一类非线性演化方程的精确解

非线性分析非线性分析是数学中重要的一个领域，它研究的是非线性方程和不等式的性质及其解的行为。

在非线性分析中，我们关注的是线性方程无法描述的复杂的现象和问题，这些问题可能涉及到多个变量之间的相互作用和非线性变化的规律。

非线性分析的研究对象包括：非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性变分理论、复杂动力系统、最优控制等。

非线性分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，当时的数学家们开始意识到线性模型无法完全描述现实世界的复杂性。

通过对非线性方程进行研究，数学家们逐渐发现了许多重要的非线性效应，如混沌现象、孤立子等。

这些发现不仅深刻地改变了数学的发展，也对物理学、工程学等其他学科产生了重大影响。

在非线性分析中，一个关键的概念是非线性映射。

简单来说，一个映射是指将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。

而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。

非线性映射的特点是它们的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。

相反，它们可能显示出强烈的非线性行为，如周期性、奇点、分叉等。

非线性分析的一个重要问题是研究非线性方程的解的存在性和唯一性。

对于一般的非线性方程，很难直接找到解析解，因此数学家们开发了各种方法来求解这些方程。

其中最著名的方法之一是古典非线性分析中的不动点定理和奇点理论。

这些理论提供了一种从不动点（或奇点）出发逐步逼近解的方法，通过迭代和逼近的方式来求解非线性方程。

除了解的存在性和唯一性，非线性分析还研究了解的稳定性和性质。

对于非线性方程的解来说，存在许多不同的稳定性概念，如局部稳定、全局稳定和渐近稳定。

这些概念用于描述解在微小扰动下的行为以及长时间演化的趋势。

稳定性理论对于理解和预测自然界中的复杂现象具有重要意义。

非线性分析的研究方法不仅限于数学理论，还涉及到了计算机模拟和实验观测。

计算机模拟通过数值方法来求解非线性方程，并研究其解的行为和性质。

实验观测则通过实验手段来验证非线性方程的解是否与真实情况相符。

非线性分数阶演化方程的新解刘银龙;夏铁成;刘泽宇【摘要】通过使用改进的分数阶sub-equation方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解,如分数阶Burgers方程、耦合分数阶Burgers方程与非线性分数阶Klein-Gordon方程等,并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(022)004【总页数】8页(P469-476)【关键词】改进的分数阶sub-equation方法;分数阶Burgers方程;耦合分数阶Burgers方程;分数阶Klein-Gordon方程【作者】刘银龙;夏铁成;刘泽宇【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O1781695年，莱布尼兹定义了分数微积分-普通微积分的推广.但直到最近几十年分数微分方程才重新得到学者们的关注，这是因为其对复杂现象有确切的描述，例如非布朗运动、系统识别、流体流动、控制问题、信号处理、黏弹性材料、聚合物和其他的学科领域的问题.众所周知分数阶方程的最大优势是其非本地属性，这意味着未来系统的状态不仅取决于其当前状态也取决于其所有的历史状态.例如，部分衍生品、流体动力交通模型可以消除由连续交通流的假设［1］引起的缺陷.最近，许多学者开始研究分数阶的函数分析，如把Yang-Laplace转换和Yang-Fourier转换的性质和定理应用到分数阶微分方程、微分系统和偏微分方程等.为了更好地理解复杂的非线性物理现象及其在实际生活中进一步的应用，一个自然而然的问题出现了，即怎样才能得到分数阶偏微分方程（fractional partial differential equation，FPDE）的精确解.目前，已经建立和发展了很多有效的方法，从而获得了FPDE的数值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分转换方法［4］、变分迭代法［5］、摄动法［6］等.另外，一些偏微分方程已经被研究和解决，如脉冲分数微分方程［7］、分广义Burgers流体［8］、分数阶热和波动方程［9］等.最近，He等［10］和Geng等［11］应用Exp-function方法寻求偏微分方程精确解.这种Expfunction方法得到了广泛的应用，并被用来寻找非线性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系统［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系统、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.这表明，通过Exp-function方法可以得到含参数的解，并且从中可以发现一些大多数现有方法的已知解.张盛等［16］提出了一种新的寻求偏微分方程精确解的直接方法，该方法被称为分数阶sub-equation方法，是基于齐次平衡原则［17］、修正的Jumarie黎曼——刘维尔导数［18］和符号计算.张盛等使用这种方法成功地获得了非线性分数阶演化方程的精确解.众所周知，当使用直接法找到非线性偏微分方程精确解时，选择一个适当的拟设是非常重要的.本研究正是通过运用改进的分数阶sub-equation方法［19］来寻找在流体力学中分数阶方程的精确解.首先，考虑分数阶Burgers方程与耦合分数阶Burgers方程［20］：Esipov导出了这个耦合系统.耦合Burgers方程系统的研究是非常重要的，因为这个系统在流体悬浮液或胶体中受到的重力的影响是一个简单的模型沉降或进化了体积浓度的两种粒子，其中常量p,q是依赖于系统参数沛克莱数、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗扩散系数.另外，尝试对非线性分数阶Klein-Gordon方程［21］进行了求解，可知非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多非线性类型，且该Klein-Gordon方程在一些实际应用程序中起着重要作用，如固态物理、非线性光学和量子场论等.修正的α阶Jumarie's Riemann-Liouville导数的定义如下：上述定义的分数阶导数具有3种性质：上面的这些性质在后续的分数阶方程计算中非常重要.对于改进的分数阶sub-equation方法的步骤如下.步骤1 给定一个分数阶偏微分方程，式中，x与t是两个独立的变量，且是未知函数，P是关于ui以及分数阶导数的多项式.步骤2 通过行波变换式中，c是待定常数.方程（6）便可以约化成关于Uj=u（ξ）分数阶常微分方程步骤3 假定式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）为待定常数，mj为通过平衡方程（6）或（8）中最高次项与非线性项得到的正数，并且φ=φ（ξ）满足这里，其中是含一个参数的Mittag-Leffler函数.步骤4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville导数的性质［22］，得到一个关于φ（ξ）的多项式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系数为0，得到一组关于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程组.步骤5 假定这些常数c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通过上述超定方程组求得，则将这些常数代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精确解.下面将用改进的分数阶sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.2.1 分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：通过平衡方程（11）中最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple计算这组方程，有情形1式中，c,α,η是任意的常数.情形2式中，c,α,η是任意的常数.通过情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：式中，σ＜0,ξ=x+ct.这里，σ＜0,ξ=x+ct.式中，σ＞0,ξ=x+ct.在这里，σ＞0,ξ=x+ct.式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常数.当然，通过情形2可以得到更多的解，这里就不一一列出了.2.2 耦合分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：根据前面所描述的方法，可以设方程（14）有如下解的形式：这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程组.用Maple计算该方程组，有式中，η,q,a0是任意的常数.式中，a0,b0,b-1是任意的常数.利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：式中，这里，式中，这里，式中，ω是常数.2.3 非线性分数阶Klein-Gordon方程重复上述过程，通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：平衡方程（16）中的最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（11）和（17）代入方程（16）中，同样可以得到一组关于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程组.用Maple计算这组方程得利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：式中这里，式中在这里式中是常数.本研究利用一个改进的分数阶sub-equation方法解决了在流体力学系统中的非线性偏微分方程，并成功获得了关于分数阶Buregers方程、耦合Buregers方程及分数阶Klein-Gordon方程的一些精确解析解.这些解包括广义双曲线函数、广义三角函数的解（目前所知这些解都是新解），而且这些解可能有利于进一步了解复杂的非线性物理现象和偏微分方程.此外，通过使用直接的方法选择适当的拟设在解决非线性分数阶偏微分方程过程中具有重要意义.【相关文献】［1］HE J H.Analytical solution of a nonlinear oscillator by the linearized perturbation technique［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1999,4（2）：109-113.［2］CUI pact finite difference method for the fractional diffusion equation［J］.J Comput Phys,2009,228（20）：7792-7804.［3］EL-SAYED A M A,GABER M.The Adomian decomposition method for solving partial differential equations of fractal order in finite domains［J］.Phys Lett A,2006,359（3）：175-182.［4］ODIBAT Z,MOMANI S.A generalized differential transform method for linear partial differential equations of fractional order［J］.Appl Math Lett,2008,21（2）：194-199. ［5］HE J H.A new approach to nonlinear partial differential equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1997,2（4）：230-235.［6］HE J H.A coupling method of a homotopy technique and a perturbation technique for non-linear problems［J］.Internat J Non-Linear Mech,2000,35（1）：37-43.［7］MOPHOU G M.Existence of mild solutions of some semilinear neutral fractional functional evolution equations with infinite delay［J］.Applied Mathematics and Computation,2010,216（1）：61-69.［8］XUE C,NIE J,TAN W.An exact solution of start-up flow for the fractional generalized Burgers fluid in a porous half-space［J］.Nonlinear Anal,2008,69（7）：2086-2096. ［9］MOLLIQ R Y,NOORANI M S M,HASHIM I.Variational iteration method for fractionalheat-and wave-like equations［J］.Nonlinear Anal,2009,10（3）：1854-1869.［10］HE J H,WU X.Exp-function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos Solitons Fractals, 2006,30（3）：700-708.［11］GENG T,SHAN W R.A new application of Riccati equation to some nonlinear evolution equations［J］.Phys Lett A,2008,372（10）：1626-1630.［12］ZHANG S.Exp-function method for solving Maccaris system［J］.Phys LettA,2007,371（1/2）：65-71.［13］BEKIR A,BOZ A.Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method［J］.Phys Lett A,2008,372（10）：1619-1625.［14］WU X H,HE J H.Solitary solutions,periodic solutions and compacton like solutions using the Exp-function method［J］.Comput Math Appl,2007,54（7/8）：966-986. ［15］KHANI F,HAMEDI-NEZHAD S.Some new exact solutions of the（2+1）-dimensional variable coefficient Broer-Kaup system using the Exp-function method［J］.Comput Math Appl,2009, 58（11/12）：2325-2329.［16］ZHANG S,ZHANG H.Fractional sub-equation method and its applications to nonlinear fractional PDEs［J］.Phys Lett A,2011,375（7）：1069-1073.［17］WANG M.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］.Phys Lett A,1995, 199（1/2）：169-172.［18］JUMARIE G.Modified Riemann-Liouville derivative and fractional Taylor series of nondifferentiable functions further results［J］.Comput Math Appl,2006,51（9/10）：1367-1376.［19］GUO S,MEI L,LI Y,et al.The improved fractional sub-equation method and its applications to the space-time fractional differential equations in fluid mechanics ［J］.Phys Lett A,2012,376（4）：407-411.［20］BEKIR A.Theexpansion method using modified Riemann-Liouville derivative for some space-time fractional differential equations［J］.Ain Shams Engineering Journal,2014,5（3）：959-965.［21］SIRENDAOREJI.Auxiliary equation method and new solutions of Klein-Gordon equations［J］. Chaos,Solitons and Fractals,2007,31（4）：943-950.［22］ZHOU Y,WANG M,WANG Y.Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients［J］.Phys Lett A,2003,308（1）：31-36.。

辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解杨健;赖晓霞【摘要】在数学和物理学领域,将含有非线性项的偏微分方程称为非线性偏微分方程.非线性偏微分方程用于描述物理学中许多不同的物理模型,范围涉及从引力到流体动力学的众多领域,还在数学中用于验证庞加莱猜想和卡拉比猜想.在求解非线性偏微分方程的过程中,几乎没有通用的求解方法能够应用于所有的方程.通常,可依据模型方程的数学物理背景来先验地假设非线性偏微分方程解的形式,并根据解的特点给出辅助方程.非线性偏微分方程可通过行波变换转化为常微分方程,再借助辅助方程来求解常微分方程.为此,借助行波变换及辅助方程的求解思路对BBM方程和Burgers方程进行了研究,并获得了其双曲正切函数及三角函数形式的精确解.研究结果表明,所采用的方法可广泛应用于若干在数学物理中有典型应用背景的非线性偏微分方程的精确解求解中.%In mathematics and physics,a nonlinear partial differential equation is a partial differential equation with nonlinear terms,which can describe many different physical models ranging from gravitation to fluid dynamics,and have been adopted in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture. There are almost no general solutions that can be applied for all equa-tions. Nonlinear partial differential equation usually originates from mathematical and physical fields,such that the ansatz of the solutions has been given and an auxiliary function has been provided according to its mathematical and physical features. They can be transmitted to an ordinary differential equations via a traveling wave transformation. Through introduction of the auxiliary function into the ordinary dif-ferential equation a set of nonlinear algebra equations is acquired,which can supply solutions original partial differential equation in sol-ving process. Therefore,BBM equation and Burgers equation can be solved with the auxiliary function. The exact solutions include tan-gent function and trigonometric functions. The research shows that the proposed auxiliary function method can be applied to solve some other nonlinear partial differential equations with mathematical and physical background.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2017(027)011【总页数】5页(P196-200)【关键词】非线性偏微分方程;辅助函数法;BBM方程;Burgers方程;精确解【作者】杨健;赖晓霞【作者单位】陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119;陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119【正文语种】中文【中图分类】TP39非线性方程广泛应用于物理学和应用数学的许多分支，尤其在流体力学、固态物理学、等离子物理和非线性光学等。

toda晶格方程的解Toda晶格方程是一个重要的非线性偏微分方程，它在数学和物理学中具有重要的应用。

Toda晶格方程描述了一维非线性离散波的演化规律，是经典的可积系统之一。

本文将从Toda晶格方程的定义、性质、解法等方面进行详细介绍。

首先，我们来看Toda晶格方程的定义。

Toda晶格方程是由日本数学家Toda所提出的一类非线性离散波动方程。

它的一般形式为：\[m_i \frac{d^2q_i}{dt^2} = q_{i+1} - q_i + e^{q_i - q_{i-1}} - e^{q_{i+1} - q_i}\]其中，\(q_i\) 是位置\(i\)处的位移，\(m_i\) 是质量，\(e^x\) 表示指数函数。

Toda 晶格方程的演化规律涉及了相邻位置之间的相互作用，其中包含了指数项，使得方程呈现出非线性的特点。

接下来，我们来分析Toda晶格方程的一些重要性质。

首先，Toda晶格方程是可积的，即存在一系列守恒量，使得方程的解可以通过逆散射方法等手段求解。

其次，Toda晶格方程具有孤子解，即方程的解可以表示为孤立波的叠加形式，这种孤子解在非线性波动中具有重要的意义。

此外，Toda晶格方程还具有Darboux变换等性质，使得方程的解具有一定的对称性。

针对Toda晶格方程的解法，可以采用不同的数学方法。

一种常用的方法是Lax表示法，即通过构造一个Lax对，将Toda晶格方程转化为一个线性的谱问题，然后通过谱方法求解。

另一种方法是逆散射方法，即通过构造散射数据，再通过逆散射变换得到方程的解。

此外，还可以利用Darboux变换、Hirota方法等进行求解，这些方法在研究非线性偏微分方程中具有重要的应用价值。

总的来说，Toda晶格方程作为一类重要的非线性离散波动方程，具有许多重要的性质和解法。

通过深入研究Toda晶格方程，不仅可以加深对非线性波动方程的理解，还可以拓展数学物理的研究领域，为相关领域的发展提供重要的理论基础。

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。

在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。

本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。

一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。

与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。

在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。

二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。

常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。

1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。

它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。

非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。

2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。

非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。

3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。

非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。

解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。

三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。

解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。

对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。

例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。

然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。

通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。

富克斯型方程
富克斯型方程（Fox equation）是一类被广泛应用于理论物理和数学领域的非线性偏微分方程。

该方程最早由美国数学家R. Fox于1959年提出，形式如下：
u_t = a(u^m)_{xx} - b(u^n)_{xxxx}
其中，u是一维函数，t是时间，a，b，m和n均为正常数，x是空间坐标。

Fox方程描述了一种具有强非线性、强耗散和强色散特性的物理过程。

Fox方程中的第一项描述的是势能的演化，其它项则描述的是粘性和色散的作用。

当m=n=1时，Fox方程退化为常见的扩散方程；当
m=n=2时，Fox方程描述了一种非线性色散现象。

Fox方程的研究涉及了许多数学和物理学领域，如非线性波动、图形演化、计算物理等。

Fox方程具有许多独特的特性，如具有多个粘性和色散项、具有多个时空尺度、具有多个自由度等，这些特性使得Fox方程在许多应用领域得到了广泛的应用。

Fox方程的解析解并不容易获得，通常使用数值方法求解。

由于Fox
方程的强非线性性质，数值解法的稳定性和精度受到很大的影响，因此需要使用高效和准确的方法求解。

总之，Fox方程是一种具有强非线性、强耗散和强色散特性的物理模型。

该方程在数学和物理学领域中具有广泛的应用，研究Fox方程对于深入理解现代科学中的许多非线性现象具有重要意义。

一种求解 RLW 方程的紧致差分格式孙建安;吴广智;贾伟【摘要】利用紧致有限差分方法进行空间离散，龙格库塔方法进行时间离散，建立了一种求解RLW方程的数值格式，较好地解决了对空间与时间混合导数项的离散问题，并在空间和时间上都保持了高阶精度。

所得数值结果证实了该数值格式具有较高的精度。

%A compact difference scheme is established for solving the regularized long wave equation by using the compact difference method in space discretion and the Runge‐Kutta method in time discretion , the mixed derivative is skillfully treated and the higher order accuracy is maintained both in space and time . It is confirmed that the numerical solutions obtained from the scheme are with extremely high accurate .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P38-41)【关键词】紧致有限差分方法;龙格库塔方法;RLW方程;数值解【作者】孙建安;吴广智;贾伟【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O411.11992年,Lele[1]总结格式,得到了任意高阶精度对称紧致有限差分格式的推导方法,与普通差分方法相比,紧致差分方法可以在相同数量的节点上获得更高的精度,例如使用五节点即可达到六阶精度.该方法的应用十分广泛,曾经被用来研究弹性波方程[2]、泊松方程[3]、N-S方程[4]等.RLW方程是由Peregrine[5]提出的一类非线性演化方程,是描述许多物理现象(如浅水波、等离子体声波等)的一种非常好的模型,尤其是在研究非线性色散波方面起了非常重要的作用[5,6],尽管该方程某些形式的解析解可以得到(如孤波解)，但很多形式的解析解目前无法获得，因此对其数值解法的研究十分重要，提高其数值求解的精度也很有意义.众多数值方法都曾经用于求解RLW方程,例如五次和二次B样条Petrov-Galerkin有限元法[7]、伽辽金线性有限元法[8]、二次B样条集中伽辽金有限元法[9]、三次B样条配置法[10]、微分求积方法[11]、J分裂法和三次样条函数相结合的方法[12,13]、有限差分法[14]等.本文使用紧致差分方法进行空间离散,使用四阶龙格库塔方法[15]进行时间离散,提出了一种新的求解RLW方程的高精度数值格式,并通过数值计算，对新的数值格式的计算精度进行了研究.紧致有限差分方法是使用函数值的某种线性组合来表示该函数导数值的线性组合的一类差分方法,该方法增加了差分格式的精度与稳定性.对于函数u(x),x∈[a,b],将自变量区间n等分,插入n+1个节点x1(a),x2,…x,xn+1(b),相邻节点间距为h,则在内节点处,五点六阶精度的对称紧致差分格式为[4]其中，分别为节点xi处函数u以及u对x的一阶、二阶导数值.边界点与近边界点处的差分格式可参考文献[4].若节点处函数值已知,求解由内点、近边界点及边界点处的差分格式构成的线性方程组,即可求得各节点处的一阶和二阶导数值.RLW方程[5]的具体形式为数值求解该方程的主要困难在于其含有时间与空间的混合导数项,为此,本文构造了一种使用紧致差分方法与龙格库塔方法求解该方程的新的数值算法.引入变量将方程(3)改写为对方程(5)使用四阶龙格库塔方法其中,zn表示z在第n时间层的值;k1=g(tn,zn)=-(ux)n-ε(uux)n.由于un已知,由(1)式和(2)式可解得(ux)n,(uxx)n的值,进而可得到zn及k1的值.接下来给出k2,k3,k4的计算方法.以k2为例,记,由z与u的关系(4)式可得,利用(2)式可得由于已知,求解线性方程组(7)式即可得到,再利用(1)式求得ux,即可得到采用类似的方式可求出k3和k4的值,进而可用(6)式计算出zn+1.然后利用关系(7)式将其中替换为替换为un+1,可得到求解线性方程组(9),得到u在第n+1时间层的值un+1.考虑如下初始条件的RLW方程其对应的方程的精确解为其中,v=1+εd；.计算时取ε=1,μ=1,xc=0.由于算例为孤波解,边界处满足因此,为了简化边界点与近边界点的处理方式,计算时在求解区间左右端点的外侧分别外插了x-1=-80-2h,x0=-80-h,xn+2=120+h,xn+3=120+2h四个节点,并取u(x-1,t)=u(x0,t)=u(xn+1,t)=u(xn+2,t)=0,则近边界点与边界点即可按照内点处理. 为方便对比数值结果的误差,引入误差范数L2与L∞及守恒量I,它们分别定义为[16] 表1给出了在d=0.1,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法与几种其他算法求解RLW方程孤波解所得到的数值结果在时间t=20时的误差范数与守恒量对比.表2给出了在与表1相同条件下本文算法所得的数值结果与文献[4,11,15]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表3给出了在d=0.03,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法所得的数值结果与文献[13]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表4给出了在d=0.01,h=3/16,τ=10-3,x∈[-130,170]时本文算法所得的数值结果与文献[11]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.可以看出，本文建立的数值格式在计算精度方面更高于其他数值方法；在长时间计算的过程中，本文格式一直保持了高计算精度，具有很好的稳定性；同时，通过表3和表4还可以看出，在方程参数变换过程中，本文格式同样保持了高计算精度.用紧致差分格式与龙格库塔方法构造了一种新的求解RLW方程的数值格式,较好地解决了对空间与时间的混合导数项的离散问题,并在空间和时间上都保持了高阶精度.使用新数值格式计算得到的RLW方程的数值解与其他数值格式获得的数值解进行了比较,结果显示本文构造的新数值格式具有更高的数值计算精度，因此该数值格式在RLW方程数值解法的研究中很有实用价值与参考意义.【相关文献】[1] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].Journal of Computational Physics,1992,103:16-42.[2] 王书强,杨顶辉，杨宽德.弹性波方程的紧致差分方法[J].清华大学学报:自然科学版,2002,42(8):1128-1131.[3] 田振夫.求解泊松方程的高精度紧致差分方法[J].黄淮学刊:自然科学版,1998,14(4):25-28.[4] 沈露予.不可压缩Navier-Stokes方程高精度算法研究[D].南京：南京信息工程大学,2005:8-10.[5] PEREGRINE D H.Calculations of the development of an undular bore[J].Journal of FluidMechanics,1966,25:321-330.[6] BONA J L,PRITCHARD W G,SCOTT L R.Numerical schemes for a model of nonlinear dispersive waves[J].Computer Physics Communications,1985,60:167-196.[7] DOGAN A.Numerical solution of regularized long wave equation using Petrov-Galerkin method[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2001,17:485-494. [8] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematical Modelling,2002,26:771-783.[9] ESEN A,KUTLUAY S.Application of a lumped Galerkin method to the regularized long wave equation[J].Applied Mathematical and Computation,2006,174:833-845.[10] RASLAN K R.A computational method for the regularized long waveequation[J].Applied Mathematical and Computation,2005,167:1101-1118.[11] 孙建安,陶娜，张涛锋，等.用余弦微分求积法数值求解RLW方程[J].西北师范大学学报:自然科学版,2011,47(5):30-34.[12] JAIN P C,SHANKAR R,SINGH T V.Numerical solutions of regularized long wave equation[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,1993,9:579-586. [13] ZAKI S I.Solitary waves of the splitted RLW equation[J].Computer Physics Communications,2001,138:80-91.[14] 罗明英,舒国皓，王殿志.RLW方程的有限差分逼近[J].四川师范大学学报:自然科学版,2001,24(2):138-143.[15] 王能超著.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,2002:105-106.[16] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematica l Modeling,2002,26:771-783.。

一些重要的非线性偏微分方程非线性偏微分方程是物理学、化学学、计算机科学、工程学等多个学科中最具挑战性和重要性的一类数学工具。

这种类型的方程在实际问题中经常会出现，如流体力学、电磁场理论、量子场论、相场理论等都是常常使用非线性偏微分方程来描述其行为和性质的。

下面我们将介绍一些重要的非线性偏微分方程及其应用。

1. 密涡流方程密涡流是流体力学领域中非常重要的现象。

其在大气科学到海洋科学中都有广泛的应用。

密涡流方程是一种解释这种现象的数学模型。

密涡流方程是一个非线性的偏微分方程，它的解决方法和得到精确解的难度都比较大。

2. 反应扩散方程反应扩散方程被广泛用于描述生物学和生态学中的现象。

这种方程模型将可以扩散的物种的分布与其吸收或消耗或生成速率联系起来。

这种方程重要的应用之一就是可以模拟稳态下的生态系统。

反应扩散方程在生态学中广泛应用，它可以帮助我们研究种群动态系统的空间演化效果、物种竞争等问题。

3. 应力平衡方程应力平衡方程是计算机科学中非常重要的非线性偏微分方程之一。

在计算机图形学和计算机动画的设计和制作中，这种方程被广泛应用。

这种方程旨在计算和控制三维形状和它们所受的外部力的影响，比如人物的动作捕捉、轮胎滚动、物体的形变等问题。

4. 广义KdV方程广义KdV方程是一种描述偏移与变形波的演化的非线性偏微分方程。

它被广泛应用于自然科学中的多个领域，比如地球物理学、天文学和物理学等。

广义KdV方程也可用于描述激波的逆反效应，它还可以用于研究孔径分布函数的相关问题。

总结：非线性偏微分方程是一个非常复杂和广泛的数学工具。

在应用于实际问题中，我们往往需要根据实际需求和模型构建选择相应的模型。

上述几种模型并不穷尽，我们还有许多其他的模型可用于描述实际问题的行为和性质，比如Navier-Stokes方程、Helmholtz-Hodge分解方程、大地热流平衡方程等。

有趣的是，随着计算机科学和数值方法的发展，我们可以使用高性能计算机和等离子体仿真等工具对这些方程进行求解，同时通过对这些方程的研究我们可以更好地理解自然界的复杂性质，不断拓展我们的科学认识。