待定系数法在数学问题中的应用
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四、 在 不 等 式 中 的 应 用 例 ４ （ ２ ０ １ ０年 江 苏 ） 设 ｚ， 为实 数 ， 满足 ３ ≤ｘ ｙ ≤８ ，
通 条件 间 的 关 系 ， 整 体转化 ， 简化 运 算过 程 ， 避 免 错 解． 二、 在 数 列 中 的应 用
例 ２ 已知 正项数 列 ｛ ｎ ） 满 足
研 究 一 些 尚 待 确 定 的 系数 转 化 命 题 结 构 ， 经过变形与 比较 ， 建
叫待定系数法． 待 定 系数 法 是 数 学 中 的 基 本 方 法 之 一 ． 它 渗 透 于 高 中数 学 教 材 的 各 个 部 分 ， 在 全 国 各 地 高 考 中 有 着 广 泛
应用．
号 ， 所 以 一 ｎ 十 号 ．
ｃ ∈ （ 告 ， ） ．
点评 ： 从 以上 求 解过 程 可 以 看 出 ， 利 用待 定 系数 法 可 以 沟
点评 ： 根 据平面向量基本定理 ， 任 一 向 量 均 可 用 一 组 基 底
表示， 于是 待 定 系数 法 成 为 解 决 此 类 问题 的一 把 利 器．
相 交 于点 Ｍ ， 设Ｏ Ａ 一口 ， Ｏ Ｂ一 ． 试 用 口和 ｂ表 示 向量Ｏ Ｍ．
、
在 函 数 中 的 应 用
例 １ 已知实数 口 ＞６ ＞ｆ ， ａ＋ｂ ＋ｆ 一１ ， ａ 。 ＋ｂ ＋Ｃ 一１ ， 求 ａ ＋ｂ与 口 ＋ｂ 。的范 围．
分析 ： 先利 用平 面向量基 本定 理 ， 设０ Ｍ —ｍａ ＋ｎ ｂ ， 再 利
掌 （ ｍ 一 ÷ ） ｎ ＋ ｂ ， Ｃ 一 Ｂ ＝ 一 Ｏ Ｂ 一 ｏ 一 ｃ ＝ ｂ － Ｔ ｎ ，
研 版
又 Ｃ， Ｂ， Ｍ 三点共线 ， 所 以Ｃ Ｍ 与Ｃ Ｂ共线 ， 同理 可 得 ４ ｍ＋ ， ２ —
， 一
②． 联立①②得 ｍ一了 １ 得 一 ÷ ＜ ｃ ＜ ｏ ， 故 ｎ ＋ ６ — １ 一 ｃ ∈ （ １ ， 了 ４ ） ， ｎ ＋ ６ 一 １ 一 １
件， 选 用恰 当 的 方 法 ， 来 确定 这 些系数 ， 这 种 解 决 问 题 的 方 法
凤
点评 ： 对 于形 如 “ ｎ ＋１ 一ｓ 日 － Ｆ ｚ ， （ ｓ ≠ １， ｔ ≠ｏ ）”的 递 推 数
列， 往 往 利 用待 定 系数 法 构 造 一 个 等 比 数 列 ， 再 与原 递 推 关 系 对 比 常数 项 ， 进 而 求 出 通 项 公 式． 有些数 列问题 ， 通 过 引 入 或
解： 由 题 知 － Ｆ ｂ一 １ 一 ， ａ ｂ一 一
Ａ Ｄ—Ｏ Ｄ—Ｏ Ａ一÷０ Ｂ —ｏ Ａ一一口 ＋÷ ｂ ． 因为 Ａ， Ｍ， Ｄ 年
三点 共 线 ， 所 以
Ａ —Ｄ
，
与
共线， 所 以存 在 实 数 ￡ ， 使 得
一
Ｃ 一ｆ ， 构 造 关 于 ｎ， ｂ一 元 二 次 方 程 ｚ 一 （ １ 一Ｃ ） ＋Ｃ 一ｃ 一
干
一
４ ≤山 ． ≤９ ， 则 的 最 大 值 是 （
） ．
４￣ ／ Ⅱ ａ ＋ １ ＋ｎ ＋ １ ＋３ 口 口 ｎ ＋ ｌ ， 且ａ ｌ 一１ ， ｎ ２ —８ ， 求｛ 口 ｝ 的
通项公 式．
分析 ： 直 接 很 难 看 出 目标 式 与 条 件 式 之 间 的关 系 ， 通 过 引 入两个待定系数 ， 利 用 两 个 变 量 的 指 数 相 等 列 出方 程 组 ， 从 而
立起 含 有 待 定 字 母 系数 的 方 程 组 ， 由 此 求 出相 应 字 母 系数 的
值 ， 问题 便 迎 刃 而 解．
三、 在 平 面 向量 中 的应 用
本文就待定系数法 思想 在解 题 中的应 用加 以分类 解析 ， 旨在 探 索 题 型 规 律 ， 揭示解题方法 ．
一
例 ３ 在／ Ｘ Ａ Ｂ Ｏ中， Ｏ —｝ Ｃ 一÷ ｌ — ｏ — ． 一 ４， — Ｏ — Ｄ一÷０ ＋ ｌ — — Ｂ， ＋ Ａ Ｄ与 Ｂ Ｃ
用 Ａ， Ｄ， Ｍ 共线， Ｃ， Ｂ， Ｍ 共线得出 ｍ， ， ２ 的方程组 ， 从 而 解 出 ｍ， ｎ 的值 ． 解 ： 设Ｏ Ｍ ＝ｍ ａ＋ｎ ｂ ， 则 ＡＭ —Ｏ Ｍ —Ｏ Ａ—ｍ ｌ ｌ ＋ｎ ｂ —ａ 一
（ ｍ一１ ）口＋ ｎ ｂ．
分析 ： 这里涉及三个变量 ， 先 利 用 函 数 思 想 表 示 为 自变 量 为 Ｃ的 函 数 ， 再求定 义域即可． 注 意 到 ＋ ｂ ， ａ ｂ都 可 以用 Ｃ表 示， 因 而联 想 到 利 用 待 定 系 数 法 构 造 关 于 ｎ， ｂ的 一 元 二 次 方 程， 再 利用 根 的 分 布 确 定 定 义 域 ．
０ ， 则该 方 程 有 两 个 大 于 ｃ的不 等 实 根 ， 令 － 厂 ）一 Ｘ 一
所以（ 一１ ） ｎ ＋ ｂ — （ 一 ｎ ＋ ÷ ６ ， ） 所以 数
， 所 以 仇＋２ ｎ一 １ ① ； 因为 Ｃ Ｍ —Ｏ Ｍ —Ｏ Ｃ—
学 生
理
（ １ 一ｃ ） 十ｃ 一 ｆ ， 则 ＿ 厂（ ） 的 图像 与 ｚ 轴 有 两 个 交 点 都 在
待 定 系数 法 在 数 学 问题 中 的 应 用
■顾
在数学问题 中， 若得知所求结果具有某 种确定 的形式 ， 则 可 设 定 一 些 尚待 确 定 的 系 数 （ 或参数 ） 来 表 示 这 样 的结 果 ， 这 些待确定 的系 数 （ 或 参 数） ， 称 作 待 定 系数． 然 后 根 据 已 知 条
ｆ △一 （ ｆ 一１ ） 一 ４（ ｆ 一ｆ ）＞０，
＜ ｆ ｍ 一 １ 一
Ｉ 一
１
ｍａ＋ ｂ一 １
一
一
一
丫 匕
（ ｃ ， ＋ｏ ｏ ） 内 的 充 要 条 件 是
Ｉ ３ ｃ 一 ２ ｃ ＞ ０，
。 一
通 条件 间 的 关 系 ， 整 体转化 ， 简化 运 算过 程 ， 避 免 错 解． 二、 在 数 列 中 的应 用
例 ２ 已知 正项数 列 ｛ ｎ ） 满 足
研 究 一 些 尚 待 确 定 的 系数 转 化 命 题 结 构 ， 经过变形与 比较 ， 建
叫待定系数法． 待 定 系数 法 是 数 学 中 的 基 本 方 法 之 一 ． 它 渗 透 于 高 中数 学 教 材 的 各 个 部 分 ， 在 全 国 各 地 高 考 中 有 着 广 泛
应用．
号 ， 所 以 一 ｎ 十 号 ．
ｃ ∈ （ 告 ， ） ．
点评 ： 从 以上 求 解过 程 可 以 看 出 ， 利 用待 定 系数 法 可 以 沟
点评 ： 根 据平面向量基本定理 ， 任 一 向 量 均 可 用 一 组 基 底
表示， 于是 待 定 系数 法 成 为 解 决 此 类 问题 的一 把 利 器．
相 交 于点 Ｍ ， 设Ｏ Ａ 一口 ， Ｏ Ｂ一 ． 试 用 口和 ｂ表 示 向量Ｏ Ｍ．
、
在 函 数 中 的 应 用
例 １ 已知实数 口 ＞６ ＞ｆ ， ａ＋ｂ ＋ｆ 一１ ， ａ 。 ＋ｂ ＋Ｃ 一１ ， 求 ａ ＋ｂ与 口 ＋ｂ 。的范 围．
分析 ： 先利 用平 面向量基 本定 理 ， 设０ Ｍ —ｍａ ＋ｎ ｂ ， 再 利
掌 （ ｍ 一 ÷ ） ｎ ＋ ｂ ， Ｃ 一 Ｂ ＝ 一 Ｏ Ｂ 一 ｏ 一 ｃ ＝ ｂ － Ｔ ｎ ，
研 版
又 Ｃ， Ｂ， Ｍ 三点共线 ， 所 以Ｃ Ｍ 与Ｃ Ｂ共线 ， 同理 可 得 ４ ｍ＋ ， ２ —
， 一
②． 联立①②得 ｍ一了 １ 得 一 ÷ ＜ ｃ ＜ ｏ ， 故 ｎ ＋ ６ — １ 一 ｃ ∈ （ １ ， 了 ４ ） ， ｎ ＋ ６ 一 １ 一 １
件， 选 用恰 当 的 方 法 ， 来 确定 这 些系数 ， 这 种 解 决 问 题 的 方 法
凤
点评 ： 对 于形 如 “ ｎ ＋１ 一ｓ 日 － Ｆ ｚ ， （ ｓ ≠ １， ｔ ≠ｏ ）”的 递 推 数
列， 往 往 利 用待 定 系数 法 构 造 一 个 等 比 数 列 ， 再 与原 递 推 关 系 对 比 常数 项 ， 进 而 求 出 通 项 公 式． 有些数 列问题 ， 通 过 引 入 或
解： 由 题 知 － Ｆ ｂ一 １ 一 ， ａ ｂ一 一
Ａ Ｄ—Ｏ Ｄ—Ｏ Ａ一÷０ Ｂ —ｏ Ａ一一口 ＋÷ ｂ ． 因为 Ａ， Ｍ， Ｄ 年
三点 共 线 ， 所 以
Ａ —Ｄ
，
与
共线， 所 以存 在 实 数 ￡ ， 使 得
一
Ｃ 一ｆ ， 构 造 关 于 ｎ， ｂ一 元 二 次 方 程 ｚ 一 （ １ 一Ｃ ） ＋Ｃ 一ｃ 一
干
一
４ ≤山 ． ≤９ ， 则 的 最 大 值 是 （
） ．
４￣ ／ Ⅱ ａ ＋ １ ＋ｎ ＋ １ ＋３ 口 口 ｎ ＋ ｌ ， 且ａ ｌ 一１ ， ｎ ２ —８ ， 求｛ 口 ｝ 的
通项公 式．
分析 ： 直 接 很 难 看 出 目标 式 与 条 件 式 之 间 的关 系 ， 通 过 引 入两个待定系数 ， 利 用 两 个 变 量 的 指 数 相 等 列 出方 程 组 ， 从 而
立起 含 有 待 定 字 母 系数 的 方 程 组 ， 由 此 求 出相 应 字 母 系数 的
值 ， 问题 便 迎 刃 而 解．
三、 在 平 面 向量 中 的应 用
本文就待定系数法 思想 在解 题 中的应 用加 以分类 解析 ， 旨在 探 索 题 型 规 律 ， 揭示解题方法 ．
一
例 ３ 在／ Ｘ Ａ Ｂ Ｏ中， Ｏ —｝ Ｃ 一÷ ｌ — ｏ — ． 一 ４， — Ｏ — Ｄ一÷０ ＋ ｌ — — Ｂ， ＋ Ａ Ｄ与 Ｂ Ｃ
用 Ａ， Ｄ， Ｍ 共线， Ｃ， Ｂ， Ｍ 共线得出 ｍ， ， ２ 的方程组 ， 从 而 解 出 ｍ， ｎ 的值 ． 解 ： 设Ｏ Ｍ ＝ｍ ａ＋ｎ ｂ ， 则 ＡＭ —Ｏ Ｍ —Ｏ Ａ—ｍ ｌ ｌ ＋ｎ ｂ —ａ 一
（ ｍ一１ ）口＋ ｎ ｂ．
分析 ： 这里涉及三个变量 ， 先 利 用 函 数 思 想 表 示 为 自变 量 为 Ｃ的 函 数 ， 再求定 义域即可． 注 意 到 ＋ ｂ ， ａ ｂ都 可 以用 Ｃ表 示， 因 而联 想 到 利 用 待 定 系 数 法 构 造 关 于 ｎ， ｂ的 一 元 二 次 方 程， 再 利用 根 的 分 布 确 定 定 义 域 ．
０ ， 则该 方 程 有 两 个 大 于 ｃ的不 等 实 根 ， 令 － 厂 ）一 Ｘ 一
所以（ 一１ ） ｎ ＋ ｂ — （ 一 ｎ ＋ ÷ ６ ， ） 所以 数
， 所 以 仇＋２ ｎ一 １ ① ； 因为 Ｃ Ｍ —Ｏ Ｍ —Ｏ Ｃ—
学 生
理
（ １ 一ｃ ） 十ｃ 一 ｆ ， 则 ＿ 厂（ ） 的 图像 与 ｚ 轴 有 两 个 交 点 都 在
待 定 系数 法 在 数 学 问题 中 的 应 用
■顾
在数学问题 中， 若得知所求结果具有某 种确定 的形式 ， 则 可 设 定 一 些 尚待 确 定 的 系 数 （ 或参数 ） 来 表 示 这 样 的结 果 ， 这 些待确定 的系 数 （ 或 参 数） ， 称 作 待 定 系数． 然 后 根 据 已 知 条
ｆ △一 （ ｆ 一１ ） 一 ４（ ｆ 一ｆ ）＞０，
＜ ｆ ｍ 一 １ 一
Ｉ 一
１
ｍａ＋ ｂ一 １
一
一
一
丫 匕
（ ｃ ， ＋ｏ ｏ ） 内 的 充 要 条 件 是
Ｉ ３ ｃ 一 ２ ｃ ＞ ０，
。 一
