2.2 矩阵变换(PPT)

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2.2矩阵的运算

2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二、矩阵与矩阵的乘法

矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步（允许多次经过同一条边）走到B点的方案总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

矩阵与变换

一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记（为 T： , y ) x, y )， (x （或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：

2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形

化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A，它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又有如下定理
T
思考题解答
答相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行，从而有以下定理定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3

人教B版高中数学选修4-2课件 1.2.2 矩阵变换课件2

1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x y 2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0
0
1
x
y
y
x
x x x
T
:
y
1 1
0
0
x y
11
x0 0x
1 , 0
0 0 0, 1T
0x
0: y
x
y
x x
2.2 几种常见的平面变换
8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.
设A（a,b）, A(a
m, b)，则T
:
a
b
a b
m
变换矩阵为
1 0
k 1
,
k
m b
2.2 几种常见的平面变换
θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
P(x, y) r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin
y
r
sin(
)
r
sin
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin
sin cos
x
y
x x
cos sin
y sin y cos
x y
2.2 几种常见的平面变换
cos sin

3-2.2齐次变换矩阵及其运算

T-1 =
式中的 “ . ” 表示向量的点积。
上海电机学院机械学院
计算T矩阵的逆矩阵。
0.5 0.866 T 0 0 0 0.866 3 0 -0.5 5 2 1 0 5 0 0 1
0.5 0.866 0 (3 0.5 2 0.866 5 0) 0 0 1 (3 0 2 0 5 1) 1 T 0.866 0.5 0 (3 0.866 2 0.5 5 0) 0 0 1 0
根据变换方程，可以立即求出
B W S G W 1 T B T T TT TT S G
上海电机学院机械学院
旋转变换通式
问题描述：令 k kxi k y j kzk 是过原点的单位矢量，求绕k旋转
θ角的旋转矩阵R(k,θ)。
令
A B
R Rot(k , )
即R(k,θ)表示坐标系{B}相对于参考系{A}的方位。
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
上海电机学院机械学院
如图所示单操作手臂，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手部的起始位姿矩阵为G1.
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂到达G2；若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达式。
T
W Rot(Y ,90)Rot( Z ,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 7 3 0 0 2 1 1
B B C p C T p
A
B A B C p A T p T p B BT C

《矩阵的初等变换》课件

《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例：高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质

高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版

a b x bx ax＋by ＋＝，这是矩阵与向量的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质．性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向设是一个二阶矩阵，，是任意实数，量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝＝ c x b ＝，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋向量，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即法．
a Aa＝＝ c
理科
│要点探究
【点评】要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常点评】要理解二阶矩阵变换的定义，见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分，分别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ，，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由，，，矩阵．矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵，称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵，称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换． (1)旋转变换旋转变换直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.1-2.2.2恒等伸压变换

数学应用
例2.已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C , 试求变换T对应的矩阵M,以及曲线C 的解析表达式.
变:已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出变换T对应的矩阵M。
数学应用
例应的3.伸验压证变圆换C:下x变2 为y一2 个1 椭在圆矩,阵并A=求10此20椭圆对
愚公：志向远大、不畏困难、坚持不懈、造福后人、大智若愚
智叟不“智”、愚公不“愚”
对于愚公和智叟，也有人说愚公“很愚”，智叟“很智”，你的看法如何呢?
寓言只是用假托的故事，就某一点来晓喻一个道理，决不能以今天的科学技术进步来看待愚公的“愚”和智叟的“智”，也不能以今天提倡的“巧干”来要求愚公。
的方程.
课堂反馈 P34 1,2,3,4.
课堂小结
恒等变换矩阵(单位矩阵)
1 0
M
0
1

恒等变换
伸压变换矩阵伸压变换
M

a 0
0
1

N

1 0
0
b

愚公移山
YW·九年级上册
学习目标
1.明确寓言的特点及作用，理解本文深刻的寓意。 2.分析愚公形象，体会对比、衬托手法的表达效果。 3.感受愚公移山的精神以及愚公形象的现实意义。
今：各个，许多）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息）
8.虽我之死（古：即使
今：虽然）
9.惧其不已也（古：停止
今：已经）
四、词类活用 1.面山而居名词作动词，向着。 2.聚室而谋使动用法，使……聚。 3.箕畚运于渤海之尾名词作状语，用箕畚装土石。

2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算

a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2

a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出，作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法

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专题二 MATLAB矩阵处理
2.2 矩阵变换
☐对角阵
☐三角阵
☐矩阵的转置
☐矩阵的旋转
☐矩阵的翻转
☐矩阵求逆
1．对角阵
☐对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。

☐数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。

☐单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

(1) 提取矩阵的对角线元素
☐diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。

☐diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

矩阵的对角线：与主对角线平
行，往上为第1条、第2条、一
直到第n条对角线，往下为第-
1条、-2条、一直到-n条对角
线。

主对角线为第0条对角线。

(2) 构造对角阵
☐diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。

☐diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

例1 先建立5×5矩阵A ，然后将A 的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵对角线的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵对角线的第2个元素乘以该矩阵
的第二行，…，依此类推。

>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =
7 0 1 0 5 3 5 7 4 1
4 0 3 0 2
1 1 9
2
3 1 8 5 2 9
>> D=diag(1:5);
>> D*A
ans =
7 0 1 0 5
6 10 14 8 2 12 0 9 0 6 4 4 36 8 12 5 40 25 10 45
要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？
要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，可以用一个对角阵右乘矩阵A 。

>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =
7 0 1 0 5 3 5 7 4 1 4 0 3 0 2 1 1 9 2 3 1 8 5 2 9 >> D=diag(1:5); >> A*D ans =
7 0 3 0 25 3 10 21 16 5 4 0 9 0 10 1 2 27 8 15 1 16 15 8 45
2．三角阵
☐上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。

☐下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。

（1）上三角矩阵
☐triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。

☐triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

>> triu(ones(4),-1)
ans =
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
(2) 下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

☐转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。

☐
共轭转置，其运算符是单引号（'），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

3．矩阵的转置
●
矩阵的转置：把源矩阵的第一行变成目标矩阵的第一列，第二行变成第二列，…，依此类推。

●如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。

>> A=[1,3;3+4i,1-2i] A =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i 1.0000 -
2.0000i >> A.' ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i 3.0000 + 0.0000i 1.0000 -
2.0000i >> A' ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 - 4.0000i 3.0000 + 0.0000i 1.0000 +
2.0000i
4．矩阵的旋转
rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90º的k倍，当k为1时可省略。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
1 3 2
-3 2 1
4 1 2
>> rot90(A)
ans =
2 1 2
3 2 1
1 -3 4
>> rot90(A,2)
ans =
2 1 4
1 2 -3
2 3 1
5．矩阵的翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。

☐fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转
☐flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

>> A=magic(5); >> D1=diag(A);
>> sum(D1)
ans =
65
>> B=flipud(A); >> D2=diag(B); >> sum(D2)
ans =
65 ☐对矩阵A实施上下翻转得到矩阵B，这样A的副对角线就移到了B的主对角线
☐5阶魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等，都为65。

例2 验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等。

6．矩阵的求逆
☐对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I (I为单位矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

☐inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

例3 用求逆矩阵的方法解线性方程组。

⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=++=++62782
94532z y x z y x z y x 在线性方程组Ax=b 两边各左乘A -1，得x=A -1b 。

>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; >> b=[5;-2;6]; >> x=inv(A)*b x = 23.0000 -14.5000 3.6667 >> x=A\b x = 23.0000 -14.5000 3.6667。