(完整版)必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一 平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．思考 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ？上述结论是怎样推导的？答案 推导：∵a ＝x 1i ＋y 1 j ，b ＝x 2i ＋y 2 j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1 j )·(x 2i ＋y 2 j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1 j ·i ＋y 1y 2 j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.知识点二 平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.思考 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．答案 推导：∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.知识点三 平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0；反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .思考 (1)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b 则x ＝________.(2)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________．(3)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是________三角形．答案 (1)2 (2)34π (3)直角题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．跟踪训练1 已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标． 解 ∵a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，∴5a －b ＝(－11，－10－k )．b －3a ＝(5，k ＋6)，∴(5a －b )·(b －3a )＝(－11，－10－k )·(5，k ＋6)＝－55－(k ＋10)(k ＋6)＝－55，∴(k ＋10)(k ＋6)＝0，∴k ＝－10或k ＝－6，∴b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6)．题型二 平面向量的夹角问题例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角．∴⎩⎨⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．题型三 平面向量数量积坐标形式的综合运用例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λy －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．跟踪训练3 在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．解 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，AB →＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.当心“角”下陷阱例4 已知a ＝(1,3)，b ＝(2，λ)，设a 与b 的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围． 错解 因为θ为锐角，所以cos θ>0，由a ·b ＝|a ||b |cos θ知，只需a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23. 错因分析 本题误以为两非零向量a 与b 的夹角为锐角等价于a·b >0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1>0，对于非零向量a 与b 有a·b >0.两非零向量a 与b 的夹角为锐角的等价条件是a·b >0且a 不平行于b .正解 由θ为锐角，得cos θ>0且θ≠0，由ab ＝|a |·|b |cos θ，而|a |、|b |恒大于0，所以a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23；若a ∥b ，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6，但若a ∥b ，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上，λ>－23且λ≠6.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π22．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．一、选择题1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.163．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．124．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．10．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．三、解答题11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．12．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．当堂检测答案1．答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4. 2．答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.3．答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －6b ，∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c |＝8 2.5．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .2．答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 3．答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.4．答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. ∴点C 的坐标为(－2,6)．5．答案 C解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解得①②得x ＝－79，y ＝－73.二、填空题7．答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.8．答案 (－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9．答案 655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 10．答案 x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52. 三、解答题11．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 12．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.又|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴|a －b |＝2或2 5.13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。