北师大版高中数学必修五期末复习练习(2)及答案

+ 3.
2
22
22
2
答案:
+3
22
15 如下表所示,若在 3×3 正方形的 9 个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成
等比数列,则标有*号的空格应填的数是
.
1
3
*
12
解析:设标有*号的空格应填
a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数是
1+3 2
2,第三行第二个数是
+12 2
,如表所示.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数是
a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得 a1
13 22
,d
7 66
,
所以 a5=a1+4d
13 22
+
4
7 66
67 66
,故选
B.
答案:B
5 已知{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b10=9,a3+b8=15,则 a5+b6 等于( ).
A.18
13 已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为 q,则 q 的取值范围是
.
解析:由题意可设三角形的三边分别为 ,a,aq,
因为三角形两边之和大于第三边,
所以有
+> , + >, + >.
又 a>0,q>0,解得 -1+
1+
2
2
4
答案: -1 , +1
2
2
14 把自然数 1,2,3,4,…按下列方式排成一个数阵.

、选择题:1 .在数49 2.A.D.3.5.必修5期末综合测试卷本大题共有10小题，每小题5分,列a n 中，a12,2a n 1 2a n 150 51共50分.则a101的值为D. 52x > 0, y > 0, 与b的大小关已知｛a n｝等比数列, a n>0,B.a2a4 2玄3玄 525,那么a3 a5 =A. 5B. 10C. 15D. 20x、y>0, x + y=1. 恒成立,a的最小值为已知在△B. 2ABC中, sin A ： sin B : sin C= 3 :5 :7,那么这个三角形的最大角是(9 .6 .设a 、a + 1、a + 2为钝角三角形的边，则A. 135B. 90° C . 120°D. 150 O v a v 3 B 3 v a v 4C 1 v a v 3D 4 v a v 6 7 .数列中"8,4右 ( )、八 刖项的和为A.c.1 n2 n 2n 21 n2 n 2n 1 2bx 2 5x a 0的解( )A x3或 x 2B 1十 1 x 或x - 23C 11Cx23D3x2已知不等式ax 2 5xb 0的解集是{x| 3xx 4y 3 0目标函数z 2x y ,变量x, y 满足3x 5y 25 ,则有x 1a 的取值范围是2},则不等式A.z max12,Z min B. Z max12, Z 无最小值10. 等差数列厲｝,叫的前n项和分别为盼丁”，若辛启，则簣( )二、填空题：共5小题，每小题5分，共25 分.11. _________________________________________________ 若x>0, y>0,且--1，贝S x+y 的最小值是 _______________________x y14. △ ABC 中，若sin 2 A sin 2B sin 2 C sinAsinC 那么角 B= ______________15. 若方程x 2 2x |g(2a 2 a) 0有一个正根和一个负根，则实数a 的 取值范围是 ___________________三、解答题：本大题共6小题，共75分。

江西省吉安市2012-2013学年下学期高一期末考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题、填空题，共75分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。

每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

）1. 设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为A. 1)(2-=x x fB. x x f 2log )(=C. ⎩⎨⎧-<---≥+=)1(2)1(1)(2x x x x x x f D. x x f 3)(= 2. 有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90～100分，10人低于90分。

现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m 比赛的6名同学公平安排跑道。

就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为A. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B. 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C. 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D. 系统抽样，分层抽样，简单随机抽样3. 在数列{a n }中，a 1=1，点（a n ，a n+1）在直线y=2x 上，则a 4的值为A. 6B. 8C. 10D. 124. 已知a ，b 为非零实数，则下列不等式正确的是A. 如果a>b>0，c>d ，那么ac>bdB. 如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+dC. 如果a>b ，那么ac 2>bc 2D. 如果a<b ，那么a 2b<ab 25. 在△ABC 中，AC=1，A=2B ，则BBC cos 的值等于 A. 3 B. 2 C. 1 D. 21 6. 某学校团委组织演讲比赛，八位评委为某同学的演讲打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，该同学所剩数据的平均数与方差分别为A. 86，3B. 86，35C. 85，3D. 85，35 7. 小华与小明一同去听学校组织的学习方法的经验介绍讲座，到了教室后这两个同学希望能坐在一起，且有一个靠窗，而会场（可容下100人）的座位表排法如下图所示，则符合要求的座位号是A. 48、49B. 62、63C. 75、76D. 84、858. 某商场节日期间为答谢顾客特举行抽奖促销活动，规则是：箱中装有编号为1，2，3，4的四个完全相同的印有“祝你中奖”字的小玩具，从抽奖箱中同时抽出两个小玩具，两个小玩具的号码之差的绝对值等于3时中一等奖，等于2时中二等奖，等于1时中三等奖，则不中二等奖的概率是 A. 31 B. 32 C. 41 D. 43 9. 下面四个图中为函数f （x ）=x －sinx 的部分大致形状的是10. 命题：公差不为0的等差数列的通项可以表示为关于n 的一次函数形式，反之通项是关于n 的一次函数形式的数列为等差数列为真，现有正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{n S }都是等差数列，且公差相等，则数列{a n }的一个通项公式为 A.412-n B. 412+n C. 2n －1 D. 2n+1第Ⅱ卷（填空题，共75分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在横线上）11. 小明通过做游戏的方式确定本周六是去同学家玩还是在家看书，他随机地在区间[－1，2]上投掷一点，若此点落在区间[0，1]内时，小明去同学家玩，否则在家看书，那么小明在家看书的概率为_________________。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五章末综合测评(二) 解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·南昌高二检测)已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得2sin A ＝332，可得sin A ＝22， 又∵a ＝2＜3＝b ， ∴A ＜B ，A ＝45°. 【答案】 D2．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，403【解析】 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝1034·sin C ＝403·sin C ，又sin C ∈(0,1]，所以c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403.【答案】 D3．如图1，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )图1A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°【解析】 由条件及图可知，A ＝B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.【答案】 D4．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则B 的值是( )A.π3B ．π6C.π3或2π3 D ．π6或5π6【解析】 由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2accos B.∴2accos B·tan B＝ac，∴sin B＝1 2，∴B＝π6或5π6.【答案】 D5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A∶B＝1∶2，a∶b ＝1∶3，则角A等于( )A．45°B．30°C．60°D．75°【解析】由正弦定理得ab＝sin Asin B，∵A∶B＝1∶2，a∶b＝1∶3，∴13＝sin Asin 2A＝12cos A，∴cos A＝3 2，即A＝30°.【答案】 B6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝2a，则ba等于( )A．2 3 B．2 2 C. 3 D． 2 【解析】∵asin Asin B＋bcos2A＝2a，∴sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，sin B＝2sin A，∴b＝2a，∴ba＝ 2.【答案】 D7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝( )A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由sin C＝23sin B及正弦定理，得c＝23b，∴a2－b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32，又0°＜A＜180°，∴A＝30°. 【答案】 A8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于( )A．3 3 B．239 3C.833D．392【解析】∵a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R，∴由S△ABC＝12bcsin A知3＝12×1×c×sin 60°，∴c＝4.又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝13.故2R＝asin A ＝2393.【答案】 B9．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.1010B．105C.31010D．55【解析】由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC＝5，再由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，所以sin∠BAC＝BC·sin∠ABCAC＝3×225＝31010.【答案】 C10．如图2所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为( )图2A.1762海里/小时B．346海里/小时C.1722海里/小时D．342海里/小时【解析】由题意知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理知PMsin 45°＝MNsin 120°，∴MN＝68×32×2＝346，∴速度为3464＝1762海里/小时．【答案】 A11．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( )A.π4B．π3C.π2D．3π4【解析】由题意知，sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C) ＝sin B·cos C＋cos B·sin C，∴－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两端同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B·tan C＝－22＝－1＝－tan A，∴tan A＝1，即A＝π4 .【答案】 A12．如图3所示，在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于( ) 【导学号：67940050】图3A.13B．12C.34D．0【解析】在△ABC中，设∠ACD＝∠BCD＝β，∠CAB＝α，由A∶B＝1∶2 得∠ABC＝2α，∵A＜B，∴AC＞BC，∴S△ACD＞S△BCD，∴S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴12AC ·DC ·sin β12BC ·DC ·sin β＝32，∴AC BC ＝32. 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，AC sin 2α＝BC sin α， ∴AC BC ＝sin 2αsin α＝2cos α，∴cos α＝34， 即cos A ＝34.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2015·福建高考)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．【解析】 由正弦定理，得S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝103，∴sin A ＝2035×8＝32.∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，∴BC ＝7. 【答案】 714．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.【解析】 由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin Acos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 115．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 816．(2015·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是________．【解析】 如图，设AB ＝AC ＝2x ，则在△ABD 中，由余弦定理，得3＝x 2＋4x 2－4x 2cos A ， 所以cos A ＝5x 2－34x 2.所以sin A ＝1－cos 2A ＝－9x 4＋30x 2－94x 2，所以S △ABC ＝12(2x)2sin A＝12－9x 4＋30x 2－9. 故当x 2＝53时，(S △ABC )max ＝12－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋30×53－9＝1216＝2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC.(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B. 【解】 (1)由正弦定理，得 AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B)，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B)＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以∠B ＝30°.18．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝bsin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B<π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin Bcos B ＝3cos B＝10. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，错误!·错误!＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．【解】(1)∵cos A2＝255，∴cos A＝2cos2A2－1＝35，sin A＝45.又由错误!·错误!＝3，得bccos A＝3，∴bc＝5，∴S△ABC＝12bcsin A＝2.(2)∵bc＝5，又b＋c＝6.∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，∴a＝2 5.20．(本小题满分12分)在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2C2＋12，试判断△ABC的形状．【解】依题意得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，2sin Acos B－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos 2A)＝cos2A＋12，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋12＝3－2sin2A2，解得sin2A＝12，因此sin A＝22，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝π4，△ABC是等腰直角三角形．21．(本小题满分12分)甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近．如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？⎝ ⎛⎭⎪⎫注：sin 21°47′＝3314. 【导学号：67940051】 【解】 设乙船速度为v 海里/时，在△ABC 中，由余弦定理可知BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×92＋102－2×23×9×10×cos 120°， ∴v ＝21海里/时．又由正弦定理可知BC sin ∠BAC ＝AC sin B， ∴sin B ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝23×923×21×sin 120°＝3314， ∴B ≈21°47′，即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.【解】(1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B＝csin C＝k，则2c－ab＝2ksin C－ksin Aksin B＝2sin C－sin Asin B，所以cos A－2cos Ccos B＝2sin C－sin Asin B，即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，因此sin Csin A＝2.(2)由sin Csin A＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×1 4，解得a＝1，从而c＝2.又因为cos B＝14，且0＜B＜π.所以sin B＝15 4，因此S＝12acsin B＝12×1×2×154＝154.。