非线性演化方程分离变量的直接构造法及其应用(戴朝卿,张解放著)思维导图

常微分方程一阶微分方程可分离变量形式=dxdy f(x)g(y)=∫g(y)dy f(x)dx∫齐次方程=dxdy f()xy令，，则=xy U=dxdy u+x=dxdu f(u)⇒=dxdu[f(w)−x1u]一阶非齐次线性y+′p(x)y=q(x)积分因子法：y=e q(x)e dx+C−p(x)dx∫[∫p(x)dx∫]伯努利方程y+′p(x)y=q(x)y nS1除：S2换:令，则S3带回:y⋅′+y n1p(x)y=1−n q(x)y=1−n z=dxdx=dydzdxdy(−n)yy n1′+1−n1dxdz P(x)z=2(x)⇒+dxdz(1−n)P(x)z=q(x)判断一阶方程类型➡可分离➡齐次方程➡是否头重脚轻=dxdy∗∗∗Y：一阶非齐次方程/伯努利方程N：倒过来再次判断二阶微分方程二阶可降阶微分方程不含x不含y二阶常系数齐次线性微分方程求特征值，带入方程二阶常数非齐次线性方程①求齐次通解② 设非齐次特解，并带入其中③通解=C1齐+C2齐+非奇特非齐次特解的设法形式1形式2三阶齐次微分方程类比二阶算线性方程解的关系非奇特是刻进DNA中的不变化叠加原理认识它解决它。

高等数学函数特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性反函数、复合函数、分段函数初等函数极限无穷小两个重要极限间断点连续零点定理、介值定理洛必达法则、泰勒公式导数和微分求导反函数求导复合函数求导高阶导数隐函数求导参数方程求导拐点、凹凸性最大值、最小值微分微分中值定理罗尔定理朗格拉日中值定理*柯西中值定理曲率、弧微分不定积分换元法分部积分法定积分反常积分微分方程可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程齐次非齐次伯努利方程可降阶的高阶微分方程高/二阶线性微分方程解的结构常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程欧拉方程空间解析几何向量数量积向量积混合积曲面一次曲面二次曲面柱面圆柱面椭圆住吗抛物柱面椭圆锥面椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面)空间曲线空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影平面及方程平面一般方程两平面夹角平面束方程空间直线及方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程空间直线的参数方程两直线夹角直线与平面的夹角多元函数微分法多元函数点集极限连续性偏导数全微分多元函数复合求导隐函数求导一个方程的情况方程组的情况几何应用一元向量值函数及导数空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线(偏导数有关)方向导数和梯度(偏导数有关)多元函数的极值(偏导数有关)条件极值重积分二重积分性质极坐标计算二重积分三重积分柱面坐标计算三重积分球面坐标计算三重积分曲线积分对弧长的曲线积分(线密度)对坐标的曲线积分(力做功)两类曲线积分之间的关系格林公式路径无关原函数的一个全微分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分两类曲面积分之间的联系高斯公式无穷级数基本知识常数项级数、收敛、发散收敛级数的基本性质正项级数定义审敛比较审敛法比较审敛法的极限形式比值审敛法*根值审敛法(柯西审敛法)极限审敛法交错级数绝对收敛、条件收敛幂级数阿贝尔定理性质和运算收敛半径函数展开成幂级数傅立叶级数。

⼤学⾼数常微分⽅程思维导图_⾼等数学各章节知识点框架常微分⽅程.pdf【微信公众号：给⼒考研资料】免费分享常微分⽅程1.概念，2.⼀阶微分⽅程求解3.⾼阶微分⽅程求解4.应⽤题1.概念(7个概念，了解即可)微分⽅程—含有未知函数的导数或者微分的⽅程常微分⽅程—未知函数为⼀元函数的微分⽅程偏微分⽅程—未知函数为多元函数的微分⽅程微分⽅程的阶—未知函数的导数的最⾼阶数为⽅程的阶数微分⽅程的解—将函数代⼊⽅程，为恒等式，则该函数为解微分⽅程的通解与特解—通解—解中独⽴常数的个数等于⽅程的阶数，特解—解中没有任何常数初始条件(定解条件)—确定通解中的常数的条件2.⼀阶微分⽅程求解⼀阶⽅程(4个)1.可分离变量型(两边直接积分)2.可化成可分离变量型形如y'=f(ax+by+c)型 (令u=ax+by+c,相应对x求导，则化成可分离变量)⻬次型—形如y'=f(y/x) (令p=y/x，相应求导，则可化为分离变量型)Note ：1.对于式⼦中出现lnu中u不知正负，则要带上绝对值，除过⼀阶线性2.对于⼀阶线性⽅程，不⽤带绝对值(18版18讲P217有分析)3.所求的通解可以不是全部解(线性：通解=全部解，⾮线性：通解不等于全部解)4.在求通解中，⼀定要带上对独⽴常数C的限定5.若出现不属于⼀阶⽅程四种类型，则考虑调换x ，y的地位6.能写成显⽰解就写要写成显⽰解3.⼀阶线性⽅程(要掌握推导解的公式，利⽤求导公式逆⽤法)—形如y'+p(x)y=q(x)4.伯努利⽅程(这⾥可以将其化成⼀阶线性，利⽤恒等变形中三种⽅法中换元)形如y'+p(x)y=q(x)yn(令y1-n=u ，相应求导，化成⼀阶线性)5.全微分⽅程利⽤积分与路径⽆关的性质，⽤折线法来求原函数=C⼆阶可降阶⽅程1.形如y''=f(x,y') 缺y型——将y斩草除根(令y'=u,y''=u',化成了⼀阶)2.形如y''=f(y,y')缺x型——将x斩尽杀绝(令y'=u,y'=udu/dy,化成⼀阶)要注意两种类型不同的处理⽅法Note ：还有⼀种可降阶的n阶⽅程，连续求导即可3.⾼阶微分微分⽅程的求解(2～4阶)⼆阶线性微分⽅程的概念(详⻅18讲P218)1.⻬次与⾮⻬次2.变系数与常系数注意若真的出现了变系数⼆阶，要想到换元，化成⼆阶(或者是欧拉⽅程)解的结构与解的性质(各2个)(详⻅⾼数18讲P218)1.⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程的通解结构(两个线性⽆关的解(通俗理解就是相除不为常数)可以构成起通解)2.⾮⻬次的解的结构——⻬次的特解+⾮⻬次的特解3.两个⾮⻬次的特解相加为⼀个全新⾮⻬次的特解(叠加原理)【微信公众号：给⼒考研资料】免费分享4.两个⾮⻬次的特解相减为其⻬次的⼀个解⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程求解(背公式)⾮⻬次的特解(背公式)n阶常系数线性⻬次微分⽅程求解(背公式)注意特征⽅程的特征根各种情况(四种情况)4.欧拉⽅程(仅数⼀)(18讲259)形如x2y''+pxy'+qy=f(x)换元：当x⼤于0当x⼩于04.应⽤题：1.背景公平——信息给予2.翻译成数学表达式Note ：注意⽐例系数应是正号，或负号，应根据题意主动添上。