浅谈待定系数法在中学数学中的应用

浅谈待定系数法在中学数学中的应用某某(玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业××级×班, 学号: ××××)指导教师: 某某摘要:待定系数法是中学数学中的一种重要方法，利用待定系数法可以解决很多数学问题.本文讲述了待定系数法的主要解题步骤以及待定系数法在中学数学中的应用.关键词:待定系数法; 中学数学; 应用待定系数法是一种求未知数的方法.首先它把一个式子用含有待定系数的形式表示出来，得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出待定系数满足的方程，再解方程求出待定系数，或者找出系数所满足的关系式，这样的方法叫做待定系数法.[1]待定系数法是一种数学中经常用的解题方法.对于一些数学问题，如果知道题目中所要求的结果含有某种关系，这时可以用待定的系数来表示这种结果，由已知的条件列出恒等式，得到方程或者方程组，最后解出方程或方程组，就可以解出待定系数.待定系数法广泛应用于分解因式、分式的计算、求数列通向、解决解析几何等问题.一、待定系数法解题步骤（1）根据题目得到含待定系数的解析式；（2）根据多项式恒等的条件，列出含待定系数的方程；（3）解出所列出来的方程或者消去待定系数，就可以解决问题.二、待定系数法的用法一般用法是，设某一个多项式的全部或部分系数为未知数，根据两个多项式恒等以及同类项的系数相等或其他已知的条件确定这些系数，从而得到未知数的值.从更广泛的意义上说，待定系数法是将解析式的一些常数看作未知数，利用已知的条件确定这些未知数，从而解决问题的方法.求函数的表达式，把一个多项式写成几个整式的积或幂的和的形式等，都可以用这种方法.三、待定系数法的特点待定系数法是先根据数量之间的关系，设出一个含有待定系数的多项式，然后再根据多项式恒等的性质列出几个方程，这时得到一个方程组，解出方程组，就可以求出所设的待定系数的值或者是从方程组中消去设出的这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，就可以解决问题了.四、用待定系数法求解实例1、在多项式中的计算待定系数法是解数学问题的一种重要方法，用这种方法解题的一般步骤是：按照某些条件或要求，列出一个恒等式，其中含有没有确定的系数，再根据恒等式的性质列出几个只含系数的方程，解由这几个方程组成的方程组，确定每个待定系数的值，或得到其它结论，就可以解决问题.例1 假设p x x x x ++--12112234是两个完全平方式的乘积，求p 的值.思路剖析：多项式p x x x x ++--12112234为四次多项式，它是两个一次多项式的平方的乘积.且四次项次数为1，可设p x x x x ++--12112234=()()22b x a x ++，根据多项式恒等，则对应项系数相等的性质，列出含a 、b 的方程组并求解. 解：设p x x x x ++--12112234=()()22b x a x ++ 化简等式右边的式子，可得p x x x x ++--12112234=()()()22222223422422b a x ba ab x b ab a x b a x ++++++++因为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=++-=+p b a ba ab b ab a b a 2222221222114222 可以解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=3623c b a⎪⎩⎪⎨⎧=-==3632c b a 所以 p =4例 2 将x x x 2919323+-表示成3-x 幂的形式.思路剖析：根据题目意思，可以设出表示成3-x 幂的最后形式，又因为原式的最高次数时是3次，所以可以设成d x c x b x a +-+-+-)3()3()3(23，利用对应项系数相等，即可求出a 、b 、c 、d 的值.解：设x x x 2919323+-=d x c x b x a +-+-+-)3()3()3(23将右端展开得：x x x 2919323+-=d c b a x c b a x b a ax +-+-+-++-+3927)627()9(23由对应项系数相等，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=03927296271993d c b a c b a b a a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===3483d c b a 所以 x x x 2919323+-=3)3(4)3(8)3(323----+-x x x2、分解因式判断一个多项式能不能分解成两个或两个以上因式，以及能不能够分解，它的几个一次因式是什么，这个问题是很重要的.利用待定系数法来分解因式，就是根据已知的条件把原式假设成几个因式的乘积，这几个因式中的系数可以用字母来表示，因为这些因式的乘积与原式相等，然后再列出含有待定系数的方程组，最后解出方程组就可以求出待定系数的值. 例3 分解因式：7192234++++x x x x ．思路剖析：这是一个关于x 的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘法．利用待定系数法设出经分解因式后的式子.在这里，我们一般设成由两个因式相乘，解出因式中未知数时，再看能否再分解.解：设7192234++++x x x x=()()d cx x b ax x ++++22=()()bd x d ac b x c a x ++++++234，等式两边对应项系数相等，列出方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+71921bd bc ad d ac b c a ， 解该方程，得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===7213d c b a ， 所以7192234++++x x x x ()()721322+-++=x x x x ．3、分式计算像多项式计算一样 ，分式计算时，也可以设待定系数，解方程组求出待定系数，将整个问题解决.例 4 已知()()325222+-+-x x x x ，将它写成分子是常数，分母分别为()22,2,3--+x x x ,的三个分式的和的形式.思路剖析: 根据题意，把原式写成分子是常数，分母分别为()22,2,3--+x x x 的三个分式的和的形式，只需把原式设成()2223-+-++x C x B x A ，解出A 、B 、C 的值即可.解：设()()325222+-+-x x x x =()2223-+-++x C x B x A 所以()()325222+-+-x x x x =)3()2()3()3)(2()2(22+-+++-+-x x x C x x B x A 从而)3()3)(2()2(5222+++-+-=+-x C x x B x A x x把右边的式子化简，得到()()C B A x C B A x B A 36442+-+++-++即=+-522x x ()()C B A x C B A x B A 36442+-+++-++由此得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=+5364241C B A C B A B A解方程组，得A=54，B=51，C=1； 所以()()325222+-+-x x x x =2)2(1)2(51)3(54-+-++x x x 例 5 将12532223+-+-+x x x x x 化成一个整式和一个真分式的和的形式. 思路剖析：由于分子是三次式，分母是二次式，则所化的整式为一次式，可以设为b ax +.分式要是真分式，则分式分子的最高次数要比分母的最高次数低，可设为122+-+x x d cx . 解：设12532223+-+-+x x x x x =++b ax 122+-+x x d cx 于是 12532223+-+-+x x x x x =12)12)((22+-+++-+x x d cx x x b ax =12222223+-+++-++-x x d cx b bx bx ax ax ax =12)2()2(223+-+++-+-+x x d b x c b a x a b ax 由此得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=532122d b c b a a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0552d c b a 所以 12532223+-+-+x x x x x =125522+-++x x x x4、用待定系数法求数列通项式直接求数列的通项公式比较难时，可以挖掘题设之间的关系，整体变形观察相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差数列或者是等比数列，从而得到解决.这时通常利用待定系数法.例6 已知数列{}n a 中，61-=a ， n n a a a 11-=+，设310=a ， 31-=n n a b ，求数列{}n b 的通项公式.思路剖析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果． 解：n n n n a a a a 333131031-=--=-+，则，339333111+-=-=-=++n n n n n a a a a b 即391+=+n n b b则可设()x b x b b n +=++91，即x b b n n 891+=+，可得方程组⎩⎨⎧+=+=++x b b b b n n n n 893911 解得83=x 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++839831n n b b . 又有11-=a ，故812111-=-=a b ． 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧+83n b 是首项为41，公比为9的等比数列，即．194183-⨯=+n n b 则83491-=-n n b ． 5、二次函数的计算待定系数法在二次函数中，主要用在求函数的解析式.一般情况下，三个系数确定一个二次函数.所以二次函数计算中，至多设三个待定系数；相应地，最多解一个三元方程组.例 7[3] 二次函数的图像过A(0，1)、B(1，3)、C(-1，1)三点，求这个二次函数的解析式并求最值.思路剖析：求二次函数的解析式，根据题目知道三点，则设函数解析式为c bx ax y ++=2，图像过A 点得到第一个方程，图像过B 、C 点又得到第二、三个方程.解：设所求二次函数为c bx ax y ++=2将A 、B 、C 三点的坐标分别代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=131c b a c b a c解方程组，可得⎪⎩⎪⎨⎧===111c b a因此，所求函数解析式为 y=12++x x由解析式知函数图像开口向上，有最小值.根据公式，当212-=-=a b x 时，函数有最小值，最小值为 121212min +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y =43 例 8 已知：二次函数与x 轴交点的横坐标为2-和6，且图像过（3,5）；求a 、b 、c 的值思路剖析：根据题目知道二次函数与x 轴的两个交点，设函数方程时可设为顶点式()()21x x x x a y --=，又函数过A 点，就可以求出a 的值，函数解析式就可以求出来了.解：利用二次函数表达式中的乘积式，设所求函数为()()21x x x x a y --=.根据题意知21-=x ，62=x所以，所求函数为()()62-+=x x a y将（3，5）代入上式，解得31-=a 因此，所求函数为()()6231-+-=x x y 化为标准形式为434312++-=x x y 可以得到 31-=a ，34=b ，4=c . 6、解决解析几何用待定系数法求曲线方程的一般步骤是：①设出用字母表示待定系数的曲线方程；②依条件列出以待定系数字母为未知数的方程或者是方程组；③求出所有待定系数字母的值；④将所有求得的系数的值代换所设方程中的字母系数，得到所求的曲线方程.例9[2] 设椭圆中心在中心，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程.思路剖析：求椭圆方程，先设出椭圆的标准方程，再根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 的值，问题就全部解决了.设出椭圆的方程，等待确定a 、b 、c ，由椭圆的几何量之间的关系得到第一个方程，由已知的垂直关系联想到勾股定律建立第二个方程，再由焦点与长轴较近端点的距离转化为c a -的值后列出第三个方程. 解：设椭圆方程为12222=+by a x ，长轴a 2、短轴b 2、焦距c 2，则 a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪() 解得：a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105所以， 所求椭圆方程是：x 210＋y 25＝17、求三角函数最值用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从什么地方入手，怎样拆项，如何凑出定值而且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，对此问题，现在我们利用待定系数法探析.但不是所有的数学问题都可以利用待定系数法来解决，在这里举一个反例来进行说明.（反例）例10 设θ∈(0，2π]，求函数=y θsin +θ2sin 1的最小值. 思路剖析：因为θ∈(0，2π]，所以有θsin ＞0，则可以利用均值不等式()0,02>>≥+b a ab b a 来解决这一问题.解：因为θ∈(0，2π] 所以θsin ＞0 利用均值不等式，有θθθsin 12sin 1sin 2≥+=y 当1sin =θ时，可以取到等号即，函数=y θsin +θ2sin 1有最小值，且最小值为2. 以上各个例题从不同的方面展示了待定系数法在中学数学中的应用，充分体现了待定系数法的优点：灵活.可见，待定系数法的确是一种重要的解题方法，也是一种重要的教学方法和教学策略.六、结束语待定系数法是中学数学学习的一种重要方法.待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得到待定的未知数，之后就只需根据题目给出的条件，解题即可.用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到，但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法.参考文献：[1]余元庆 . 《待定系数法》.上海教育出版社；1963.[2]虞涛 . 《高中课本中的数学基本解题方法》.华东师范大学出版社；2007.[3]田钦张慈明 . 《初中数学解题方法总汇》.北京少年儿童出版社；1988.On the application of the method of undetermined coefficients in middle school mathematicsBi QingYuxi Normal University of Mathematics and Applied Mathematics2009grade 1 class,student number:2009011137Teacher:Guan XiaoliAbstract:undetermined coefficient method is an important method of mathematics undetermined coefficient method can solve many mathematical problems.Article describes the main problem-solving steps of the method of undetermined coefficients as well as the method of undetermined coefficients in secondary school mathematics. Keywords:undetermined coefficient method;Middle School Mathematics; application。