2023年福建高三省质检数学试题及答案解析

2023年福建省高中毕业班第三次质量检测数学注意事项， 1.答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。

学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本练习卷上无效。

3.答题结束后，学生必须将练习卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|lg A x y x ==, {}2|B y y x ==,则A.A B R =B.R A B ⊆CC.A B B =D.A B ⊆ 2.已知z 是方程2220x x −+=的一个根，则||z =D.23.函数2ln ||2()x x f x x−+=的图象大致为A B C D4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆的面积，南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π，据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为A.360sin 2n n π°≈B. 180sin n nπ°≈C. π≈D.π≈5.己知双曲线C:2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>1F ，2F ，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P,若2|PF |2=，则12PF F △的面积为6.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉,现有5支救援队前往A,B,C 等3个受灾点执行救援任务，若每支求援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是A. 72B. 84C. 88D. 1007.已知1ln2, , 2,a a b e c a a==−=-则 A.b c a >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >> 8.已知2(,)X N µσ ，则()0.6827P X µσµσ−≤≤+≈，(22)0.9545P X µσµσ−≤≤+≈，(33)0.9973P X µσµσ−≤≤+≈，今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标ξ（单位：毫米)服从正态分布2(5.40,0.05)N ,现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55)，若K=45,试以使得P(K=45)最大的N 值作为N 的估计值，则N 为A.45B.53C.54D.90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年福州市普通高中毕业班质量检测数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}12A x x =-≤，{|2x B x =，则A B =（ ）A ．112x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B．{|1x x -≤ C ．12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤ D ．{|3}x x ≤1．【答案】D【解析】因为{}12{|13}A x x x x =-=-≤≤≤，1{|22x B x x x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭≤≤，所以{|3}x A B x = ≤．故选：D2．已知(1i)24i z +=-，则z = （ ）A ．2 BC ．4D ．102．【答案】B【解析】因为(1i)24i z +=-，所以24i1i z -=+，所以24i 1i z -===+． 3．若二项式2213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数n 可以是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．73．【答案】C【解析】二项式2213n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为224121C (3)3C rr n r n r r n r r n n T x xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令240n r -=，解得：2n r =，又因为0r n ≤≤且r 为整数，所以n 为2的倍数，所以6n =，故选：C ．4．为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团．甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为 （ ） A ．13B ．12C ．23D ．344．【答案】A【解析】甲、乙两位同学各自随机选择一个社团，共有9种情况，这两位同学恰好参加同一个社团，共有3种情况，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率3193P ==．故选：A 5．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为120︒，则2a b - 在b上的投影向量为（ ）A ．3b -B ．32b -C ．12b - D ．3b5．【答案】B【解析】2223(2)22cos1202a b b a b b a b b b -⋅=⋅-=⋅⋅︒-=- ，2a b ∴- 在b 上的投影向量为23(2)322b a b b b b b b b b b--⋅⋅=⋅=-．故选：B 6．已知221:(2)(3)4O x y -+-= ，1O 关于直线210ax y ++=对称的圆记为2O ，点E ，F 分别为1O ，2O 上的动点，EF 长度的最小值为4，则=a（ ）A ．32-或56B ．56-或32C ．32-或56- D ．56或326．【答案】D【解析】由题易知两圆不可能相交或相切，则如图， 当EF 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时， EF 长度最小，此时圆心1O 到对称轴的距离为4，4，22(27)16(4)a a +=+，解得32a =或56a =．故选：D7．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，PA PB PC AB ====2π3ACB ∠=，则球O 的体积为（ ） A ．3πB ．27π8C ．9π2D ．9π7．【答案】C 【解析】由PA PB PC ==可知点P 在底面ABC 内的射影为ABC △的外心，所以是圆锥模型，设ABC △外接圆半径为r，则2sinABr ACB===∠， 所以r =2h ==，设外接球半径为R ，则222()R h R r =-+，即22(2)2R R =-+，解得32R =，所以球O 的体积为344279πππ3382V R ==⨯=．故选：C ． 8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，且(1)()2f x g x -+=，()(3)2f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑8．【答案】D【解析】因为()(3)2f x g x +-=，所以(3)()2f x g x ++=，又(1)()2f x g x -+=， 则有(3)(1)f x f x +=-，因为(1)f x +是奇函数，所以(1)(1)x x f f =--+，可得(3)(1)f x f x +=-+，即有(2)()f x f x +=-与(4)(2)f x f x +=-+，即(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()g x 也是周期为4的周期函数． 因为()(2)f x f x --=+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．故A 错误； 由(1)f x +是奇函数，则(1)0f =，所以(3)0f =，又(2)(4)(2)(0)0f f f f +=+=， 所以201()5[(1)(2)(3)(4)]0k f k f f f f -=+++=∑，所以C 选项错误；由(1)0f =得(0)2g =，所以B 选项错误；因为(2)2(5)2(1)2g f f =-=-=，(1)(3)[2(4)][2(6)]4[(4)(2)]4g g f f f f +=-+-=-+=， 所以(0)(1)(2)(3)8g g g g +++=，所以201()5[(0)(1)(2)(3)]40k g k g g g g ==+++=∑，所以D 正确．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 B ．()f x 在区间[0,π]有两个零点 C ．直线π12x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线2π43y x =+是曲线()y f x =的切线 9．【答案】BCD【解析】对于A ，当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则22,333πππx ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦先减后增，所以π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的增区间，故错误；对于B ，当[0,π]x ∈时，π72,333x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π23x π+=或2π，解得3x π=或5π6，所以()f x 在区间[0,π]有两个零点，故正确；对于C ，令π12x =，则ππsin 2sin 132x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以直线π12x =是曲线()y f x =的对称轴，故正确；对于D ，由π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得π()4cos 23f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令π()4cos 243f x x ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，即π22π,3x k k +=∈Z ，解得ππ,6x k k =-+∈Z ，当0k =时，π6x =-，代入()f x 可得π06f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 在点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线为π46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得2π43y x =+，故D 正确．故选：BCD10．已知曲线222:1424x y C m +=-，则 （ ）A ．若m >，则C 是椭圆B ．若m <<C 是双曲线 C ．当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D ．当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大 10．【答案】BD【解析】对于A ，2m =满足m >，代入曲线C 中，得22144x y +=，即224x y +=，表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆，故A 错误；对于B ，当m <<24240m --<≤，所以24(24)0m -<，故C 是双曲线，故B 正确；对于C ，当C 是椭圆时，2240m ->，且2244m -≠，解得22m >且24m ≠，即m >且2m ≠，所以当m 越接近2时，椭圆C 越接近于圆．所以C 错误．对于D ，当曲线222:1424x y C m +=-为双曲线时，2240m -<，整理成2221442x y m-=-，则2a =，b =，当m 越小，则b =b y x a=的斜率越大，图象的张口就越大，故D 正确．故选：BD ．11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，P 为线段EF 上的动点，则 （ ）A ．线段DP 长度的最小值为2B ．三棱锥1D A AP -的体积为定值C ．平面AEF 截正方体所得截面为梯形D ．直线DP 与1AA 所成角的大小可能为π311．【答案】BC【解析】对于A ：DE DF == ，EF =，∴当点P 为EF 的中点时，此时DP 长度的最小，最=，A 错；对于B ：//EF 平面11AA D D ，∴点P 到平面11AA D D 的距离等于E 到平面11AA D D 的距离，故三棱锥1D A AP -的体积等于三棱锥1P A AD -的体积也等于三棱锥1E A AD -的体积，为114222323⨯⨯⨯⨯=，B 正确；对于C ：如图平面AEF 截正方体所得截面为四边形AEFD ，因为11////EF BC AD ，且111122EF BC AD ==，所以四边形AEFD 为梯形，C 正确； 对于D ：过点P 作PN BC ⊥于点N ，连接DN ，则PN ⊥平面ABCD ， 所以1//PN AA ，则直线DP 与AA 1所成角的大小为DPN ∠或其补角，令EN a =，则PN a =，1CN a =-，DN =，tan DNDPN PN ∴∠===令225211415,0155t a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭≤≤，01a ≤≤，当0a =时，1DP AA ⊥，当01a <≤，11a ≥，而22521141555t a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递增，所以21451455t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭≥，即tan 2DPN ∠>≥故直线DP 与1AA 所成角的大小不可能为π3，D 错．故选：BC12．若x ，y 满足223x xy y ++=，则 （ ）A ．2x y +≤B ．21x y +-≥C ．228x y xy +-≤D ．221x y xy +-≥12．【答案】AD【解析】由223x xy y ++=，可得2213324x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，令1,2,x y y θθ⎧+=⎪⎪=可得sin 2sin x y θθθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，对于A 、B：22sin 2sin [x y θθθθ+=-+=∈-，故A 正确，B 错误；对于C 、D：22323sin )2sin x y xy xy θθθ+-=-=--⋅23sin 4sin 32(1cos 2)θθθθθ=-+=-+-1542cos 254sin 2[1,9]26πθθθ⎫⎛⎫=-+=-+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确．故选：AD ． 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若3cos 5α=-，α是第三象限角，则tan 2α=___________． 13．【答案】247-【解析】因为3cos 5α=-，且α是第三象限角，所以4sin 5α==-，则sin 4tan cos 3ααα==， 所以282tan 243tan 2161tan 719ααα===---，故答案为：247-． 14．利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________． 14．【答案】64%##1625##0.64 【解析】由题意可知金融产品价格上涨的概率为：60%80%40%40%064.⨯+⨯=，故答案为：0.64 15．已知曲线32()362f x x x x =-++在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________． 15．【答案】11 【解析】2()366f x x x '=-+，函数()f x '的对称轴为1x =，(1)6f =，所以函数()f x 关于点(1,6)对称，因为函数()f x 在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，所以点P 和点Q 关于点(1,6)对称，即12p Q y y +=，而1P y =，11Q y ∴=．16．已知椭圆22:1126x y C +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且::1:2:3MA AB BN =，则l 的方程为____________________． 16．【答案】40x y -+=【解析】如图，由条件得B 点为线段MN 中点，设B 点坐标为00(,)x y ，得0(2,0)M x 、0(0,2)N y ，由:1:2MA AB =得A 坐标为005,33x y A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将A B ､坐标分别代入221126x y +=中，得220022001,126251,12969x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⨯⨯⎩解得0022x y =-⎧⎨=⎩，则M 、N 坐标分别为()4,0-、(0,4)， 故直线方程为144x y+=-，即40x y -+=，所以直线l 的方程为40x y -+=． 解法二：设(,0)M m ，(0,)N n ，则0m <，0n >，由::1:2:3MA AB BN =，可知5,66m n A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22m n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB 中点2,33m n P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22MN OP b k k a ⋅=-，得221222n n n m m m -⋅=-=-，22m n ∴=，m n =-，1MNk ∴=，此时5,66m m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点A 坐标代入椭圆方程，解得：4m =-， 故102,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为21033y x -=+，即40x y -+=．四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值： （2）求C 的最大值．17．【答案】（1）tan 3tan B A =-；（2）π6． 【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到2222(2cos )2c a ac B a c +--=，················································1分 化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=．·······························································2分 由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即sin()2sin cos 0A B A B ++=，····························3分 展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，······················4分所以tan 3tan BA=-．······································································································5分 （2）由2222b a c -=得2222b a c =-，故222cos 2a b c C ab+-=···········································6分 222222b a a b ab-+-=···································································································7分2233444a b a b ab b a +==+=≥·········································································8分 当且仅当223b a =，即b =时等号成立．··································································9分因为(0,π)C ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6．·····················································10分18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，24CD AB ==，PAD △ 是正三角形，E 是棱PC 的中点． （1）证明：//BE 平面PAD ；（2）若AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．18．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）取PD 中点F ，连接AF ，EF ．//EF CD ，12EF CD =，//AB CD ，12AB CD =， //EF AB ∴，EF AB =，··························································································1分∴四边形ABEF 为平行四边形，//BE AF ∴，·······························································3分 又BE ⊄ 平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，//BE ∴平面PAD ．········································4分（2）取AD 中点O ，BC 中点G ，连接PO ，OG ，可得PO AD ⊥，//OG CD ．平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO AD ⊥，PO ⊂平面PAD ， PO ∴⊥平面ABCD ．·······························································································5分 AD CD ⊥ ，//OG CD ，OG OA ∴⊥．····································································6分 以O 为原点，以AD ，OG ，OP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．7分 因为2AB =，4CD =，AD =，PAD △是等边三角形，所以PD AD ==12OA AD ==，3PO ==，所以A，2,0)B，(4,0)C ，(0,0,3)P ． 则(0,2,0)AB =，(2,0)BC =-，(2,3)BP =-．·············································9分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，由0BC n ⋅= ，0BP n ⋅=，可得20230y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，可得y =z =，从而n =是平面PBC 的一个法向量．······························································10分则cos ,AB n AB n AB n ⋅〈〉===⋅····································································11分所以直线AB 与平面PBC．·························································12分 19．欧拉函数*()()n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：(1)1ϕ=，(4)1ϕ=．（1）求2(3)ϕ，3(3)ϕ；（2）令1(3)2n n a ϕ=，求数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 19．【答案】（1）2(3)6ϕ=；3(3)18ϕ=；（2）1321443n n -+-⨯． 【解析】（1）不超过9，且与其互质的数即为[1,9]中排除掉3，6，9剩下的正整数，则22(3)336ϕ=-=；································································································2分 不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数， 则33(3)3918ϕ=-=．······························································································4分 （2）*[32,3]()k k k -∈N 表示任意相邻的三个正整数，其中与3n 互质的为32k -与31k -两个， 故分别取11,2,,3n k -= 可得[1,3]n 中与3n 互质的正整数个数为123n -⨯， 所以1(3)23n n ϕ-=⨯，11(3)32n n n a ϕ-==，···································································7分 所以31log 13n n n a n a --=．·································································································8分 设数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．1221122103333n n n n n T ----=+++++ ，23111221033333n n n n n T ---∴=+++++ ，···················9分两式相减得：11211111111113331133333313n n n n n n n T ---⨯--⎛⎫-=+++-=- ⎪⎝⎭- ····························10分 11111212233223n n nn n --+=--=-⨯⨯，··············································································11分 则131213212223443n n n n n T -++⎛⎫=-=- ⎪⨯⨯⎝⎭．··········································································12分 20．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且2(17,)X N σ～，其中2σ近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈≤≤，(22)0.9545P X μσμσ-+≈≤≤4.7≈4.8≈，30.158650.004≈．20．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23；（2）0.004【解析】（1）把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则14x =，26x s =；21y =，217y s =．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14x =，21y =，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++·····························································2分12014902117210⨯+⨯==，··························································································3分根据方差的定义，总样本方差为1209022211121()(0i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑·································4分 1209022111(()210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由1201201112)0(0iii i x x x x ==-=-=∑∑可得120120112()2()(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，9090112(2((0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，·····················································5分因此，1201209090222221111()(1)(()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦·····························································6分 所以{}2221120[6(1417)]90[17(2117)]23210s =⨯+-+⨯+-≈， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．······················7分 （2）由（1）知223 =，所以(17,23)X N ~4.8≈，所以(12.221.8)(17 4.817 4.8)0.6827P X P X =-+≈≤≤≤≤，··································8分1(12.2)(10.6827)0.158652P X <≈⨯-=，··································································9分因此(3,0.15865)X B ～，····························································································10分所以333(3)C 0.158650.004P X ==⨯≈．······································································11分 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．················································12分 21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(2,0)-的两条直线1l ，2l 分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当1l 的斜率为23时，AB =． （1）求E 的标准方程：（2）设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上． 21．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定直线为2x =． 【解析】（1）当1l 的斜率为23时，得1l 方程为2(2)3y x =+，·············································1分 由222(2)3y pxy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消元得2340y py p -+=，2(3)440p p ∆=--⨯>，123y y p +=，124y y p =；······························································································································2分由弦长公式得AB ===，········3分2=，解得2p =或29p =-（舍去），2p =满足0∆>，从而E 的标准方程为24y x =．····················································································4分 （2）法一：因为直线1l ，2l 分别交E 于A 、B 两点和C ，D 两点，所以直线斜率存在．设直线AB 的方程为1()2y k x =+，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由12(2)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得211480k y y k -+=，···························································5分 则128y y =．············································································································6分设直线CD 的方程为2()2y k x =+，233,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭， 同理22(2)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得222480k y y k -+=，可得348y y =．··································7分直线AD 方程为241112241444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即1441414y y y x y y y y =+++， 化简得14144()0x y y y y y -++=，···············································································8分 同理，直线BC 方程为23234()0x y y y y y -++=，·························································9分 因为(2,0)-在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点G 必在垂直于x 轴的直线上，所以只需证G 的横坐标为定值即可． 由141423234()04()0x y y y y y x y y y y y -++=⎧⎨-++=⎩，消去y ， 因为直线AD 与BC 相交，所以2314y y y y +≠+，解得2314142323144[()(())]()y y y y y y y y x y y y y +-+=+-+···········································································10分 1232341241343241231423142314231488888[()()]4[()()2]4[()()]4[()()]y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y +--+--+-+===+-++-++-+=．11分所以点G 的横坐标为2，即直线AD 与BC 的交点G 在定直线2x =上．······························12分法二：设直线AB 方程为2x my =-，由224x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2480y my -+=，··············5分设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则128y y =．···································································6分 设直线CD 的方程为2x ny =-，233,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，同理可得348y y =．················7分 直线AD 方程为241112241444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即1441414y y y x y y y y =+++， 化简得14144()0x y y y y y -++=，···············································································8分 同理，直线BC 方程为23234()0x y y y y y -++=．·························································9分 因为(2,0)-在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点G 必在垂直于x 轴的直线上，所以只需证G 的横坐标为定值即可． 由141423234()04()0x y y y y y x y y y y y -++=⎧⎨-++=⎩，消去y ，因为直线AD 与BC 相交，所以2314y y y y +≠+， 解得2314142323144[()(())]()y y y y y y y y x y y y y +-+=+-+···········································································10分1232341241343241231423142314231488888[()()]4[()()2]4[()()]4[()()]y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y +--+--+-+===+-++-++-+=．11分。

一、单选题二、多选题1. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3）或；（4）且．A ．3B ．2C ．1D ．03. 已知抛物线的焦点为F ，点A 在C 上．O 为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．1B ．2C．D．4. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6. 等差数列，，，……，的公差为，若以上述数列，，，……，为样本，则此样本的方差为A．B．C．D．7. 设、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B．若，，则C ．若，，则D ．若，，，则8. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．9. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ）A．已知随机变量服从二项分布，若，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线与圆相离福建省福州市2023届高三质量检测数学试题福建省福州市2023届高三质量检测数学试题三、填空题四、解答题B ．若直线是圆的一条对称轴，则C ．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D ．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为11. 某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值，并按四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则（）指标区间男､女人数比(男性：女性)城､乡人数比(城市户口：乡村户口)A．该地居民的健康指标值的众数的估计值为1B ．该地居民的健康指标值的中位数的估计值为0C ．样本数据中，的男性中至少有1人是城市户口D ．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的的概率为12. 已知m 、n 为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，且，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，，则13. 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________14.若，，则__________．15.曲线在点处的切线方程为______．16.已知数集.如果对任意的i ，j (且)，与两数中至少有一个属于A .则称数集A 具有性质P .（1）分别判断数集是否具有性质P ，并说明理由：（2）设数集具有性质P .①若，证明：对任意都有是的因数；②证明：.17. 已知,分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．（1）证明：无论把转到什么位置，面面；（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．18. 设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.(1)求；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.19. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．(1)①求生产一件该芯片的次品率．②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．甲型号乙型号合计满意不满意合计附：，．0.0500.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.82820. 如图所示，三棱柱中，，面面，，与相交于．(1)求证：面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．21. 在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.(1)证明：；(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.。

龙岩市2024年高中毕业班三月教学质量检测数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.考生将自己的姓名､准考证号及所有的答案均填写在答题卡上，2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}220,310x A xx x B x =--<=->∣∣，则A B ⋂=（ ） A.(),0∞- B.()0,2 C.()1,0- D.()1,2-2.已知复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z z-=（ ） A.6i - B.6i C.-8 D.83.已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ，若直线,m n 满足m ∥,n αβ⊥，则（ ）A.m ∥lB.m ∥nC.m n ⊥D.n l ⊥4.已知向量()()4,3,1,2a b =-=- ，则cos 2,a b b += （ ） A.π4 B.π3 C.π2 D.2π35.721()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中52x y 的系数为（ ） A.-91 B.-21 C.14 D.496.已知()()π140,cos ,sin 255βααβαβ<<<+=-=，则tan tan αβ的值为（ ） A.12 B.35 C.53D.2 7.已知直线:2kp l y kx =-与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切于点()1,1M--，则AB =（ ） A.4 B.92C.5D.6 8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（ ） A.()00f = B.()f x 为奇函数 C.()81f =- D.()f x 的周期为3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（ ）A.若0a b <<，则22a ab b >>B.若0a b <<，则22ac bc <C.若0a b c <<<，则c c a b>D.若0a b <<，则22b a +>10.已知点()2,1B 与圆22:(2)(2)4,C x y A -+-=是圆C 上的动点，则（ ）A.OA 的最大值为2B.过点B 的直线被圆CC.88OC OA -≤⋅≤+D.,x CO xOB ∀∈-R 11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知,,M N P 分别是棱111,,C D AA BC 的中点，点Q 满足[]1,0,1CQ CC λλ=∈ ，下列说法正确的是（ ）A.不存在λ使得1QA QB ⊥B.若,,,Q M N P 四点共面，则14λ=C.若13λ=，点F 在侧面11BB C C 内，且1A F ∥平面APQ ，则点F 的轨迹长度为3D.若12λ=，由平面MNQ 分割该正方体所成的两个空间几何体1Ω和2Ω，某球能够被整体放入1Ω或2Ω，则该球的表面积最大值为(12π- 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且()f x 在(],2∞-上单调递减，则不等式()()231f x f +≤的解集为__________.13.在ABC 中，120,2,3,BAC AB AC D ∠=== 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的角平分线，则AD =__________.14.斜率为-1的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA TB ⊥，点,P Q 分别是,OAT OBT 的重心，点R 是TAB 的外心.记直线,,OP OQ OR 的斜率分别为123,,k k k ，若12318k k k =-，则椭圆C 的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：（1）试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为2的正三角形，2BC AB AD ==，AD ∥,BC AB BC ⊥，设平面PAB ⋂平面PCD l =.（1）作出l （不要求写作法）；（2）线段PB 上是否存在一点E ，使l ∥平面ADE ？请说明理由；（3）若BC l ⊥，求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）设等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，令()22n n n nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n na b 的前n 项和. （1）若2132244,13a a a S T =++=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 是公比为正数的等比数列，11212,21a c a c ===-，3222c a =+，求数列n n b c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . 18.（本题满分17分）已知函数()()ln 2,f x mx m =是大于0的常数，记曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为,l l 在x 轴上的截距为22,0x x >.（1）若函数()()21,g x x af x a =--∈R ，求()g x 的单调区间；（2）当121x x m +>时，求1x 的取值范围. 19.（本题满分17分）已知双曲线22:4,C x y A -=是双曲线C 的左顶点，直线():1l x my tm =+≠±. （1）设直线l 过定点()1,0B ，且交双曲线C 于,E F 两点，求证：直线AE 与AF 的斜率之积为定值； （2）设直线l 与双曲线C 有唯一的公共点M .（i ）已知直线l 与双曲线C 的两条渐近线相交于两点,R S ，求证：MR MS =；（ii ）过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴､y 轴于()(),0,0,P x Q y 两点，当点M 运动时，求点(),N x y 的轨迹方程.。

2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|−2<x <2}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0,1,2}B. {−2,−1,0,1}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1}2.复数z =2−4i1+i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. −iD. −13.已知等比数列{a n }为递增数列，若a 3⋅a 6=6，a 4+a 5=5，则公比q =( )A. 16B. 6C. 23D. 324.已知函数f(x)={f(x−π4)+t,x >0sinx,x ≤0，满足f(π2)=1，则实数t 的值为( )A. 14B. 12C. 1D. 25.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2acos 2C2=b(1−cosA)+a ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=4.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的四等分点处，CECA =14，当底面ABC 水平放置时，液面高为( )A. 152B. 154C. 52D. 1587.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为( )A.5B. 455C. 355D.528.某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为110，第二个月为19，第三个月为18，则平均每个人摇上需要的时间为( )个月．A. 7B. 8C. 9D. 10二、多选题：本题共3小题，共18分。

福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。

2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。

数学参考答案及评分细则 第1页（共 20页）福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分40分。

1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．A 8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．BC 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13．2y x =−，2y x =−+（只需填其中的一个即可）14．2 15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16，3a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，由正弦定理得， sin 2sin sin 6B C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ................................................................................................................. 1分 又因为()()sin sin sin B A C A C =π−−=+，所以()sin 2sin sin 6A C C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ............................................................................................... 2分展开得1sin cos cos sin 2sin cos 22A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭， ........................................................ 3分即sin cos sin 0A C C A −=，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =. ........................................................................ 4分 又因为()0,C ∈π，所以6C π=. .......................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，数学参考答案及评分细则 第2页（共 20页）因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=， .............................................. 8分 1131222ABD CBD S S S AB AD BC CD xy =+=⋅+⋅=+△△ ..................................................................... 9分 2231312222x y ++⋅=+， 当且仅当2x y =时，等号成立.所以四边形ABCD 31. ........................................................................................ 10分 解法二：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA 上的投影向量为BA λ,所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA ⋅==，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA .所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2cos CB θ=，2sin CD θ=， ......................................................................................................... 8分 113sin 222ABD CBD S S S AB AD CB CD θ=+=⋅+⋅=△△. .................................................................. 9分 当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD 31. ................................................ 10分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分数学参考答案及评分细则 第3页（共 20页）（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ， 则113222ABD CBD S S S AB AD BD h h =+=⋅+⋅=+△△. ........................................................................ 9分 当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+. ............................................. 10分 解法四：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠， ......................................................................... 6分 故ABC △外接圆O 的半径R =1.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=. 如图，以ABC △外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则1322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0B .因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()()0,2π0,2αβ∈∈π，. 所以()13,cos 1,sin 22BA BD ββ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，， ................................................................................... 7分 代入2BA BD BA ⋅=，即1BA BD ⋅=，可得113cos 122ββ−+=， ....................................... 8分 即1sin 62βπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭. 由()0,2β∈π可知ππ11π666β⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，，所以解得ππ=66β−或π5π=66β−，即π3β=或πβ=.数学参考答案及评分细则 第4页（共 20页） 当π3β=时，A ,D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径. 设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD αα=+=+⋅=+△△， ....................................................... 9分 由()0,2πα∈知sin 1α，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1−时，S 最大， 所以四边形ABCD1. ........................................................................................ 10分 18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122log n n n a a a −++=，得212122n n aa n a −++=，............................................................. 2分 则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n aa a a a a a n n a a −+++−+++++++=⋅=， ......................................... 3分 又21214222162n n a a n n a a +++==， .............................................................................................................. 4分所以21212+32124n n n n a a a a −++++=， ...................................................................................................... 5分即212+3212n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. ............................................................................ 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=; ....................................................................................................................................... 8分又()21211212222n n n n a a n n a −+++++===; ....................................................................................................... 9分 ()()9123456789135792468S a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；数学参考答案及评分细则 第5页（共 20页） 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法二：（1）由20n a >，且2122216n a n n a a ++=， 则()2122222log log 16n a n n a a ++=，............................................................................................................ 2分 得2222221log log 4n n n a a a +++=， .......................................................................................................... 4分因为212122log n n n a a a −++=，2123222log n n n a a a ++++=， 所以()()2121212321=4n n n n n a a a a a −+++++++， ........................................................................................ 5分 即21232+12n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. .............................................................................. 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d . 当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=， 所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列， 所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分又212122log n n n a a a −++=，所以()21211212222n n n n a a n n a −+++++===； ................................................................................................ 9分 当k *∈N 时,21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++ ()()357211232222k k +=+++++++++ ()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323k k k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+，数学参考答案及评分细则 第6页（共 20页）所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<， ()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； .................................................................................................... 9分当k *∈N 时， 2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910=695227432023S S a ⨯+=++=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分． 解：（1）由散点图判断ln(2012)x y c d −+=适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x数学参考答案及评分细则 第7页（共 20页）的经验回归方程类型. .......................................................................................................................... 1分 令ln(2012)t x =−，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102221101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i ii ii t yt y ctt==−−⨯⨯===−⨯−∑∑， ........................................................................ 2分 ˆˆ80.44 1.574.4dy ct =−=−⨯=， ....................................................................................................... 3分 该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为7.444ˆyt +=， 因此y 关于年份数x 的回归方程为ln(2012)7ˆ44 4.x y −+=. ........................................................... 4分 所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ4 2.4074.4844y−+=+≈⨯+==. 所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%. ................................................ 5分 （2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”， ..................................................................................................................... 6分则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =. ......................................................................... 7分（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112233P C P A P C A P A P C A P A P C A =++ ................................................................ 8分0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778. ............................................................................................... 9分 （ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P AC P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===， .............................................................. 11分因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大...................................................................... 12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数数学参考答案及评分细则 第8页（共 20页）形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =. 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，所以CO AB ⊥，3CO =. 因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，ABCO O =，所以PO ⊥平面ABCD . ....................................................................................................................... 2分 因为AD BC ∥，BC PBC ⊂平面，AD PBC ⊄平面，所以AD PBC ∥平面，所以1133143343D PBC A PBC P ABC ABC V V V PO S −−−===⋅=⨯⨯⨯=△. ............... 3分因为3162M PBC D PBC V V −−==， ............................................................................................................. 4分 所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =. .................................................................................................................................... 5分（图1） （图2） （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则()0,1,0A −，()0,1,0B ，()3,0,0C，)3,2,0D−，()0,0,1P ，所以311,22M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭．则()3,1,0AC =，()3,1,0BC =−，()3,3,0BD =−，()0,1,1AP =，31,1,22CM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭． 因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=−=−−，数学参考答案及评分细则 第9页（共 20页）因为BD α∥，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数,a b ，使得CQ aCM bBD =+，............... 7分 所以333,231,,2a b a b a λλ⎧−+=−⎪⎪⎪−−=−⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得4,31,32.3a b λ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩所以123,,33CQ ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭....................................................................................................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即230,3330y z x x y ⎧−−+=⎪⎨⎪−=⎩．取1x =，得到平面BCQ 的一个法向量()11,3,23=n ． ............................................................ 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则1212123cos cos ,2β⋅=<>==n n n n n n ． 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是32． ..................................................................... 12分 解法二：（1）如图3，取AB 中点O ，连接PO ，CO ， 因为2PA PB ==，2AB =， 所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =， 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=, 所以CO AB ⊥，3CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，ABPO O =，所以CO ⊥平面PAB . .......................................................................................................................... 2分11133223323A PBC C ABP ABP V V CO S −−==⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ............................................................... 3分 过M 作MN AD ∥交AP 于点N ，AD BC ∥，所以MN BC ∥，又BC PBC ⊂平面，MN PBC ⊄平面，（图3）数学参考答案及评分细则 第10页（共 20页）所以MN PBC ∥平面，所以1336M PBC N PBC C NBP NBP V V V CO S −−−===⋅=△，因为13C ABP ABP V CO S −=⋅△，13C NBP NBP V CO S −=⋅△所以2ABP NBP S S =△△， .......................................................................................................................... 4分 所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =. ..................................................... 5分 （2）在平面ABCD 内，过C 作EF BD ∥交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ， 因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作PP AE '∥交EM 的延长线于点P '，设EP '交AP 于点Q . 所以，四边形EDP P '是平行四边形，,PP DE PP DE ''=∥， 所以QPP QAE '△∽△，所以12PQ PP AQ AE '==, 所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点......................................................................................... 7分 如图5，在平面PAB 内，作QT PO ∥，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥BC ， 因为1PO =，2233QT PO ==， ......................................................................................................... 8分 在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作AK TN ∥交BC 于K ， 在ABK △中，2AB =，60ABK ︒∠=，所以332AK AB ==,（图5） 所以22333TN AK ==， .................................................................................................................... 9分 因为QT ⊥BC ，TN BC ⊥，QT TN T =，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥．所以QNT ∠是二面角A BC Q −−的平面角． ................................................................................. 11分数学参考答案及评分细则 第11页（共 20页）在Rt QTN △中，tan QT QNT NT ∠==，所以cos QNT ∠= 所以平面BCQ 与平面ABCD..................................................................... 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................................. 5分 （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则(0,1,0)A −，(0,1,0)B，C，2,0)D −，(0,0,1)P，所以11,)2M −．则(3,1,0)AC =，(3,1,0)BC =−，(3,3,0)BD =−，(0,1,1)AP =，1(1,)22CM =−−．设平面α的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0BD CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即30,1022y x y z −=⎨−+=⎪⎩． 取1y =，得到平面α的一个法向量)=n ． ......................................................................... 7分因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()1,CQ AQ AC λλ=−=−−， 因为3150CQ λλ⋅=−+−+=n ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=−−⎪⎝⎭. ...................................... 8分 设平面BCQ 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即1111120,330y z y ⎧−+=⎪−=．取11x =，得到平面BCQ 的一个法向量(1=n ． ........................................................... 10分 设平面BCQ与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则121212cos cos ,β⋅=<>=n n n n n n 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是2． ..................................................................... 12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算数学参考答案及评分细则 第12页（共 20页）求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A −，()21,0A ．因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D A C ⊥， ................................................................... 1分 又1PE A D ∥，所以2PE A C ⊥， 又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC A C A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以12,A A 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． ............................................... 2分 设Γ：22221x y a b+=（x a ≠±），其中0a b >>，222a b c −=．则24a =，2a =，1c =，223b a c =−=． ............................................................................. 3分 故Γ：22143x y +=（2x ≠±）． ......................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩数学参考答案及评分细则 第13页（共 20页）得()()21122222y x x x y x ++=−− ............................................................................................................................ 9分 ()()211213y my y my +=−1221213my y y my y y +=−()()12212132332y y y y y y−++=−+−121231229322y y y y −−=−−13=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法二：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦........................................................................................................ 9分()()()()2112211213213y my y my y my y my ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦1221212323my y y y y y ⎛⎫+−= ⎪+⎝⎭数学参考答案及评分细则 第14页（共 20页）()()121221212323243my y y y y y y y ++−+⎡⎤==−⎢⎥+⎣⎦. ........................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法三：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，直线2l 的斜率不为0． （i ）当直线2l 垂直于x 轴时，2l ：1x =−，由221,431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得1,32x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或1,3.2x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线1B M 的方程为：()322y x =+，直线2B N 的方程为：()122y x =−， 由()()32,2122y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得4,3,x y =−⎧⎨=−⎩所以(4,3)Q −−，故Q 到12C C 的距离4d =，此时△12QC C 的面积是121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ............................ 6分 （ii ）当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线l ：()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±． 由()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()22224384120k x k x k +++−=， ................................................................. 7分 所以221212228412,4343k k x x x x k k −−+==++． ............................................................................................ 8分直线1MB 的方程为：()1122y y x x =++，直线2MB 的方程为：()2222y y x x =−−， ..................... 9分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩数学参考答案及评分细则 第15页（共 20页）得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦...................................................................................................... 10分()()()()()()()()21122112121221212k x x k x x k x x k x x ⎡⎤++++−=⎢⎥++−+−⎢⎥⎣⎦12121242634x x x x x x −+=++． 下证：121212426434x x x x x x −+=−++．即证()121212426434x x x x x x −+=−++， 即证()121241016x x x x =−+−， 即证22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即证()()()22244121081643k k k −=−−−+，上式显然成立， ................................................................................................................................. 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 此时12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． 由（i ）（ii ）可知，12QC C △的面积为定值． ................................................................................. 12分 解法四：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++． ............................................................................................ 7分 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分数学参考答案及评分细则 第16页（共 20页）因为2222143x y +=，所以222y x −22234x y ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，故直线2B N 的方程为：()222324x y x y ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭．由()()11222,2232,4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=−− ⎪⎪⎝⎭⎩得()()1212422322y y x x x x −=−+++ ............................................................................................................... 9分 ()()12124311y y mx my =−++()1221212431y y m y y m y y ⎡⎤=−⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()2224939634m m m ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥−+++⎣⎦3=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()()1e x f x x a '=++， ................................................................................................. 1分 故1x a >−−时，()0f x '>；1x a <−−时，()0f x '<. ................................................................... 2分 当10a −−>，即1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增； 当10a −−，即1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增.综上，当1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增. ............................................................................................ 4分 （2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−数学参考答案及评分细则 第17页（共 20页）即()()020001e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−， ....................................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()1121111e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−，且它们重合，所以()()()()011012200111e 1e ,e e ,x xx x x a x a a x ax a x ax ⎧++=++⎪⎨−−=−−⎪⎩................................................................... 7分 整理得()()()()2201110011x a a x ax x a a x ax ++−−=++−−，即()()20101120x x a x x a a +++++=，()()()20101111x x a x x a +++++=，所以()()01111x a x a ++++=， .......................................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e (1)e x a x a x a x a ++++++=++， .............................................................................................. 9分令001t x a =++，111t x a =++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，由011t t =得011t t =，代入0101e e t t t t =得11121e e t t t =，两边取对数得11112ln t t t =+. .......................... 10分令1()2ln g t t t t=+−，当0t >时，1()2ln g t t t t =+−，()222121()10t g t t t t +'=++=≥， 所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，又()10g =，所以11t =，从而01t =，与01t t ≠矛盾； ......... 11分 当0t <时，()1()2ln g t t t t =−+−，()222121()10t g t t t t+'=++=≥， 所以()g t 在(,0)−∞上单调递增，又()10g −=，所以11t =−，从而01t =−，与01t t ≠矛盾； 综上，不存在01,t t ，使得010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠.故不存在01,,a x x 且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. .................... 12分 解法二：（1）同解法一； .................................................................................................................... 4分。

2023年福建省泉州市高考数学质检试卷（二）1. 若集合，，则( )A.B.C.D. R2. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为( )A.B.C.D.3. 记等差数列的前n 项和为若，则下列一定成立的是( )A.B. C. D.4. 萃取是有机化学实验室中用来提纯和纯化化合物的手段之一.研究发现，用总体积相同的有机萃取液对某化合物进行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高.已知萃取率E 与萃取次数n 满足，D 为分配比、现欲用有机萃取液，对含四氧化锇的60mL 水溶液进行萃取，每次所用有机萃取液的体积为10mL ，分配比为要使萃取率达到以上，则至少需要经过的萃取次数为参考数据：( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是( )A.B. C. D.6. 已知椭圆的左焦点为F ，过F 且斜率为的直线l 与C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点若，则C 的离心率为( )A. B. C. D.7. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有( )A. 288种B. 336种C. 384种D. 672种8. 若，，，，则a ，b ，c ，d 中最小的是( )A. aB. bC. cD. d9. 已知函数是的一个极小值点，是与其相邻的一个零点.将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则( )A. B. C. D.10.在正三棱柱中，，M，N，P分别为棱，，AC的中点，则错误的是( )A. 平面AMNB.平面AMNC. 三棱锥的体积为D. 平面PMN截该正三棱柱所得的截面图形为五边形11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为MN 的中点，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为4B. 的最大值为4C. 当时，D. 当时，12. 已知，是函数的零点，，是函数的零点，且，，则下列说法正确的是( )参考数据：A.B. 若，则C. 存在实数a，使得，，成等比数列D. 存在实数a，使得，且，，成等差数列13. 已知复数z满足，，则______ .14. 已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则正数r可以是______ 只要写出一个符合条件的r即可15. 已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______ .16. 在中，，，，D是边AB上的一动点，沿CD将翻折至，使二面角为直二面角，且四面体的四个顶点都在球O的球面上，当线段AB的长度最小时，球O的表面积为______ .17. 在梯形ABCD中，，，，若的面积为，求AC；若，求18. 已知数列满足求，及的通项公式；求数列的前项和19. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人.年龄在的老年人300人.现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图如下图所示根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差.20. 如图，四棱锥中，平面PAB，，，，E为AB的中点，且求证：平面平面PEC；求二面角的余弦值.21. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，设人工抽检的综合指标不达标率为求每个芯片智能检测不达标的概率；人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以中确定的作为P的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良.22. 已知点M为圆O：上的动点，点，，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为求的方程；直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于，所以，则，又所以故选：根据指数函数性质解指数不等式得集合B，再根据交集的概念运算即可．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知条件得：，即，又在方向上的投影向量为故选：根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得，即对于A选项和B选项：，，当时，；当时，；当时，；所以A选项和B选项错误；对于C选项：，所以C选项正确；对于D选项：，当时，；当时，；当时，；D选项错误；故选：设等差数列的公差为d，结合等差数列的通项公式和条件得到，再根据等差数列的前n项和公式判断各选项即可．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：由题可知萃取率E与萃取次数n满足，其中分配比，萃取率，，，则，所以，则，即，所以至少需要经过的萃取次数为故选：根据题意确定各参数值，代入等式，利用指对互化和对数函数运算即可得所求．本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：观察图象知，图象对应函数的定义域为R，值域为为正常数，函数在R 上单调递增，其图象过原点，对于B，函数的定义域为R，当时，，当且仅当时取等号，因此函数在上有最大值1，不符合题意，B不是；对于A，函数的定义域为R，值域为不符合题意，A不是；对于C，函数有意义，，解得，即函数的定义域为，不符合题意，C不是；对于D，函数的定义域为R，，当时，，因为函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，又，即，因此，，则函数的值域为，所以函数符合题意，D是．故选：根据给定的函数图象，由函数值域、定义域分别判断A，C；探讨在上函数的最值判断B；分析函数在R上的性质判断D作答．本题考查函数性质与图象，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意可设直线l方程为，，，为PF的中点，，又A在椭圆上，，，代入化简整理得：，，解得，又，，故选：设出直线方程，求出P点坐标，由，得出A点坐标代入椭圆方程，化简可得结果．本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．7.【答案】D【解析】解：甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案．故选：分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得．本题主要考查了排列组合在实际问题中的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，，所以；又，所以，设，，则，当时，，所以在上单调递增，则，即，所以，即，则，设，，则，令，，则，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，则时，，所以在上单调递减，所以有，即，则，综上：，，即a，b，c，d中最小的是故选：先将a，b，c，d变换为：，，，，得到，设，，结合导数和作差法得到，最后设，，利用导数比较a和b，即可得到a，b，c，d中最小值．本题考查构造函数比较大小，通过导函数研究出函数的单调性等相关知识，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：因为是函数的一个极小值点，且是与其相邻的一个零点，于是的周期，而，则，A正确；又，则，即，而，因此，B错误；，于是得，，则，C正确；，则，D正确．故选：根据给定信息，求出，判断AB；求出函数及的解析式，再判断CD作答．本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数图象的变换，属于中档题．10.【答案】CD【解析】解：取AB中点O，连接OC，则，又平面与平面ABC垂直，以OB为x轴，OC为y轴，以过O，且垂直平面AOB的直线为z轴，建系如图，又由已知，则有，，，，，，，，，，，设平面AMN一个法向量为，则，取，，与平面AMN的法向量不垂直，与平面AMN不平行，选项A错误；又，，与不平行，与平面AMN不垂直，选项B错误；由正棱柱性质知C到平面的距离为，即到平面的距离等于，而M是中点，到平面的距离为，又，，选项C正确；设直线MN与直线CB和直线分别交于点T，S，如图，连接PT交AB于K，连接SP交于Q，则五边形MNKPQ是平面PMN截该正三棱柱所得的截面，选项D正确．故选：建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面AMN的法向量，由空间向量法判断选项AB，由求得棱锥体积判断选项C，作出截面判断选项本题考查向量法判断线面平行问题，向量法判断线面垂直问题，三棱锥的体积的求解，正三棱柱的截面问题，属中档题．11.【答案】AD【解析】解：由题意，可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，，联立，整理可得，显然，且，①，②所以，所以MN的中点A中，由抛物线的性质，可得弦长，所以的最小值为4，所以A正确；B中，，所以B不正确；C中，因为P为MN的中点，由，可得F为MN的四等分点，即，所以，③由①③，可得，，代入②中，可得，解得，所以，所以C不正确；D中，因为，所以，解得，所以，所以D正确．故选：设直线l的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得的值，可判断A的真假；根据条件得到的表达式，由参数的范围，可得的取值范围，可判断B的真假；由，可得F为四等分点，由向量的关系，可得M，N 的纵坐标的关系，与两根之和及两根之积联立，可得的大小，可判断C的真假；由MN的中点P的坐标，可得的表达式，由题意可得参数的值，进而求出的大小，可判断D 的真假．本题考查直线与抛物线的综合应用及抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：，为偶函数，关于y轴对称，，是函数的零点，，且，，，当时，，当时，，当时，，则想要有两个零点，则，故A正确；，是函数的零点，，且，又，，，，，，且，，，，，，，，，，，即，由对勾函数的性质可知，故B正确；，，成等比数列，，，，，，，令，，则在上单调递增，其中，，故在上存在唯一的零点，即方程有解，则存在实数a，使得，，成等比数列，故C正确；，，成等差数列，且，，，，解得，此时，则与矛盾，故D不正确．故选：利用函数的性质可判断A，观察到，进而找到，，，之间的关系，利用对勾函数的性质求出的范围，由等比数列的性质及，，，之间的关系将问题转化为方程解的问题，利用函数单调性及零点存在定理即可判断C，由等差数列的性质及，，，之间的关系即可求出的值，即可判断本题主要考查函数零点的判断，等差数列与等比数列的性质，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：，则，即，解得，，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：根据题意，点，，若点P满足，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为，，所以圆M的方程为，圆C：，圆心为，半径为r，则；若圆C上存在点P，满足，则圆M与圆C有公共点，所以，解得：，所以r的取值可以故答案为：由题意可得点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，写出圆M的方程，求出圆C的圆心与半径，可得圆M与圆C有公共点时r的取值范围，即可得答案．本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：因为函数定义域为，所以，显然，当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，当时，函数在上单调递减，其取值集合为，函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，而，于是，不符合题意，当时，，令，则，当时，，即在上单调递增，所以即有，当时，，即，当且仅当时取等号，因此，当时，，显然当时，，函数在上单调递减，，不符合题意，综上得，，所以a的取值范围为故答案为：把函数化成分段函数，按，，分段讨论函数的取值情况作答．本题考查了分段函数的性质、对数函数的性质、导数的综合运用、分类讨论思想，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意作出直角三角形ABC，将CD沿翻折到，使得二面角为直二面角，得到四面体，如上图，过作于点F，连接BF，因为平面平面BCD，平面平面，，平面，所以平面BCD，又平面BCD，所以，由图形翻折的性质，在图1中，作出点F，连接AF，BF，可得，又，，，则，，，设，则，，，在中，由余弦定理可得；在上图中，，即，又，则，所以当，即时，取得最小值，此时线段AB的长度最小，则，如下图，在四面体中，取CD的中点M，连接，则M是的外接圆的圆心，又过点M作平面ACD的垂线，由球的截面性质和四面体的外角球球心O必定在该垂线上，也在平面BCD上，即的外接圆的圆心，设该球的半径为R，则有，在中，由正弦定理可得，即有，故答案为：运用直角三角形的性质和两个平面垂直的性质，结合三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换、正弦函数的值域求得线段取得最小值时，的大小，确定四面体的外接球的球心和半径，可得所求值．本题考查平面图形的翻折和空间两个平面的位置关系，以及外接球的表面积，考查转化思想和云是哪里、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：过点A作交BC于点M，如图所示，，，则，因为，，所以，即，又因为，，所以，所以，所以，所以在中，由知，，又因为，所以，所以，所以，所以，在中，，所以，所以【解析】在直角三角形中可得，，代入整理可得，由三角形的面积公式可求得CD的值，进而应用勾股定理可求得AC的值；由及勾股定理可解得AC、AB的值，在中运用余弦定理解得，由同角三角函数的平方关系及商式关系可求得的值．本题主要考查三角形中的几何计算，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，，解得，当时，，解得，将两边同乘以可得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，即的通项公式为；由可知，当或时，，当时，，，令数列的前n项和为，则①，②，两式错位相减得，即，，当时，，当时，，当时，，综上，【解析】利用数列的递推公式即可求出，，对递推公式进行变形构造等差数列求通项公式；当时，，此时可将的通项公式拆成两项，前一项用错位相减法求和，后一项用等比数列前n项和公式求和，即可求得，最后分为，，三段分别写出相对应的即可．本题主要考查了数列的递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了等差数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：，由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，年收入在万元以下的老年人所占比例为，因此，第95百分位数一定位于内，由，可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为由得，由题意得，，，，则，由，可得，即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为【解析】根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：，求得平均数；先计算出第95百分位数位于内，列出式子即可求解；设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为，根据样本中不同层的方差公式得到，即可求解．本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．20.【答案】解：证明：平面PAB，，平面PAB，为AB的中点，，，，，，，，，，又平面PAB，平面PAB，，又，，BC，平面EBC，平面EBC，又平面EBC，，又，，PE，平面PEC，平面PEC，又平面PBD，平面平面PEC；在平面PAB内，过B作，平面PAB，，BM，BC两两相互垂直，以B为坐标原点，BP，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，由知，，E为AB中点，，则，，面PEC，面PEC的一个法向量是，设面DPC的法向量，则，取，，又由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】先在面ABCD内证明，再证明面EBC，，证得面PEC，由面面垂直的判定定理得到平面平面PEC；建系，利用法向量，向量夹角公式，即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．21.【答案】解：每个芯片智能检测达标的概率为，每个芯片智能检测不达标的概率为；由题意可知，，，，令得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取得极大值，即的极大值点；由知，人工抽检的综合指标达标的概率，芯片合格的概率，，需要对生产工序进行改良．【解析】先求出每个芯片智能检测达标的概率，再利用独立事件的概率关系求出每个芯片智能检测不达标的概率；由题意可知，利用导数即可求出的极大值点；由知，先求出人工抽检的综合指标达标的概率，再利用独立事件的概率乘法公式求出芯片合格的概率，进而作出判断．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．22.【答案】解：连接MI，，如图，因为线段的垂直平分线交直线于点P，则，则，在中，，，于是，即，因此点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为第21页，共21页，所以的方程是显然，直线OA ，OB 都不垂直于坐标轴，设直线OA 的方程为，而，则直线OB 的方程为，，设，，由，解得，则，同理，因此的面积，由且，得，，当且仅当，即时取等号，则当时，，所以的面积的最小值是 【解析】根据给定条件，结合几何意义可得，再借助双曲线定义求解作答；根据给定条件，设出直线OA 的方程，与的方程联立求出，进而求出，并表示出的面积，再利用均值不等式求解作答．本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，考查运算求解能力，属于难题．。

福建省漳州市2023届高三毕业班第三次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}32B x x =-<，则A B ⋃=（）A ．()2,5-B ．()2,4-C ．()1,4D ．()2,1-2．已知复数z 为复数z 的共轭复数，且满足2z z =，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（）AB C ．1D ．123．已知数列{}n a 为递减的等比数列，n *∈N ，且2732a a =，3618a a +=，则{}n a 的公比为（）A ．12B ．3512⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．352D ．24．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过min t 物体的温度θ将满足()010e ktθθθθ-=+-，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90C 的物体，若放在10C 的空气中冷却，经过10min 物体的温度为50C ，则若使物体的温度为20C ，需要冷却（）A ．17.5minB ．25.5minC ．30minD ．32.5min5．已知πsin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．4-D ．46．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，直线()0y kx k =>与双曲线C交于,P Q 两点，且12π3PFQ ∠=，114PF FQ ⋅= ，则当22212b a a+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）A ．3BC ．2D7．已知正三棱锥-P ABC 的侧面与底面所成的二面角为π3，侧棱2PA =，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A ．74πB ．712πC ．494πD ．4912π8．已知函数()2ln 1f x x x a =++-和函数()2ex a g x x =-，具有相同的零点0x ，则0220e ln x x 的值为（）A ．2B ．e-C ．4-D ．2e 二、多选题9．已知附件某地区甲、乙两所高中学校的六次联合模拟考试的数学平均分数（满分150分）的统计如图所示，则（）A ．甲校的平均分均高于乙校的平均分B ．甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差C ．甲校六次平均分第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数D ．甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1B C 上的动点，则（）A ．//AP 平面11AC DB ．1B D ⊥平面1ACD C ．三棱锥11C PDA -的体积为定值D ．直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知函数()()21sin cos cos 02222x x x f x ωωωω=+->在[]0,π上有且仅有4条对称轴；则（）A ．1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B ．π可能是()f x 的最小正周期C ．函数()f x 在ππ,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个零点12．已知数列{}n a ，212a =，且满足211n n n n a a a a ++=-，n *∈N ，则（）A ．141929a a -=B ．n a 的最大值为1C ．111n a n ++≥D10⋅⋅⋅+三、填空题13．已知函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，且()2,011,12x x x f x x x ⎧-<≤=⎨-<≤⎩，则()31022f f f ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭_________.14．()5222x y -+的展开式中42x y 项的系数为_________.15．已知ABC ，点D 满足34BC BD =，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE AB AC λμ=+，则22λμ+的取值范围是_________.四、双空题16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为2，,P Q为C 上的两个动点，且直线OP 与OQ 斜率之积为14-（O 为坐标原点），则椭圆C 的短轴长为_______，22OP OQ +=_________.五、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，n *∈N ，2536a a -=，654S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()312nnn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，平面四边形ABCD 内接于圆O ，内角B D >，对角线AC 的长为7，圆O 的半径为3.(1)若5BC =，AD CD =，求四边形ABCD 的面积；(2)求ABC 周长的最大值.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，13DD =，2π3ABC ∠=，G 为棱1DD 上一点，2DG =，过1,,A G C 三点的平面α交1BB 于点E .(1)求点D 到平面1BC G 的距离；(2)求平面AEC 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.20．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y （%）如表所示.年份2016201720182019202020212022年份代码1234567y20%30%32%39%42%46%50%(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r ，并推断y 与t 线性相关程度；（已知：0.81r ≤≤，则认为y 与t 线性相关很强；0.30.8r ≤<，则认为y 与t 线性相关一般；0.3r <，则认为y 与t 线性相关较弱）(2)求出y 与t 的回归直线方程（保留一位小数）；(3)请判断，若2024年用在“A 芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求?附：相关数据：71259i i y ==∑2.65≈25.34≈，()()71132i i i t ty y =--=∑.相关计算公式：①相关系数()()niit t y y r --=∑在回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-.21．已知函数()()ln e 0x xf x ax a a=-+>.(1)证明：当1a =时，函数()f x 在区间()0,∞+上不是单调函数；(2)证明：当()0,e a ∈时，()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立.22．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，对称轴为x 轴、y 轴，且点和点)2在椭圆C 上，椭圆的左顶点与抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点F 的距离为4.(1)求椭圆C 和抛物线Γ的方程；(2)直线():0l y kx m k =+≠与抛物线Γ变于,P Q 两点，与椭圆C 交于,M N 两点.（ⅰ）若m k =，抛物线Γ在点,P Q 处的切线交于点S ，求证：22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）若2m k =-，是否存在定点()0,0T x ，使得直线,MT NT 的倾斜角互补?若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【分析】解不等式可分别求得集合,A B ，由并集定义可得结果.【详解】由2280x x --<得：24-<<x ，即()2,4A =-；由32x -<得：232x -<-<，解得：15x <<，即()1,5B =；()2,5A B ∴=- .故选：A.2．C【分析】根据共轭复数的定义，利用复数的运算以及复数相等，建立方程组，结合复数的几何意义，可得实部与虚部，根据复数的模长公式，可得答案.【详解】设i z a b =+，z 在复平面内对应的点在第二象限，故0,0a b <>，则i z a b =-，即()222i 2i z a b a b ab =-=--，由2z z =，得222a a b b ab ⎧=-⎨=-⎩，结合0,0a b，解得122a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则12z =-，故1z =.故选：C.3．A【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得36,a a ，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】{}n a 为递减的等比数列，2736363218a a a a a a ==⎧∴⎨+=⎩，解得：36216a a =⎧⎨=⎩（舍）或36162a a =⎧⎨=⎩，{}n a ∴的公比12q ==.故选：A.4．C【分析】根据已知函数模型和冷却10min 的数据可求得k ，再代入所求数据，解方程即可求得结果.【详解】由题意得：()1050109010e k-=+-，即101e2k-=，1ln 210k ∴=，()ln 210010et θθθθ-∴=+-，由()ln 21020109010et -=+-得：ln 2101e8t-=，即1ln 2ln 3ln 2108t -==-，解得：30t =，∴若使物体的温度为20C ，需要冷却30min .故选：C.5．B【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接化简求解即可.【详解】25πππππsin 2sin 2cos 212sin 63236αααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭131284=-⨯=.故选：B.6．D【分析】根据对称关系可知21PF F Q = ，12π3F PF ∠=，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造方程求得2b ，由此化简22212b a a+，根据基本不等式取等条件可知22a =，由双曲线离心率e =.【详解】不妨设P 位于第一象限，双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，2F Q ，O 为12,PQ F F 中点，∴四边形12PFQF 为平行四边形，21PF F Q ∴= ，12π3F PF ∠=；设1PF m =，()2,0PF n m n =>，则2m n a-=由114PF FQ ⋅= 得：12π1cos 432PF PF mn mn ⋅=== ，解得：8mn =；在12PF F △中，()22222212π2cos 4843F F m n mn m nmn a c =+-=-+=+=，2222b c a ∴=-=，2222212222b a a a a ∴+=+≥（当且仅当22a =时取等号），∴当22212b a a +取得最小值时，双曲线C 的离心率e =.故选：D.7．C【分析】根据二面角的定义，作图，求得其平面角，利用正三棱锥的性质以及余弦定理，求得底面边长，假设球心的位置，利用勾股定理，建立方程，可得答案.【详解】由题意，作正三棱锥-P ABC ，取AB 中点D ，连接,PD CD ，取等边ABC 的中心O ，连接PO ，如下图所示：在正三棱锥-P ABC 中，易知AP BP =，PO ⊥平面ABC ，D 为AB 中点，PD AB ∴⊥，在等边ABC 中，D 为AB 中点，CD AB ∴⊥，CD ⊂ 平面ABC ，PD ⊂平面APB ，π3PDC ∴∠=，设AD x =，则在Rt APD 中，PD ==在Rt ADC 中，πtan3CD AD =⋅=，在PDC △中，根据余弦定理，2222cos PD DC PD DC PDC PC +-⋅⋅⋅∠=，则2221π2132cos 434x x +--=，化简可得：2x =，解得32x =，则32AD =，2CD =，在等边ABC 中，O 是中心，O CD ∴∈，132OD CD =⋅=，23CO CD =⋅=PO ⊥ 平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，PO CD ∴⊥，在Rt POD 中，π3tan32PO OD =⋅=，设正三棱锥-P ABC 的外接球的半径为r ，假设正三棱锥-P ABC 的外接球球心在线段PO 上，则()222PO r CO r -+=，可得22332r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得7342r =>，不符合题意；假设正三棱锥-P ABC 的外接球球心在线段PO 的延长线上，则()222r PO CO r -+=，可得22332r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得7342r =>，符合题意.故正三棱锥-P ABC 的外接球表面积2494ππ4S r ==.故选：C.8．C【分析】根据零点定义可整理得到02000e2ln 10x x x x ---=，令()()2e 2ln 10xh x x x x x =--->，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定()h x 在()0,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递增，并得到21e tt=，2ln t t =-，由()2min e 2ln 10t h x t t t =---=可确定0t x =，由此化简所求式子即可得到结果.【详解】由题意知：()0002ln 10f x x x a =++-=，()00020e x a g x x =-=，联立两式可得：02000e2ln 10x x x x ---=，令()()2e 2ln 10xh x x x x x =--->，则()()()2221112e 12e x x x h x x x x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭；令()21e xm x x=-，则()m x 在()0,∞+上单调递增，又1404m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21e 1m =-，()m x ∴在()0,∞+上存在唯一零点t ，且1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21e t t ∴=，2ln t t =-；当()0,x t ∈时，()0h x '<；当(),x t ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在()0,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递增，()()2min e 2ln 11ln ln 10t h x h t t t t t t ∴==---=+--=，又02000e2ln 10x x x x ---=，0t x ∴=，()02222202e ln e ln 2e ln 24x t t x t t t t∴===⋅-=-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子.9．BCD【分析】根据图表，结合方差、百分位数、极差的概念依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，甲校第2次考试的平均分低于乙校第2次考试的平均分，A 错误；对于B ，由图可知：甲校六次考试的平均分相对于乙校六次考试的平均分更加集中，说明数据更加稳定，则甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差，B 正确；对于C ，625% 1.5⨯= ，∴甲校平均分按从小到大顺序排列，第2个成绩为第25百分位数，由图可知，为第5次考试的平均分，约为90分；675% 4.5⨯= ，∴乙校平均分按从小到大顺序排列，第5个成绩为第75百分位数，由图可知，为第2次考试的平均分，高于90；∴甲校六次平均分第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数，C 正确；对于D ，由图可知：甲校平均分的最高值和最低值的分差明显小于乙校平均分最高值和最低值的分差，即甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差，D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】根据面面平行的判定定理证明出平面1//ACB 平面11AC D ，判断选项A ；根据线面垂直的判定定理证出1B D ⊥平面1ACD ，判断选项B ；根据三棱锥的等体积转换结合面面平行，判断选项C ；根据异面直线所成角的平移，判断选项D ．【详解】选项A ，1111//,A B CD A B CD = ，∴四边形11A B CD 是平行四边形，111//,A D B C A D ∴⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ；1111//,B C AD B C AD = ，∴四边形11C B AD 是平行四边形，111//,AB C D C D ∴⊂平面11AC D ，1AB ⊄平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ；又1B C 11AB B =，且1B C ⊂平面1ACB ，1AB ⊂平面1ACB ，所以平面1//ACB 平面11AC D ，而P 为线段1B C 上的动点，AP ⊂平面1ACB ，//AP ∴平面11AC D ，正确；CD ⊥ 平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，1CD AD ∴⊥，11A D AD ⊥ ，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面11A B CD ，1AD ∴⊥平面11A B CD ，而1B D ⊂平面11A B CD ，11AD B D ∴⊥，同理可证，11CD B D ⊥，又111CD AD D ⋂=，11,CD AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，正确；选项C ，三棱锥11C PDA -的体积即为三棱锥11P DA C -的体积，由选项A 可得，P ∈平面1ACB ，平面1//ACB 平面11AC D ，则P 到平面11AC D 的距离为定值，又底面积为定值，所以三棱锥11C PDA -的体积为定值，正确；选项D ，11//A D B C ，∴直线AP 与1A D 所成角即直线AP 与1B C 所成角，在1ACB 中，当点P 与1B 或C 重合时，取到最小值π3，当点P 在线段1B C 中点时，取到最大值π2，故错误.故选：ABC.11．AD【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；根据对称轴条数可确定7ππ9ππ242ω≤+<，进而解得ω范围，知A 正确；2ω=不符合A 中范围，知B 错误；根据ππ29π33π,1646464ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知当πππ33π,164264ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，函数不单调，知C 错误；根据π7π9ππ,422ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，分类讨论可得零点个数，知D 正确.【详解】()2111πsincos cos sin cos sin 22222224x x x f x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭；对于A ，当[]0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,π上有且仅有4条对称轴，7ππ9ππ242ω∴≤+<，解得：131744ω≤<，即1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，A 正确；对于B ，若π是()f x 的最小正周期，则13172,44ω⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，π∴不能是()f x 的最小正周期，B错误；对于C ，当ππ,1616x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππππ,4164164x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭；1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，πππ3π,1646464ω⎡⎫∴-+∈-⎪⎢⎣⎭，ππ29π33π,1646464ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，29ππ33π64264<<，∴当πππ33π,164264ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 不是单调函数，C 错误；对于D ，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π9ππ,422ω⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭；当π7ππ,4π42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在()0,π上有3个零点；当π9ππ4π,42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在()0,π上有4个零点；∴()f x 在()0,π上可能有3个或4个零点，D 正确.故选：AD.12．BCD【分析】根据递推关系式可求得14,a a ，知A 错误；由121nn n a a a +=+，采用作商法可证得数列{}n a 为正项递减数列，由此知B 正确；由递推关系式可求得111n n na aa +-=，采用累加法，结合121n a a a na ++⋅⋅⋅+≤可推导得C 正确；结合C 中，2>，裂项相消可求得D 正确.【详解】对于A ，当1n =时，22112a a a a =-，即2111122a a =-，解得：11a =；当2n =时，23223a a a a =-，即331142a a =-，解得：325a =；当3n =时，24334a a a a =-，即4442255a a =-，解得：41029a =；41101912929a a ∴-=-=-，A 错误；对于B ，由211n n n n a a a a ++=-得：121nn n a a a +=+，又11a =，211n a +>，0n a ∴>，21011na <<+，()1210,11n n n a a a +∴=+，∴数列{}n a 为正项递减数列，()1max 1n a a ∴==，B 正确；对于C ，由121n n n a a a +=+得：21111n n n n na a a a a +=++=，111n n n a a a +∴-=，1211211111111111n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 数列{}n a 为正项递减数列，11a =，121n a a a na n ∴++⋅⋅⋅+≤=（当且仅当1n =时取等号），1111111n n n a a a ++∴-=-≤，即111n n a +≤+，111n a n +∴≥+，C 正确；对于D ，由C 知：1n a n ≥，2≥=>=，21>-)212510==⨯=，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的有关性质、数列求和与数列放缩的知识；本题判断CD 选项的关键是能够对于数列的通项进行准确的放缩，从而根据不等关系，结合数列求和方法来得到结论.13．34-##0.75-【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.【详解】由函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，则333112222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00f =，由211112224f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()311130022244f f f ⎛⎫⎛⎫-++=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34-.14．240【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.【详解】由()5222x y -+，则其展开式的通项()()2555C C 22rkr kk r r T x y ---=-⋅，化简可得()525522C C kk rrk rkrT x y ---=-⋅，令242r k =⎧⎨=⎩，则22r k =⎧⎨=⎩，即()22242424253543222C C 422402121T x y x y x y ⨯⨯=-⨯⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯.故答案为：240.15．171,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用向量得加减法，利用,AB AC 为基底，表示出AE，整理方程，结合二次函数得性质，可得答案.【详解】由题意设CE mCD =，()0,1m ∈，因为34BC BD = ，所以()1133CD BC AC AB ==- ，所以()1333m m m AE AC CE AC AC AB AC AB ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，又AE AB AC λμ=+ ，则313m m λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以()222222223921139924m m x λμλμλμ⎡⎤⎛⎫+=+-=++=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为()0,1m ∈，由二次函数得性质得22391711,9249y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+∈⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以22λμ+得取值范围为171,9⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：171,9⎛⎫⎪⎝⎭.16．25【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得b ，由此可得短轴长及椭圆方程；设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到()ππ2k k αβ-=+∈Z ，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.【详解】 椭圆C 的长轴长为24a =，2a ∴=，又离心率c e a ==c ∴=1b ∴==，∴椭圆C 的短轴长为22b =，∴椭圆22:14x C y +=；设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，sin sin sin sin 12cos 2cos 4cos cos 4OP OQ k k αβαβαβαβ∴⋅=⋅==-，()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ∴+=-=，()ππ2k k αβ∴-=+∈Z 2222224cos sin 4cos sin OP OQ ααββ∴+=+++2222ππ4cos πsin π4cos sin 22k k ββββ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22224sin cos 4cos sin 5ββββ=+++=.故答案为：2；5.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到,αβ所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.17．(1)22n a n =+(2)()()25131223n n nT n n +=++【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则25111611333426656615542a a a d a d a d S a d a d -=+--=-=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得：142a d =⎧⎨=⎩，()42122n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()31222nn b n +=+，()()111113213n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，111111111112243546213n T n n n n ⎛⎫∴=-++-+⋅⋅⋅+-+- ⎪+++⎝⎭()()211111513223231223n n n n n n +⎛⎫=+--=⎪++++⎝⎭.18．(1)7【分析】（1）在AOC 中利用余弦定理求得2π3AOC ∠=，从而证得ACD 为等边三角形，求得其面积，再在ABC 中利用余弦定理求得3AB =，从而利用三角形面积公式求得ABC 的面积，由此得解；（2）利用余弦定理得到()249a c ac +=+，从而利用基本不等式推得a c +≤解.【详解】（1）如图所示，连结,OA OC，在AOC中，3OA OC ==，7AC =，所以222494949133cos 492223OA OC AC AOC OA OC +-+-∠===-⋅⨯，因为0πAOC <∠<，所以2π3AOC ∠=，则π3ADC ∠=，因为AD CD =，所以ACD为等边三角形，21π1sin 4923224ACD S AC ∴=⋅=⨯⨯=，πABC ADC ∠+∠= ，2π3ABC ∴∠=，在ABC 中，2222π2cos3AC BC AB BC AB =+-⋅，即249255AB AB =++，又0,3AB AB >∴= ，1115sin 352224ABC S AB BC ABC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，ABCD ABC ACD S S S ∴=+= （2）设BC a =，AB c =，则在ABC 中，2π3ABC ∠=，7AC =，则2249122a c ac +-=-，即2249a c ac ++=，故()249a c ac +=+，因为0,0a c >>，所以22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时，等号成立，所以()2249492a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时，等号成立，23()494a c ∴+≤，则2449()3a c ⨯+≤，0a c +> ，故a c +≤a c =时，等号成立，所以7a c AC ++≤+，即ABC 周长的最大值为73+.19．(1)5【分析】（1）连接,AC BD 交于点O ，以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得结果；（2）根据面面平行和线面平行性质可证得四边形1AGC E 为平行四边形，由此可求得E 点坐标，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OA OB正方向为,x y 轴，作z 轴//1DD ，可建立如图所示空间直角坐标系，2AB BC == ，2π3ABC ∠=，AC ∴=，2BD =，()0,1,0B ∴，()0,1,0D -，()1C ，()0,1,2G -，()0,2,0DB ∴=，()11,3BC =- ，()0,2,2BG =- ，设平面1BC G 的法向量(),,n x y z =，则130220BC n y z BG n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y =z =，2x =，(n ∴= ，∴点D 到平面1BC G的距离5DB n d n⋅==.（2）由直棱柱的结构特征知：平面11//ADD A 平面11BCC B ，AG ⊂ 平面11ADD A ，//AG ∴平面11BCC B ，平面1AGC 平面111=BCC B C E ，AG ⊂平面1AGC ，1//AG C E ∴，同理可得：1//C G AE ，∴四边形1AGC E 为平行四边形，1AG C E ∴=，又11AD B C =，11π2ADG C B E ∠=∠=，12B E DG ∴==，1BE ∴=，()0,1,1E ∴，又)A，()0,1,0B，()C，()AE ∴=，)CE =，()0,0,1BE =，设平面AEC 的法向量()1111,,n x y z =，则1111111100AE n y z CE n y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11y =，解得：11z =-，10x =，()10,1,1n ∴=- ；设平面BEC 的法向量()2222,,n x y z =，则22222200BE n z CE n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，解得：2y =20z =，()21,n ∴=；121212cos ,4n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，即平面AEC 与平面BEC所成锐二面角的余弦值为4.20．(1)折线图见解析；0.98r ≈；y 与t 线性相关很强(2)ˆ 4.718.2yt =+(3)符合研发要求【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r ，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论；（2）采用最小二乘法即可求得回归直线；（3）将9t =代入回归直线可求得ˆy，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论.【详解】（1）折线图如下：由题意得：()1123456747t =⨯++++++=，()721941014928i i t t=∴-=++++++=∑，=()()70.98ii t ty y r --∴=∑，0.980.8> ，y ∴与t 线性相关很强.（2）由题意得：()()()71721132ˆ 4.728i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，259ˆˆ 4.7418.27a y bt ∴=-≈-⨯=，y ∴关于t 的回归直线方程为ˆ 4.718.2y t =+.（3）2024年对应的年份代码9t =，则当9t =时，ˆ 4.7918.260.5y=⨯+=，∴预测2024年用在“A 芯片”上的研发费用约为50060.5%302.5⨯=（万元），302.5295> ，∴符合研发要求.21．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，结合零点存在定理可确定()f x '的正负，由此可得函数单调性，从而得到结论；（2）将所证不等式转化为2ln e x x a a x <-，构造函数()()2e 01x h x a a x x =-<<，利用导数分别讨论(]0,1a ∈和()1,e a ∈时()h x 的单调性，求得()0h x >；由ln 0x <可得结论.【详解】（1）当1a =时，()()e ln 0x f x x x x =-+>，则()11e x f x x'=-+，令()()g x f x '=，则()21e 0x g x x '=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又1302f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()120f '=-<e ，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且当()00,x x ∈时，()0f x ¢>；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '<；()f x \在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，综上所述：当1a =时，()f x 在区间()0,∞+上不是单调函数.（2）当()0,e a ∈时，要证()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立，即证当()0,e a ∈时，ln e 0x x ax a-+<对任意的()0,1x ∈恒成立，即证2ln e x x a a x <-对任意的()0,1x ∈恒成立；令()()2e 01x h x a a x x =-<<，则()()2e e x x h x a a a a '=-=-，()0,1x ∈ ，()e 1,e x ∴∈；①当(]0,1a ∈时，()0h x '>在()0,1上恒成立，()h x ∴在()0,1上单调递增，()()00h x h a ∴>=>；②当()1,e a ∈时，令()0h x '=，解得：ln x a =，∴当()0,ln x a ∈时，()0h x '<；当()ln ,1x a ∈时，()0h x '>；()h x ∴在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,1a 上单调递增，()()()ln 22ln e ln 1ln 0a h x h a a a a a a ∴≥=-=->；综上所述：当()0,e a ∈时，()0h x >；ln y x = 在()0,1上单调递增，ln ln10x ∴<=，∴当()0,e a ∈时，2ln e x x a a x <-对任意的()0,1x ∈恒成立，即当()0,e a ∈时，()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的求解；本题证明不等式恒成立的关键是将问题转化为两函数最值的比较问题，从而利用导数求出新函数的最值，使得原不等式得证.22．(1)椭圆22:1129y x C +=；抛物线2:4y x Γ=；(2)（ⅰ）详见解析；（ⅱ）存在，092x =.【分析】（1）设椭圆方程，代入两点坐标即可求得结果；根据椭圆左顶点和抛物线焦点坐标，可构造方程求得p ，进而得到抛物线方程；（2）（ⅰ）联立直线l 与抛物线方程，可得韦达定理的结论；假设切线方程，并联立求得S 点坐标，再结合两点间距离公式求得所证等式中的各个基本量，整理可得结论；（ⅱ）假设存在点()0,0T x ，由倾斜角互补可知斜率和为0，将直线l 与椭圆方程联立，可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式表示出两直线斜率，根据斜率和为0可构造等式，消元整理得到0x .【详解】（1）设椭圆C 的方程为：()221,0,0x y λμλμλμ+=≠>>，和)2在椭圆C 上，381641λμλμ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：19112λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程为：221129y x +=；由椭圆方程可知：椭圆C 的左顶点为()3,0-，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()342p ∴--=，解得：2p =，∴抛物线Γ的方程为24y x =；（2）（ⅰ）当m k =时，直线():1l y k x =+，即11x y k =-，令1n k=，则直线:1l x ny =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由214x ny y x=-⎧⎨=⎩得：2440y ny -+=，则216160n ∆=->，21n ∴>，124y y n ∴+=，124y y =；设抛物线Γ在点,P Q 处的切线方程分别为：()111x n y y x =-+，()222x n y y x =-+，由()11124x n y y x y x⎧=-+⎨=⎩得：211114440y n y n y x -+-=，2111111616160n n y x ∴∆=-+=，又2114y x =，则211416y x =，()22211111116164420n n y y n y ∴-+=-=，则112n y =；同理可得：222n y =；联立两切线方程()()111222x n y y x x n y y x ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，将112n y =，222n y =代入，可解得：12121422y y x y y y n ⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，()1,2S n ∴，()()2221112SP x y n ∴=-+-，又111x ny =-，()()()2222221111221844SP ny y n n y ny n ∴=-+-=+-++；同理可得：()2222221844SQ n y ny n =+-++；111222111111PFx ny y QF x ny y +-+===+-+ ，∴要证22PF SQ QF SP ⋅=⋅，等价于证明2212y SQ y SP ⋅=⋅，()()22221121211841y SQ n y y ny y n y ⋅=+-++ ，又124y y =，()()221124132y SQ n y y n ∴⋅=++-，同理可得：()()222124132y SP n y y n ⋅=++-，2212y SQ y SP ∴⋅=⋅，即22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）当2m k =-时，直线():2l y k x =-，假设存在点()0,0T x ，使直线,MT NT 的倾斜角互补，则直线,MT NT 的斜率之和为0；设()()3344,,,M x y N x y ，由()2221129y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341212360k x k x k +-+-=，()()()222221243412360k k k ∴∆=-+->，即25120k +>恒成立，23421234k x x k ∴+=+，2342123634k x x k -=+，3430400y y x x x x +=-- ，()()()()340430220k x x x k x x x ∴--+--=，即()()3403402240x x x x x x -+++=，()2200222472122403434k k x x k k -∴-+⋅+=++，即021672034x k -=+，解得：092x =，∴假设成立，即存在点9,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得直线,MT NT 的倾斜角互补.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点定值问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数或方程的形式；④化简所得式子，消元整理即可求得定点或定值.。

2023-2024学年福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，能表示集合和关系的Venn图是()A. B. C. D.2.等差数列的前n项和为，，，则()A.9B.C.12D.3.平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，⟨，，则()A. B.1 C. D.24.如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形ABCDEF各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由，，…构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形ABCDEF的面积的比值趋近于()A. B. C. D.5.已知，则()A.0B.C.D.6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有()A.72种B.78种C.96种D.102种7.函数，定义域均为R，且，若为偶函数，，则()A.10B.13C.14D.398.一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.曲线关于y轴对称B.曲线关于原点对称C.在上单调递减D.在上单调递增10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则()附：，A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为C.依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过11.在四面体ABCD中，，，，同时平行于AD，BC的平面分别与棱AB，BD，CD，CA交于E，F，G，H四点，则()A. B.C.四边形EFGH的周长为定值D.四边形EFGH的面积最大值是312.抛物线：：，P是上的点，直线l：与交于A，B两点，过的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则()A.的最小值为1B.的最小值为1C.为钝角D.若，直线PF与l的斜率之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年福建省部分达标学校高三上学期期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则()A. B. C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知是三角形的内角，且，则的值是()A. B. C. D.4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升到8000，则C大约增加了()A. B.C. D.5.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是()A. B. C. D.6.已知关于x的不等式的解集为，若，则的最小值是()A. B. C. D.7.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为()A. B. C. D.8.已知函数的定义域为R，满足，当时，，记的极小值为t，若对则m的最大值为()A. B.1 C.3 D.不存在二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若复数z满足其中i为虚数单位，则下列说法正确的是()A.B.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限C.z的虚部为D.10.函数的部分图象如图所示，则()A. B.C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称11.下列大小关系中，正确的是()A. B. C. D.12.已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是()A.的一个周期为B.在区间上单调递增C.是偶函数D.在区间上有且仅有一个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1. 下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）A．B．C．D．2. 若，椭圆C：与椭圆D ：的离心率分别为，，则（ ）A．的最小值为B ．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为3. 在平面直角坐标系中，若不同的两点A (a ,b )，B (-a ,b )在函数y=f (x )的图象上，则称(A ,B )是函数y=f (x )的一组关于y 轴的对称点(A ，B )与(B ，A )视为同一组)，则函数，关于y 轴的对称点的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．44.已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为( )A．B．C．D．5. 已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（ ）A．B．C．D．6. 我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第层货物的个数为，则数列的前2021项和为（ ）A．B．C．D．7. 已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ）A ．1B ．2C．D．8. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是A．B．C．D．9. 在逻辑运算中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A．B．C ．2D．11. 已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）A．B．福建省福州市2023届高三质量检测数学试题二、多选题C．D．12.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是（ ）A ．3πB．C ．6πD ．9π14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．C．D ．815.在中，如果，那么的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形16. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．C．D．17. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A．B．C ．若A ，B独立，则D ．若A ，B互斥，则18. 举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）A ．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B ．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C ．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D ．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220019. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）A ．是以为最小正周期的周期函数B．的表达式可改写为C．的图象关于直线对称三、填空题D．的图象关于点对称20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）A．的渐近线方程为B．C ．直线的斜率为D ．的坐标为或21. 如图，在棱长为2的正方体中，M ，N ，P分别是，，的中点，则（）A ．M ，N ，B ，四点共面B ．异面直线与MN所成角的余弦值为C ．平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．三棱锥的体积为22.已知向量，且则下列选项正确的是（ ）A．B．C．向量与向量的夹角是45°D．向量在向量上的投影向量坐标是23.在平面四边形中，，，则（ ）A．B．C．D．24. 一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（ ）A ．平均数没变B ．中位数没变C ．方差没变D ．极差没变25.已知向量，则______.26. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.27. 函数，则___________.四、解答题五、解答题28. 已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________.29.如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.30. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.31. 已知函数f （x ），若函数y ＝f （x ）﹣a 2有3个零点，则实数a 的取值范围是___.32. 在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是____（结果用分数表示）．33. （1）化简；（2）计算.34. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.35. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．36.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．37.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．38. 化简：．39. 某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若，每单提成3元，若，每单提成4元，若，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若，每单提成3元，若，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x（单）131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量x（单）111314151618天数4512351（1）设美团外卖配送员月工资为，饿了么外卖配送员月工资为，当时，比较与的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）（ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．40. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．(1)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；(2)设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积．41. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.(1)求居民收入在的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为的人中抽取多少人？42. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3六、解答题位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，2），则P （μ-≤X ≤μ+≈0.6827，P （μ-2≤X ≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．43. 在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．方程图形名称图形44. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求点到平面的距离.45. 如图，四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，BC =CD =1，AD =2，PA =PD ，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，PA ∥平面BEF．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60°，求二面角E –BF –A 的余弦值．46. 已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．(1)求证：平面平面．七、解答题(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．47. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.48. 已知椭圆的离心率为，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当时，求的面积；(3)求证：直线与直线的交点T 的纵坐标为定值．49.已知集合.若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k 为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为；（ii ）写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.50. 在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．51. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm ）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率0.10不超过8　　0.5010　合计50 1.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率；52. 买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份/月12345678月销售量/百个45678101113月利润/千元 4.1 4.6 4.9 5.7 6.78.08.49.6(1)求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的线性回归方程（精确到0.01）；(2)某班老师购买了装有兔子玩偶和熊猫玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用表示3个中装有兔子玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.参考数据：，53. 2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.841 5.024 6.6357.879（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.54. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的八、解答题迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：年份20132014201520162017年份代码新能源乘用车年销量（万辆）（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).附: 1.最小二乘法估计公式：其中55. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．56. 在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；(2)求第n 次射击的人是乙的概率．57. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．(1)求四面体的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．58. 给定三个条件：①成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，___________.(1)求数列的通项；(2)若，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.59. 设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．60. 已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程，（2）直线与直线垂直且与曲线C交于B、D两点，求面积的最大值．61. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当时，求直线斜率的取值范围．62. 已知椭圆的焦距为2，点在C上.(1)求C的方程；(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.。

2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。

2023年福建省泉州市高考数学质检试卷（三）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. 0 C. 8 D. 8i3. 已知，则( )A. B. 0 C. D.4. 某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，则射击一次，击中目标的概率为( )A. B. C. D.5. 已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点A在C上，点B在l上.若，，则F到l的距离等于( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为( )A. B.C. D.7. 图1中，正方体的每条棱与正八面体八个面均为正三角形的一条棱垂直且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间.若，则点M到直线RG的距离等于( )A. B. C. D.8. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为( )A. 1B.C. 2D. 49. 已知AB为圆C：的直径，直线l：与y轴交于点M，则( )A. l与C恒有公共点B. 是钝角三角形C. 的面积的最大值为1D. l被C截得的弦的长度的最小值为10. 已知函数，，则( )A. 与均在单调递增B. 的图象可由的图象平移得到C. 图象的对称轴均为图象的对称轴D. 函数的最大值为11. 在长方体中，，，点P，Q在底面内，直线AP与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且，则( )A. B. 点Q的轨迹长度为C. 三棱锥的体积为定值D. AP与该长方体的每个面所成的角都相等12. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品；则这次抽中的概率为记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则( )A. B. 数列为等比数列C. D. 当时，n越大，越小13. 设随机变量，若，则______ .14. 已知，且，则______ .15. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为______ .16. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，C的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点.若，则C的离心率为______ .17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求B；已知D为AC的中点，，求的面积.18. 已知为等差数列，且求的首项和公差；数列满足，其中k，，求19.如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点.试确定点E的位置，使平面；已知，平面设直线与平面，所成的角为，试在的条件下，求的最小值.20. 港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平.在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数.某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量单位：毫米与时间单位：天的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数.已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：11234567z研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合.令，计算得：，，，，，请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；通常时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险.若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方.附：①相关系数；②回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；③参考数据：，21. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，直线l与C相切，且与圆O：交于M，N两点，M在N的左侧.若，求l的斜率；记直线AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值.22. 已知有两个极值点，，且求a的范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：可求出集合B，然后进行并集的运算即可．本题考查了绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，集合的描述法和区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，则，故，所以故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由，可得，故，故选：由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解．本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：“至少一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”，设射击一次，击中目标的概率为p，则：，解得故选：可设射击一次，击中目标的概率为p，则得出三次都击不中目标的概率是，从而可得出，然后解出p的值即可．本题考查了，A，B独立时，，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设焦点在x轴上的抛物线的方程为，因为，设AF的中点为D，则，所以，设交准线于，准线交x轴于E，可得等腰三角形，即，而，所以为等边三角形，可得B点与点重合，所以轴，所以，所以，即焦点F到准线的距离为2，故选：由题意可得B与A点在准线上的投影重合，可得为等边三角形，可得F到准线的距离．本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由可以得关于中心对称，又偶函数，即函数关于y轴对称，所以的周期为所以，因为，即关于对称，所以，所以切线方程：即：故选：利用函数的对称性和周期性及导数的几何意义即可求解．本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的考查，还考查了导数几何意义在切线方程的求解，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：如图所示：连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，在正八面体MPQRSN中，易知，且，所以，则，即，又平面MPNR，则，又HG与RN相交，所以平面RHG，则MR为点M到直线RG的距离，在中，，则，因为KL是的中位线，所以，即，故选：连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，利用正八面体MPQRSN的性质，由线面垂直的判定定理，证明平面RHG，得到MR为点M 到直线RG的距离，然后在中，利用KL是的中位线求得正八面体的边长即可．本题考查了空间中点到直线的距离计算，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：已知平面向量，，满足，设，，，又，，，，即，则，则，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故选：由平面向量数量积的坐标运算，结合向量的模的运算及重要不等式的应用求解即可．本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量的模的运算及重要不等式的应用，属基础题．9.【答案】ABD【解析】解：直线l：过定点，又，点在圆内，故l与C 恒有公共点，故A正确；点在圆内，，故B正确；当时，，故C错误；到直线l的距离，被C截得的弦的长度的最小值为，当时，等号成立，故D正确．故选：求得直线l过定点，判断定点在圆内可判断A，B；进而可求三角形的最大面积，以及最短弦长判断C，本题考查直线与圆的方程，直线与圆位置关系等基础知识，考查推理论证，运算求解能力，考查函数与方程思想，属中档题．10.【答案】AD【解析】解：，，选项A，由知，，，又函数在上单调递增，所以与均在单调递增，即A正确；选项B，的图象需由的图象经过平移和伸缩变换得到，即B错误；选项C，令，，则，，所以图象的对称轴为，，令，，则，，所以图象的对称轴为，，所以图象的对称轴均为图象的对称轴，即C错误；选项D，，，而当时，与可同时成立，所以的最大值为，即D正确．故选：利用二倍角公式化简可得，利用辅助角公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：如图所示，根据题意及正方体的对称性易知P为的中点，AP为图中左边正方体的体对角线，，选项错误；又由线面角的概念及正方体的对称性可得，D选项正确；将图中AP线段平移到右边正方体中的处，设右边正方体上底面的两对角线交点为G，则根据平面几何知识易知，又易知右边正方体上底面的对角平面，根据三垂线定理可得：当Q为线段上的点时，都有，即都有，的轨迹为线段，点Q的轨迹长度为，选项正确；如图，将在长方体的右侧面内向下补形一个正方形CDKJ，连接BJ，延长PH交BJ中点I，连接HD，ID，易知与ID不平行，又易知，平面与平面重合，又平面平面，且与ID不平行，与平面不平行，三棱锥的体积不为定值，选项错误，故选：根据正方体的对称性易P为的中点，从而可判断A，D选项；将AP平移后，根据三垂线定理可得Q的轨迹为线段，从而可判断B选项；根据线面平行的性质定理，补形后，即可判断C选项．本题考查正方体的对称性，线面角的概念，三垂线定理的应用，分割补形法的应用，线面平行的性质定理的应用，属中档题．12.【答案】ABC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，A正确；对于B，根据题意，，变形可得，故数列为等比数列，B正确；对于C，由B的结论，数列为等比数列，其首项为，公比为，则，变形可得，当n为奇数时，，当n为偶数时，，综合可得：，C正确；对于D，由C的结论，，数列为摆动数列，D错误；故选：根据题意，依次分析选项：对于A，求出的值，可得A正确，对于B，分析可得，变形可得，由等比数列的定义可得B正确，对于C和D，由B的结论推出数列的通项公式，由此分析可得C正确，D 错误，综合可得答案．本题考查概率与数列的综合应用，涉及互斥事件和相互独立事件的概率计算，属于基中档题．13.【答案】【解析】解：由正态分布密度曲线的对称性可得，，则，即，故答案为：结合正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义求解即可．本题考查了正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．14.【答案】0【解析】解：的通项公式，时，，时，，，，故，故答案为：根据题意，写出的通项公式，结合，计算即可．本题考查了二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：有两个零点，有两个根，即图像有两个交点，①时，设，，若有两个交点，则；②时，只有一个交点；③时，设，，若有两个交点，，综上可得，实数a的取值范围为故答案为：零点问题可以转为为图象交点问题，然后讨论a的取值范围即可．本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合是解题关键，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，联立，解得，为的中点，且，为的中点，则，代入，得，整理得：，即故答案为：由题意画出图形，求出M的坐标，再由中点坐标公式求得N的坐标，代入双曲线方程，整理即可得答案．本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，①，又，则，又，②由①+②得，则，又，则；因为D为AC的中点，则，又，则，即，即，又，即，又，则的面积为【解析】由正弦定理可得，即，然后结合余弦定理可得，得解；因为D为AC的中点，则，然后结合平面向量的模的运算可得，然后结合三角形的面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了向量的模的运算及三角形的面积公式，属中档题．18.【答案】解：数列为等差数列，且，当时，，由于，所以，整理得，由于，故由于，解得由得：由于所以，【解析】直接利用等差数列的定义和数列的递推关系式求出首项和公差；利用的结论，进一步利用裂项相消法和分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，分组法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．19.【答案】解：连接，DE，三棱台中，，D 是AC 的中点，E 是棱BC 上的动点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，又平面，且，平面，，平面平面，又平面平面，平面平面，，是AC 中点，是BC 的中点，在BC 的中点处，平面；平面ABC ，平面ABC ，，又，，平面，平面，，由知E 是BC 的中点，D 是AC 的中点，，，连接，，，四边形是平行四边形，，平面ABC ，平面ABC ，，EC ，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，又，，，当且仅妆，即时，取等号，要使的最小值，只需要最大，最大值为，此时的最小值为【解析】根据线线平行可得四边形为平行四边形，进而可得平面，平面平面，由面面平行的性质能得到线线平面，由此能求出结果；根据线线垂直可得线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：对两边取对数，得，令，，则，由表可知，，所以，所以，故可以用线性回归模型拟合u与t的关系．，，所以，即，所以z与t的回归方程为，令，则，故预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米．由知，，所以，为了避免塌方，令，则，所以，解得，所以估计最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．【解析】对两边取对数，令，，则，根据参考公式求出r 的值，即可作出判断；根据参考公式，求出和的值，可得u关于t的回归方程，进而知z与t的回归方程，再求出时，的值，即可；由知，，对其求导后，解不等式，即可得解．本题考查回归方程的求法与实际应用，导数在实际问题中的应用，熟练掌握回归方程的求法，导数的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：依题意，直线l的斜率必存在，设其方程为，由，，，①，O到直线l的距离，为圆O的半径，，，，即②，由①②解得，故l的斜率为证明：设，，，由已知可得，，，，，由，整理得，由韦达定理，得，，，，，为定值．【解析】设直线方程为，联立方程组可得，进而可得为圆O的半径，求解即可；设，，，，联立直线与圆的方程可得，，求解可得为定值．本题考查直线的方程，直线与圆，椭圆的位置关系，考查运算求解，逻辑推理和创新能力等，考查函数与方程思想，属中档题．22.【答案】解：，，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，要使得有两个极值点，则，即，先证：，令，则，所以在上，，即单调递增，在上，，即单调递减，所以，即成立，所以，又因为，，由零点存在性定理可得，存在，使得，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，为的两个极值点，所以a的取值范围为由知，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，则有，由于，所以，即，又，令，则，所以，又，所以，下证：，由于，则，又在单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，则，，所以，所以，所以成立．【解析】求导得，，分析的单调性，要使得有两个极值点，则，即，再证明有两个极值点．由知的单调性，且，则有，，，令，求导分析单调性，又，进而可得，下证，结合单调性可得，分析的最值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

2023年福建省福州三中高考数学第十三次质检试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z 满足，则复数z 的虚部为( )A. 2B.C.D. i3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( )A. B. C. 2 D.4. 下列说法中正确的是( )A. 已知随机变量X 服从二项分布，则B. “A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的充分不必要条件C. 已知随机变量X 的方差为，则D. 已知随机变量X 服从正态分布且，则5. 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为( )A. B. C. D.6. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点P 、A 、B 、C 、D 恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为( )A. B. C. D.7. 若，则( )A. 448B.C.D. 1128. 已知，，，则( )A. B.C.D.9. 下列说法中正确的是( )A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高10. 已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是( )A. 的图象关于对称B. 在上单调递减C. 的解集为，D. 方程在上有且只有两个相异实根11. 已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则( )A. 圆心的坐标为B. 圆C的方程为C. k的取值范围为D. 当时，弦MN的长为12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是( )A. 当时，B. 函数有2个零点C. 的解集为D. ，，都有13. 已知，，，则______ .14. 已知抛物线C：上有两动点P，Q，且，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是______.15. 设函数，若在区间上的值域为，则实数m的取值范围为______.16. 用表示自然数n的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，记…，则：______；______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求A；若D为BC上一点，且，，求的面积．18. 已知数列的前n项的和为，且满足求数列的通项公式及；若数列满足，求数列的前n项的和19. 在三棱台中，平面ABC，，且，M是AC的中点，P是CF上一点，且求证：平面平面PBM；当，且二面角的余弦值为时，求三棱台的体积．20. 某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接匋汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最昸岗位等级的概率．参考公式：21. 在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：的左焦点，直线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且求椭圆C的标准方程；若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为，①求证：为定值；②求面积的最大值．22. 已知函数，求函数在上的最小值；证明：当时，答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知复数z满足其中i为虚数单位，则，，则复数z的虚部为故选：根据复数的模长和复数的代数运算可得答案．本题考查复数的模长和代数运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力，是中档题．【解答】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，圆即为的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，由，可得，即故选：4.【答案】D【解析】解：对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件“，但是“A与B是互斥事件”⇐“A与B互为对立事件“，故A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B错误；对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；对于D：因为随机变量X服从正态分布且，所以，所以，故D正确．故选：根据数学期望判断A；根据充分必要条件判断B；根据方差判断C；根据正态分布判断本题考查了命题的真假的判断，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由，得，，则，，得，可得，故选：求出原函数的导函数，可得，进一步求得，可得，然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查导数的几何意义及应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．6.【答案】C【解析】解：正四棱锥的底面是正方形，底面边长为，高为8，如图所示：所以正四棱锥的底面对角线的长为，设正四棱锥外接球的半径为R，则，解得，所以球的表面积为，即该鞠的表面积为故选：画出图形，根据正四棱锥的底面是正方形，利用列方程求出外接球的半径，即可求出表面积．本题考查了外接球的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：，，则，故选：由二项式定理，结合二项式展开式项系数的求法求解即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式项系数的求法，属基础题．8.【答案】C【解析】解：，，设，则，函数在上单调递增，，即，，，，故选：利用指数函数的单调性判断，利用构造函数的单调性判断，求解即可．本题主要考查了指数函数和构造函数的单调性，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，数据，，…，的方差为0时，则此组数据与平均数相同，所以众数唯一，选项A正确；对于B，数据2，3，5，7，8，9，9，11，且，所以该组数据的第40百分位数为第4个数，是7，选项B错误；对于C，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近1，所以选项C错误；对于D，残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，选项D正确．故选：根据方差和平均数、众数，百分位数，相关系数和残差图的意义，对选项中的问题分析判断即可．本题考查了方差与平均数、众数和百分位数以及相关系数和残差图的应用问题，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．即，若的最小正周期为，则，得，此时，为偶函数，，，即，，，当时，，，，则当时，，则的图象关于对称，故A正确，当，则，，此时不是单调函数，故B错误，由得得即，即，，得，，故C正确，由得，则①或，②得①不成立，由②得，，，时，，时，，时，，则在上有且只有3个相异实根，故D错误，故选：根据图象变换关系求出和的解析式，根据三角函数的对称性，单调性分别进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象变换求出函数和的解析式，利用三角函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设圆方程为²²²，因为圆C被直线m：平分，所以圆心在直线m上，则由，由条件圆C过A，B两点，则，解得，，，所以圆心，故A正确；圆C的方程为，故B正确；由题可知过点且斜率为k的直线l方程为，即，由直线l与圆C 由两个不同交点M，N，所以点C到直线l的距离小于半径r，即，解得，故C错误；当时，可求得点到直线l的距离，则弦长，故D正确；故选：设圆方程为²²²，根据已知条件结合A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到k的取值范围，进而也可求得当时弦MN的长，进而得出选项．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆标准方程的求解，点到直线的距离公式，弦长公式等，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A，令，则，则依题意有，，选项A正确；对于B，因为，且奇函数的图象关于原点对称，所以的零点不可能为偶数个，选项B错误；对于C，当时，，即，解得；当时，；当时，，即，解得；综上，的解集为，选项C正确；对于D，当时，令，解得，易知在单调递减，在单调递增；当时，令，解得，易知在单调递增，在单调递减；且，其大致图象如下：由图象可知，对任意，，，选项D正确．故选：利用奇函数的性质可得时的解析式，然后判断A；由奇函数的性质可知的零点不可能为偶数个，从而判断B；分，及解不等式，即可判断C；利用导数研究的单调性及极值情况，作出草图，即可判断本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为，，，所以，即，解得，所以，所以故答案为：根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积运算与模长计算问题，是基础题．14.【答案】2【解析】解：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线上的投影为，点Q在直线上的投影为，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则，所以，当仅当，即P、F、Q三点共线时等号成立，所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值为2，故答案为：设抛物线C的焦点为F，由，结合抛物线的定义可得线段PQ的中点到x轴距离的最小值．本题考查抛物线的性质，数形结合思想，属于中档题．15.【答案】【解析】解：函数的图象如图所示，结合图象易得当时，故答案为：函数的图象如图所示，结合图象易得答案本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由题意得，由的定义易知，且若n为奇数则，……………，………………故答案为：86；据题中对的含义，判断出，由此可求得，利用，…本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法．17.【答案】解：在中，因为，所以由正弦定理得：，即，因为，，所以，即，因为，所以在中，因为，，所以，由余弦定理得：，即，解得：舍去，因为，所以即，因为，所以，解得：，所以的面积，即的面积为【解析】利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A；先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积．本题考查了三角函数恒等变形，余弦定理，向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：在中，令，则，即，由知，，两式相减得，，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式，前n项和公式，当时，……；当时，………，综上，【解析】结合与等比数列的概念，可知数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式与前n项和公式，得解；易知，再分和两种情况，结合等比数列的前n项和公式与分组求和法，得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，等比数列的通项公式与前n项和公式，以及分组求和法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：在中，因为，且M为AC中点，故可得，由平面ABC，且面ABC，可得，又，AC，面ACFD，故平面ACFD，又面ACFD，故，由可得，，又，故∽，可得，又，故，故可得，又，PM，面PBM，故可得平面PBM，又平面BCD，故平面平面由，可得，，连接DM，由可知，BM，MC，DM两两垂直，故以M为坐标原点，分别以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，由，可得，设平面EBD的法向量为，则，且，令，得，设平面CBD的法向量为，则令，得，依题意可得，解得，故，易得和的面积分别为和2，故三棱台的体积【解析】由线面垂直推证，再结合三角形相似证明，即可由线线垂直推证线面垂直；以M为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得，再由棱台的体积计算公式即可求得结果．本题考查了面面垂直的证明以及棱台体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：列联表：男女合计优得分不低于90分8412良得分低于90分161228合计241640，没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关．①甲的得分不得低于85分．若甲得分在内，，若甲得分在内，，若甲得分在内，，记事件A为甲被公司正式录用，事件B为甲被评为一级．；乙得分在内．若最终甲为一级，乙为一级或二级，，若最终甲为二级，乙为二级，，所以甲最终不低于乙的岗位概率【解析】根据数据填写列联表，计算的值，根据临界值表可作出判断；①根据条件概率进行计算；②计算甲为一级和二级的概率，可得最终结果．本题考查了独立性检验，条件概率等概率知识，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，又，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为；①当AB的斜率为0时，显然当AB的斜率不为0时，设，由得，设，故有，所以因为，所以综上所述，恒有为定值．②，即，当且仅当，即时取等号此时适合，所以面积的最大值为【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，涉及利用基本不等式求最值．属于较难题．由椭圆长轴长为8知，由，得，由此能求出椭圆的标准方程；①AB的斜率不为0时，设，由设，运用根与系数之间的关系及斜率公式化简即可．②，运用基本不等式即可.22.【答案】解：当时，令得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故：①当时，显然，故在上单调递减，在上单调递增，故此时；②当时，在上单调递增，故；综上可知：当时，；当时，证明：先证时，，令，，得；得，故在上单调递减，在上单调递增，故，所以时，，即③恒成立，当时，要证，即，结合③式，即证即成立，即证在上恒成立，令，，由得，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，即……④恒成立，因为③④两式取等号的条件不一致，故当时恒成立，即当时，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而求出最值解决不等式恒成立问题的解题思路，同时考查分论讨论思想的应用，属于中档题．先求出函数的极值点，然后通过讨论极值点与的关系，确定函数的单调性，进而求出最小值；可先证明在上恒成立，将不等式的证明转化为证明在恒成立即可．。