ．【考查意图】本小题以“取钥匙开门”为载体，考查随机事件的概率等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想、或然与必然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性．11. 已知()()3030A B -，，，，动点C 满足2CA CB =，记C 的轨迹为Γ．过A 的直线与Γ交于P Q ，两点，直线BP 与Γ的另一个交点为M ，则 A ．Q M ，关于x 轴对称 B ．PAB △的面积的最大值为C ．当45PMQ ∠=︒时，PQ =D ．直线AC的斜率的取值范围为⎡⎣【答案】AC ．【解析】设()C x y ，，由2CA CB =整理得Γ的方程为()25x -+2y =16，其图象是以()50D ，为圆心，半径4r =的圆．故()max 11641222PAB S AB r =⋅=⨯⨯=△，选项B 错误．因为2PA PB =，2MA MB =，所以PA PB MAMB=，所以PAB MAB ∠=∠，又轨迹Γ的图象关于x 轴对称，所以Q M ，关于x 轴对称，选项A 正确．当45PMQ ∠=︒时，452PDQ ∠=︒⨯=90︒，则DPQ △为等腰直角三角形，PQ ==，选项C 正确．当直线AC 与圆D 相切时，CD AC ⊥，此时822AD r CD ===，切线AC 的倾斜角为30︒和150︒，结合图象，可得直线AC 的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦．选项D 错误．故选AC ．【考查意图】本小题以圆为载体，主要考查直线与圆的位置关系、弦长、图象的对称性等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 12. 设函数()1()e 1e x x f x x x -=+-，则A ．()(1)f x f x =-B ．函数()f xC ．若121x x +=，则()1122()x f x x f x +D ．若121x x +＜，且212x ＞，则()21()1f x f x -＜ 【答案】ACD【解析】易验证A 是正确的，也即函数()f x 关于直线12x =对称．故选项A 正确； 因为11()e e 2e e x x x x f x x x --'=+-+()()1+1e 2e x x x x -=+-，所以1()02f '=，当12x >时，()()113()+1e 2e (e e )2x x x x f x x x --'=+->-，此时1x x >-，所以()0f x '>，故函数()f x 在1(,)2+∞上单调递增；由于函数()f x 关于直线12x =对称，所以函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减．所以函数()f x 在12x =处有极小值，也是最小值，1()2f =B 错误；若121x x +<，且212x >，则21112x x <<-，由()f x 在1(,)2+∞上单调递增得()21()1f x f x <-．故选项D 正确；由于函数()f x ，所以1()e f x ，若121x x +=，则211x x =-，所以()()211f x f x =-， 又因为()()111f x f x =-，所以()()12f x f x =，故()()112211211211()()()()()e x f x x f x x f x x f x x x f x f x +=+=+=，故选项C 正确．故选ACD.【考查意图】本小题以函数为载体，考查函数与导数、函数的基本性质、函数的极值等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；体现综合性与创新性．第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线3()2f x x x =+在0x =处的切线方程是 ．【答案】20x y -=【解析】依题意得，(0)0f =，()232f x x '=+，所以()02f '=，所以所求的切线方程为2y x =，即20x y -=．【考查意图】本小题以三次函数为载体、考查导数的几何意义等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性．14. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，F 是线段11A B 上的动点，则1AF FC +的最小值为 ．【解析】将正三棱柱111ABC A B C -上底面沿11A B 展开至平面11ABB A 上，如图所示，因为1112AA AC ==，且1190+60=150AAC ∠=︒︒︒，所以11112sin 2AAC AC AA ∠=⋅=22sin 75⨯︒=1AF FC +【考查意图】本小题以正三棱柱为载体，主要考查空间中动点到两定点的距离和最小值等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性．15. 抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 是E 的准线与坐标轴的交点，点P 在E 上，若30PAF ∠=︒，则sin PFA ∠= ．【解析】过P 作准线的垂线，垂足为B ， 所以30BPA PAF ∠=∠=︒，PB PF =．在Rt BPA △中，cos30PB PA=︒，即在PAF △中，cos30PF PA=︒，又由正弦定理sin sin PA PF PFA PAF=∠∠，所以sin 30sin sin cos30PA PFA PAF PF︒∠=∠==︒【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的方程与定义、解三角形等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．16. 函数[]y x =称为高斯函数，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．已知数列{}n a 满足33a =，且()1n n n a n a a +=-，若[]lg n n b a =，则数列{}n b 的前2 022项和为 ． 【答案】4959 【解析】利用累乘法(或13113n n a a a n n +===+),得n a n =．记{}n b 的前n 项和为n T ， 当19n 时，0lg 1n a <时，[]lg 0n n b a ==；当1099n 时，1lg 2n a <时，1n b =； 当100999n 时，2lg 3n a <时，2n b =； 当10002022n时，3lg 4n a <时，3n b =；所以[][][]2022122022lg lg lg 9019002102334959T a a a =++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯=．【考查意图】本小题以数列为载体，考查数列求通项、递推数列、数列前n 项的和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养；体现综合性与创新性．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）设数列{}n a 是首项为1的等差数列，若2a 是1a ，5a 的等比中项，且23a a <. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 【考查意图】本小题主要考查等比中项、等差数列的通项公式、裂项相消求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分10分．【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为11a =，且2a 是1a ，5a 的等比中项，所以2215a a a =， ··················································································· 1分所以()()21114a d a a d =++， ·································································· 2分 又因为11a =， 所以()2114d d =++解得2d =，或0d =， ·········································································· 3分 又因为23a a <，所以0d ≠，所以2d =， ······································································· 4分 所以()()1112121n a n d n a n =+-=+-=-． ··············································· 5分 （2）由（1）知，21n a n =-， 因为11n n n a b a +=， 所以1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， ············································ 7分 所以11111111(1)()()()2335572121n S n n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥-+⎣⎦··························· 8分 =11(1)221n -+． ········································································· 9分 .21nn =+ ················································································· 10分 18. （12分）为让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入．下图是我国2001年至2019年间每年普通本科招生数y （单位：万人）的条形图．普通高等学校本科招生数（万人） （数据来源：国家统计局网站）为了预测2022年全国普通本科招生数，建立了y 与时间变量t 的三个回归模型．其中根据2001年至2019年的数据（时间变量t 的值依次为12319，，，，）建立模型①：0.058ˆ166.9e t y=，相关指数210.87R ≈；模型②：ˆ152.416.3y t =+，相关系数20.97r ≈，相关指数220.95R ≈．根据2014年至2019年的数据（时间变量t 的值依次为1236，，，，）建立模型③：ˆ372.89.8yt =+，相关系数30.99r ≈，相关指数230.99R ≈． （1）可以根据模型①得到2022年全国普通本科招生数的预测值为597.88万人，请你分别利用模型②、③，求2022年全国普通本科招生数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考查意图】本小题主要考查回归分析、相关指数、相关系数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分12分．【解】（1）利用模型②，2022年全国普通本科招生数的预测值为ˆ152.416.322511y=+⨯=（万人）； ······················································· 3分 利用模型③，2022年全国普通本科招生数的预测值为ˆ372.89.89461y=+⨯=（万人）． ························································· 6分 （2）利用模型③得到的预测值更可靠． ················································ 7分 理由如下：（ⅰ）从条形图可以看出，2001年至2010年，2011年至2019年两个区间增长率有显著区别，2014年至2019年招生数增长速度趋于稳定，线性关系更为明显，故模型③比模型①、②能更好地描述时间变量与招生数的变化趋势． ··································· 9分（ⅱ）从计算结果可以看出，模型③的相关指数230.99R ≈最高，说明其拟合效果最好．模型③的相关系数30.99r ≈比模型②的相关系数20.97r ≈高，说明模型③的两变量的相关性比模型②更强，因此利用模型③得到的预测值更可靠． ··························· 12分 19. （12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos c a B c A =+． （1）试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）设点D 在边AC 上，若AD BD =，sin sin ADB ABC ∠=∠，求ab的值. 【考查意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解】解法一、（1）ABC △为直角三角形或ABC △为等腰三角形. ················· 1分 理由如下：在ABC △中，因为cos cos c a B c A =+， 根据正弦定理得，sin sin cos sin cos C A B C A =+， ····························································· 2分又因为π()C A B -=+，所以sin()sin cos sin cos A B A B C A +=+， 即sin cos cos sin sin cos sin cos A B A B A B C A +=+，即cos sin sin cos A B C A =， ··································································· 3分 所以cos 0A =或sin sin B C =， ······························································ 4分 若cos 0A =，则π2A =，故此时ABC △为直角三角形. ······························· ５分 若sin sin B C =，则由正弦定理得，b c =.故此时ABC △为等腰三角形.综上，ABC △为直角三角形或ABC △为等腰三角形. ································· 6分 （2）由（1）知，π2A =或b c =， 若π2A =，则AD BD <，这与已知条件AD BD =相矛盾， 所以π2A ≠；······················································································· 7分 所以b c =， 所以ABC C ∠=∠.又因为sin sin ADB ABC ∠=∠， 所以sin(π)sin ADB C -∠=∠， 即sin sin BDC C ∠=∠， 故BDC C ∠=∠， ················································································ 8分所以A DBC ∠=∠.在DBC △中，sin sin BCDBC BDC DC =∠∠， 在ABC △中，sin sin BCABC AAC =∠， ··························································· 9分 两式相乘得2BC AC DC =⋅， ································································ 10分 (也可通过等腰ABC△BDC △得到2BC AC DC =⋅.)又AC AD AC BD AC BC CD =-=-=-，所以2()a b b a =-， ············································································· 11分解得a b =或a b =（舍去）． 所以ab ． ········································································ 12分 解法二、（1）ABC △为直角三角形或ABC △为等腰三角形. ·························· 1分 理由如下：因为cos cos c a B c A =+，根据余弦定理，得22222222a c b b c a c a c ac bc+-+-=⋅+⋅， ······························· ２分 22222222a c b b c a c b+-+-=+， 所以22222222a c b b c a c c b +-+--=， ························································ ３分 即2222222222c a c b b c a c b--++-=， 所以222222()()b c b a c b c a +-=+-， ······················································ ４分 所以222()()()()0bc b c b c b bc c a b c --+-++--=，所以222()()0b c b c a -+-=， ································································ ５分 即222a b c =+或b c =，所以ABC △为直角三角形或ABC △为等腰三角形. ···································· 6分 （2）由（1）知，π2A =或b c =， 若π2A =，则AD BD <，这与已知条件AD BD =相矛盾，所以π2A ≠； ·········· 7分 所以b c =， 所以ABC C ∠=∠.又因为sin sin ADB ABC ∠=∠， 所以sin(π)sin ADB C -∠=∠， 即sin sin BDC C ∠=∠， 故BDC C ∠=∠， ················································································ 8分所以A DBC ∠=∠.又因为AD BD =，所以A DBA ∠=∠，即BD 平分ABC ∠， ·············································································· 9分 所以BA DABC DC =， ··············································································· 10分 所以c aa b a=-， 所以b aa b a=-， ················································································ 11分解得a b =或a b =（舍去）． 所以ab ． ········································································ 12分20. （12分）如图，在三棱锥D ABC -中，DA ⊥底面ABC ，1AC BC DA ===，AB =E 是CD 的中点，点F 在DB 上，且EF DB ⊥．（1）证明:DB ⊥平面AEF ； （2）求二面角A DB C --的大小．【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解】解法一、（1）DA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， DA BC ∴⊥，1AC BC AB ==，，222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥， ························································· 1分DAAC A =，BC ∴⊥平面DAC ， ······················································ 2分AE ⊂平面DAC ，BC AE ∴⊥． 又DA AC =，E 是CD 的中点，DC AE ∴⊥， ······················································································ 3分又BC DC C =，AE ∴⊥平面DBC ．DB ⊂平面DBC ，DB AE ∴⊥， ·························································· 4分 ,EF DB EFAE E ⊥=，DB ∴⊥平面AEF ． ············································································· 5分 （2）过点A 作AG BC ∥，由（1）知BC ⊥平面DAC ，所以AG ⊥平面DAC ．以点A 为原点，分别以向量AC AG AD ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，············································································· 6分 则()0,0,0A ，()1,0,0C ，()1,1,0B ，()0,0,1D ， 则()0,0,1,AD =()()1,1,11,0,1BD CD =--=-，，设平面ADB 的法向量()111,,m x y z =， 则0,0,m AD m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11110,0,z x y z =⎧⎨--+=⎩令11y =，DEFA BC。