第七章 对角矩阵

对角阵的基础解系对角阵是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质和特点，对于诸多应用领域尤其重要。

在矩阵的理论与应用中，我们常常需要使用对角阵的基础解系，它可以帮助我们解决许多实际问题。

首先，什么是对角阵？对角阵也称为对角矩阵，指的是除了对角线以外的所有元素都为0的矩阵，记作D。

对于一个n阶方阵，如果它的所有非对角线元素都为0，则称该矩阵为对角矩阵，其对角线上的元素称为主对角线元素。

例如，3阶对角阵可以表示为：D = [d1,0,0; 0,d2,0; 0,0,d3]其中，d1、d2、d3是对角线上的元素。

对角阵的基础解系指的是满足Ax=λx的所有向量x，其中A是一个n阶对角阵，λ是x的标量倍数，称为特征值。

对于任意一个n阶对角阵D，它的基础解系就是由单位向量组成的集合{e1,e2,...,en}，其中ei表示第i个分量为1，其余分量全为0的列向量。

以上面的3阶对角阵为例，假设我们需要求解Ax=3x的解析式，即：[D-3I]x = 0[D-3I]表示将D矩阵中所有元素减去3后得到的矩阵，I表示n阶单位矩阵。

因此，[D-3I] = [d1-3,0,0; 0,d2-3,0; 0,0,d3-3]根据矩阵的行列式定义进行展开，可以得到：det[D-3I] = (d1-3)(d2-3)(d3-3)令det[D-3I]=0，可以求解得到三个特征值分别为3、d2-3和d3-3，特征值对应的特征向量可以通过将x带入Ax=λx式中求解得到。

因此，对于特征值为3的情况，有：[D-3I]x = [0,0,0]x即：(d1-3)x1 = 0，(d2-3)x2 = 0，(d3-3)x3 = 0因为d1、d2、d3都是非零的数，所以可以得知对于特征值为3的情况，其对应的特征向量x为：x = [1,0,0]T，[0,1,0]T，[0,0,1]T因为对角阵的所有特征向量都是线性无关的，因此{[1,0,0]T，[0,1,0]T，[0,0,1]T}就是该对角阵的基础解系。

对角矩阵的n次方公式一、引言在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具。

矩阵的幂运算在很多实际问题中都有广泛的应用，其中对角矩阵的幂运算是一种特殊且常见的情况。

本文将介绍对角矩阵的n次方公式，以及其应用。

二、对角矩阵的定义与性质对角矩阵是指只有对角线上有非零元素，其它位置上都为零的矩阵。

例如，一个3x3的对角矩阵可以表示为：```[ a 0 0 ][ 0 b 0 ][ 0 0 c ]```对角矩阵的主对角线上的元素称为矩阵的特征值，它们是矩阵的固有性质。

对角矩阵具有以下性质：1. 对角矩阵的转置等于其本身。

2. 对角矩阵的行列式等于对角线上各元素的乘积。

3. 对角矩阵的特征值等于其对角线上的元素。

4. 对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当对角线上的元素不为零，逆矩阵的对角线上的元素为原矩阵对角线上元素的倒数。

三、对角矩阵的n次方公式对角矩阵的n次方公式可以通过矩阵的特征值来推导。

设对角矩阵D为：```[ λ1 0 0 ][ 0 λ2 0 ][ 0 0 λ3 ]```其中λ1、λ2、λ3为对角矩阵的特征值。

则对角矩阵D的n次方可以表示为：```[ λ1^n 0 0 ][ 0 λ2^n 0 ][ 0 0 λ3^n ]```即对角矩阵的n次方结果仍为对角矩阵，且对角线上的元素分别为特征值的n次方。

四、对角矩阵的应用对角矩阵的n次方公式在很多实际问题中都有重要应用，以下举例说明其应用场景：1. 状态转移方程：在马尔可夫链模型中，状态转移矩阵通常为对角矩阵。

通过对角矩阵的n次方公式，可以方便地计算系统在n步之后的状态概率分布。

2. 线性变换：对角矩阵表示的线性变换具有特殊的性质。

通过对角矩阵的n次方公式，可以快速计算线性变换后的结果。

3. 特征值分解：对角矩阵的n次方公式可以帮助我们更好地理解特征值分解。

特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵表示为特征向量和特征值的线性组合。

对角矩阵的n次方公式为特征值分解提供了重要的理论基础。

第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。

本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。

§7.1 矩阵序列与极限本章中数域F 均指R (或C )，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。

我们把n n ⨯阶矩阵序列12k ，，，，A A A ，简记为{}k A ，其中()()()11121()()()21222()()()12=k k k n k k k n k k k k n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1,2,k=显然，一个n n ⨯阶矩阵序列{}k A ()n n k ⨯∈A C 中各矩阵的所有对应位置构成n n⨯个数列{}()k ij a ，其中()(,1,2,,)k ij a C i j n ∈=。

定义1 设矩阵序列{}k A (1,2,...k =)，其中()()C k n n k ij a ⨯=∈A ，若n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =都收敛，即存在数ij a ∈C ，使得()lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞== 则称矩阵序列{}k A 是收敛的，并把矩阵()C n n ij a ⨯=∈A 称为{}k A 的极限，或称矩阵序列{}k A 收敛于A ，简记为lim k k →∞=A A 或()k k →→∞A A若这n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =中至少有一个不收敛，则称矩阵序列{}k A 是发散的。

例1 讨论22⨯阶矩阵序列{}k A 和{}k B 的敛散性，其中1sin (1)(1)1k k kk k kk⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1(0.5)2+1021k k k k k e k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣-⎦B 1,2,k =。

习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλ21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。

证明：（1）s V V V +++ 21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。

证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。

现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλααα 。