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矩阵的概念ppt课件

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矩阵PPT课件

矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积

线性代数课件第2章矩阵

线性代数课件第2章矩阵

于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

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列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中


矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

《矩阵论》课件 共39页PPT资料

《矩阵论》课件 共39页PPT资料

n
x 1
xi ;
i1
1
x
2


n i1
xi
2 2
;
x


max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2

p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一

矩阵1-概念计算ppt课件

矩阵1-概念计算ppt课件
矩阵的概念及运算
1
矩阵的概念
数域P中m n个数aij ,(i 1,2,L ,m; j 1,2,L , n), 按照一定的顺序排成m行n列的数表 称为数域P上
的m n矩阵,记作A、Amn或A (aij )mn ,(i 1, 2,L , m;
j 1,2,L , n)
a11
a21
a12 L a22 L
A
1 1
1 1
,
B
1 1
1
1
0 AB 0
0 0
10
性质： 1)( AB)C A(BC)
2)A(B C) AB AC;(B C)A BA CA
3) AmnEn Amn , Em Amn Amn
4)( AB) ( A)B A( B)
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
bm
11
线性方程组
a11 a12 L
矩阵表示 增广矩阵：
A%
a21
L
a22 L
L L
am
1
am 2
L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn
bm
a11
ABC为同阶
对角矩阵
A
a22 O
b11
B
ann
b22 O
bnn
C
c11 Biblioteka c22 Ocnna11b11c11 ABC
an1
an2 L
ann
a11 a12 L a1n
A
a22 L
a2n
O M
ann
4
矩阵相等
如果A (aij ), B (bij )都是m n矩阵, 并且它们对应的元素都相等,即aij bij , (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)，则称为矩阵 A和矩阵B相等,记为A B.

《矩阵概念简易入门》课件

些基本的数学性质，如加法、数乘、乘法等。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。

第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件


没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？

工程数学第二章矩阵课件


68 34
上页
下页
返回
结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
上页
下页
返回
结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
上页
下页
返回
结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2

2024版第5章矩阵分析ppt课件


矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
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巩固练习
4.用矩阵变换的方法求解线性方程组：
3x 5y 6 0, 4x 3y - 7.
知识总结
1.矩阵的相关概念 2.相等的矩阵 3.矩阵的变换 4.用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤
2 1 0 1
6、
关于x、y、z的三元一次方程组的增广矩阵为

0
2
5
2
，
2x y 1 0 1 2 8
2 y 5z 2
其对应的方程组为 y 2z 8
知识讲解
8.矩阵的一般形式
一般地，由mn个aijR(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)排成的m行
概念巩固
2 3 1
1、二元一次方程组 32xx
3y 4y

1 5
的增广矩阵为
3
4
5
它是 2 行 3 列的矩阵，可记作 A2×3，这个矩阵的两个行向 量为（2 ，3 ，1）、（3，－4，5） ；
3x 5y 6
2、
二元一次方程组

3y

4x

的系数矩阵为
知识讲解
x 2y 3x y

5 8

x 7
2 y
y -7
5

x

y
2y -1

5

x y

3 -1
① 1 2 5 1 ①×（-3） 2 5 ②÷7 ② 3 1 8 ＋ 0 7 -7
1 2 5 ②×2 0 1 -1 ＋
例题讲解
例2 用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组
5x 2y 10, 2x 5y 8;
知识讲解
三、用矩阵变换的方法解线性方程组的步骤 （1）写出方程组的增广矩阵 （2）对增广矩阵进行行变换，把系数矩阵变为单 位矩阵 （3）写出方程组的解（增广矩阵最后一列）
巩固练习
1.写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
5.单位矩阵：主对角线上元素为1，其余元素为0的方矩阵
6.行、列向量：矩阵的每一行叫做矩阵的行向量，每一列叫 做矩阵的列向量
2阶方阵 A22

1 3
-12
2阶单位矩阵 I 22

1 0
10
行向量
1，- 2 3，1
列向量
13 -12
第九章 矩阵和行列式
步 骤
方程组
x 2y 5 ① 1 3x y 8 ②
（①×（－3）＋②得
2
x 2y 5 ① 7y 7 ③
③÷7得
3
x 2y 5 ①

y

1
④
④×2＋①得
x 3 ⑤
4 y 1 ④
矩阵的列向量
矩形数表
系数矩阵
3113,, 1122,,
Amn aij ，Bmn bij
若aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n
则Amn Bmn
例题讲解 x 4 1 u 例1 已知 A22 6 y , B22 v 3,
且 A22 B22，求 x, y,u,v
x y z 6,
（1）34xx
5y6 3y - 7;
0,
（2）3x y 2z 7, 5x 2y 2z 15.
巩固练习
4 3 -1 5 3.已知线性方程组的增广矩阵为 7 2 1 4
5 - 2 - 3 8
写出对应的线性方程组
2.系数矩阵：由x与y的系数组成的矩阵叫方程组的系数矩阵
3.增广矩阵：由x，y的系数及常数组成的矩阵叫方程组的增 广矩阵
x 2y 5 3x y 8
系数矩阵 A22

1 3
-12
增广矩阵 A23
13
-2 1
85
一、矩阵
知识讲解
4.方矩阵：行数和列数相等的矩阵
10
0 1
-31
②
①
矩阵的变换
增广矩阵最后一列
系数矩阵
单位矩阵 即为方程组的解
知识讲解
解方程组过程中增广矩阵的变化：
（1）将某一行的每个数乘以一个非零数 （2）将某一行的每个数乘以一个非零数再加到另 一行上
（3）变化的最终形式一般是系数矩阵变为单位矩 阵
知识讲解
二、矩阵的变换 （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘（除）以一个非零的数 （3）某一行乘以一个数加到另一行
2行2列矩阵，记作A2×2
55 矩2增阵阶广的方矩行矩阵向阵量 88 2行3列矩阵，
记作A2×3
1 2 5
0 7 7
矩阵
10
2 1
51
矩阵的元素
1 0 3 单位矩阵
9.1 矩阵的概念
一、矩阵
知识讲解
1.矩阵：矩形数表叫做矩阵，矩阵中每个数叫做矩阵的元素
n列矩阵的形式：
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
A aij
叫行做第mj列的n阶元矩素阵，其aiaj(im=11,2,a…m,2m；j=1,2a,…mn,n)叫做矩阵第i
知识讲解
9.同型矩阵：行数和列数相等的两个矩阵 10.相等的矩阵： （1）两个矩阵是同型矩阵 （2）对应位置的元素相等
7

3 4
53
它是 2阶方阵，这个矩阵有 4 个元素；
概念巩固
1 0 1 6
xz60 3、三元一次方程组 3x y 7 0 的增广矩阵为
2y 2z 13 0
3 0
1 2
0 2
7 13
这个矩阵的列向量有
1 0 3 1 0、 2
1

、 02பைடு நூலகம்

6 7 、13
1 0
4、若方矩阵 A22 是单位矩阵，则 A22 = 0
1 ；
概念巩固
2 1 1
5、关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为 4
3
7,
2x y 1
写出对应的方程组 4x 3y 7