矩阵和行列式基础PPT课件

第四章 矩阵 · 行列式 · 线性方程组

本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.

在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.

§1 矩阵与行列式

一、 矩阵及其秩

[矩阵与方阵] 数域（第三章，§ 1）F上的m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按确定的位置排成的矩形阵列，称为m×n矩阵.记作

A=mnmmnnaaaaaaaaa...........................212222111211

其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，aij称为矩阵的第i行第j列的元素，矩阵A简记为(aij)或(aij)mn.

n×n矩阵也称为n阶方阵，a11，a12，…，ann称为矩阵A的主对角线的元素.

行数m与列数n都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.

[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x1，x2，…，xm，若数域F中有一组不全为零的数ki (i=1，2，…，m)，使

k1x1+k2x2+…+kmxm=0

成立，则称这组矢量在F上线性相关，否则称这组矢量在F上线性无关.

矢量组的线性相关性的讨论：

1° 矢量组x1，x2，…，xm线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量xi可用其他矢量的线性组合来表示，即

jmjjixax1

2° 包含零矢量的矢量组一定线性相关.

3° 矢量组x1，x2，…，xm中，若有两个矢量相等：xi=xj(i≠j),则该矢量组线性相关.

4° 若矢量组x1，x2，…，xr线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若矢量组x1，x2，…，xm线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.

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授课：XXX 第一章 矩阵与行列式

释疑解惑

1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如acbd写成两边各划一竖线的行列式如acbd，或把行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m行和(1)n列，不一定mn；但行列式只有n行n列。n阶行列式是2n个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n阶方阵

111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa

的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作detA、A或nD，即

111detnijkkkAAaaA

（如二阶方阵adAbc所对应的行列式是这样一个新的对象：adacbdbc）。也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A为n阶方阵时，不可把A与A等同起来，而是nAA，等等。

2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数乘矩阵mnA是用数乘矩阵mnA中每一个元素得到的新的mn矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。

3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由ABE来定义（A与B互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为0A以及关系式*AAAE，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A的伴随方阵是矩阵ijAa的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。

n阶行列式和n阶矩阵的概念

1. n阶行列式的概念

1.1 定义：n阶行列式是由n个行向量或n个列向量所组成的n*n方阵所确定的一种特殊的数。

1.2 计算方法：

当n=1时，行列式的值等于这个数本身。

当n>1时，可以按照递归的方式进行计算。

例如：当n=2时，行列式的计算公式为：

det(A) = a11 * a22 - a12 * a21

其中，A是一个2*2的矩阵，a11、a12、a21、a22分别代表A矩阵中对应位置的元素。

1.3 性质：

（1）行列式的值可以通过互换矩阵的行与列而改变符号。

（2）若矩阵某一行或某一列的元素都是0，则行列式值等于0。

（3）若矩阵的两行或两列完全相同，则行列式值等于0。

（4）若矩阵的某一行或某一列元素同时乘以一个数k，则行列式的值也同时乘以k。

2. n阶矩阵的概念

2.1 定义：n阶矩阵是一个由n个行向量或n个列向量组成的矩形数组。

2.2 表示方法：

（1）一般情况下，矩阵用大写字母表示，例如A、B、C等。

（2）矩阵中的元素用小写字母表示，例如a11、a12、a21、a22等。

（3）行向量和列向量的表示方法不同，行向量通常用行向量的形式表示，例如A=(a1，a2，...an)。

而列向量通常用列矩阵或列向量的形式表示，例如B=[b1，b2，...bn]或B=(b1，b2，...bn)。

2.3 运算：

（1）矩阵加法：矩阵A和矩阵B相加，其结果矩阵C的每一个元素为A矩阵和B矩阵对应元素之和。

（2）矩阵数乘：将一个矩阵A中的每一个元素都乘以一个数k，得到的结果矩阵称为矩阵A的数乘k。

（3）矩阵乘法：若矩阵A是m行n列的矩阵，矩阵B是n行p列的矩阵，则矩阵C是m行p列的矩阵。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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11 目录

目录 .................................................................................................................................................. 1

一、行列式....................................................................................................................................... 2

见ppt。........................................................................................................................................... 2

二、矩阵特征值 ............................................................................................................................... 2

三、正定矩阵 ................................................................................................................................... 2

四、幺模矩阵 ................................................................................................................................... 3