第6讲 λ-矩阵及其标准形1 λ-矩阵及其运算 2 λ-矩阵的初等变换 3 λ-矩阵的标准形1 λ-矩阵及其运算 与以数字为元素定义矩 阵一样 , 我们可以定义以多 项式为元素的矩阵 .为讨论方便 , 从本节开始以 λ指代 多项式中的符号 .即以K [λ ]表示数域 K上的多项式环 . 定义6.1 设aij ( λ ) ∈ K [λ ], i = 1, 2,", n, j = 1, 2,", m.称 ⎛ a11 ( λ ) a12 ( λ ) " a1m (λ ) ⎞ ⎟ ⎜ a ( λ )为元素的矩阵 ⎜ a21 ( λ ) a22 ( λ ) " a2 m ( λ ) ⎟ij为数域 K上n × m的λ − 矩阵. 简称为 λ − 矩阵. 用A( λ ), B( λ )等表示. 相应地称仅以数字为元 素的矩阵为 数字矩阵 ,一般用 A, B等表示. 与数字矩阵一样 , λ − 矩阵也有所谓行 , 列, 型等概念 , 可同样地定义加 , 减, 乘, 转置等运算 , 运算法则相同 .# % # ⎟ ⎜ # ⎝ an1 ( λ ) an2 ( λ ) " anm (λ ) ⎠12⎟ λ2 + 1 λ 1 ⎞ ⎜ 例6.1A( λ ) = ⎛ ⎜ λ λ2 λ − 1 ⎟ , B ( λ ) = ⎜ − λ − λ ⎟ ⎠ ⎝ − λ λ ⎝ ⎠ λ + 1 − λ λ − 1 ⎛ ⎞ λ + 1 ⎛ ⎞ C (λ ) = ⎜ A(λ ) B( λ ) = ⎜ λ2 − λ3 λ4 0 λ λ + 1⎟ +λ⎟ ⎝ λ ⎠则 ⎝ ⎠ 2 + + λ λ 2 0 λ ⎛ ⎞ A( λ ) + C ( λ ) = ⎜ 2λ λ2 + λ 2λ ⎟ ⎝ ⎠ 对 n × n的 λ - 矩阵 ( n阶 λ − 矩阵 ) A( λ ) = ( a ij ( λ )) n 也可定义并计算其行列 式, a ij (λ ) n = ∑ ( −1) N ( j1 j2" jn ) a1 j1 (λ )a 2 j2 (λ )" a njn ( λ ). 由定义可知 λ − 矩阵的行列式为多项式 . 因其与 数字行列式有相同的定 义方式 ,因而性质相同 . 同样可定义行列式元素 的余子式和代数余子式 . 以及A(λ )的伴随矩阵 A* ( λ ).⎛ 1λ ⎞⎛λ 1 λ ⎞ ⎛ 2 − λ λ 2 − 1 1 − 2λ ⎞ 2 2 1 ⎟, A* (λ ) = ⎜ − 1 例6.2 A( λ ) = ⎜ λ ⎟. 0 ⎜1 λ 1⎟ ⎜ 2 − − − λ λ λ ⎟ 2 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 对λ - 矩阵的伴随矩阵同样可 验证 A( λ ) A* ( λ ) = A* ( λ ) A( λ ) =| A( λ ) | I 同样由行列式还可以定 义λ − 矩阵的子式 . 进而 我们也可以定义 λ - 矩阵的秩 . 定义6.2 如果λ − 矩阵A( λ )中有一个 s( ≥ 1)阶子式 不为0, 而所有 s + 1阶子式(若存在 )全为0, 则称A( λ ) 的秩为 s, 记做r ( A( λ )) = s.规定 : 0矩阵秩为 0.λ + 1 λ 2λ + 2 2λ + 1 ⎟,容易看出 A( λ )的 例6.3 A(λ ) = ⎜ ⎜ 2 2 2 2 ⎟1 2 四个 3阶子式均为 0, 而存在一个 2阶子式 λ + 1 λ ≠ 0 因此r ( A( λ )) = 2.⎛ 1 ⎝ λ223⎞ ⎠λ2λ2λ2与数字矩阵一样 , 我们也可以定义可逆 λ − 矩阵. 定义6.3 设A(λ )是n阶λ − 矩阵, 如果存在 n阶λ − 矩 阵B(λ ), 使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = I n 则称A(λ ) 是可逆的, 且称B(λ )为A( λ )的逆矩阵 . 显然, 若A( λ )可逆, 则逆矩阵唯一 . 记之为 A−1 ( λ ). 定理6.1 n阶λ - 矩阵A(λ )可逆当且仅当 | A(λ ) | 为 非0常数. 由A( λ )可逆知存在 B( λ )使 A( λ ) B( λ ) = I n 证明 “⇒” 从而 | A( λ ) || B( λ ) |= 1. 这表明 | A( λ ) | 为0次多项式 即 | A( λ ) | 为非零常数 . “⇐”设d =| A( λ ) | 为非零常数 , 那么 1 A* ( λ ) A( λ ) = A( λ )[ 1 A* ( λ )] = 1 | A( λ ) | I = I n n d d d −1 * 因此A(λ )可逆, 且A (λ ) = A (λ ) / | A(λ ) | .注记 由定理 6.1可知, 若A( λ )可逆则 A−1 ( λ ) = A* ( λ ) / | A( λ ) | 例6.4 判断下列 λ - 矩阵是否可逆 , 若可逆求其逆 . +2 λ ⎞ λ2 − λ ⎞ (1) A( λ ) = ⎛ ⎜λλ ⎟ ⎟ ( 2) B ( λ ) = ⎛ ⎜− λ − 2⎠ ⎝ ⎝ λ λ ⎠ 2 解 (1) | A( λ ) |= λ − λ = λ3 − λ2 −λ λ 不为0, 但也不是非零常数 . 因此A( λ )不可逆. ( 2) | B( λ ) |= λ + 2 λ = −4 λ λ−2 B( λ )可逆. 此时 1 λ −2 −λ ⎞ B −1 ( λ ) = B* ( λ ) / | B( λ ) |= − ⎛ ⎜ ⎟ 4 ⎝ − λ λ + 2⎠3λ − 矩阵也可以写成矩阵多 项式的形式 . 设 A( λ ) = ( a ij ( λ )) n× m 的元素的最高次为 k ,由数字 矩阵的加法和数乘运算 , A(λ )可表示成 (6.1) A( λ ) = λk Ak + λk −1 Ak −1 + " + λA1 + A0 其中Al , l = 0,1,", k , 为n × m数字矩阵 , 其( i , j )位置的 元素为多项式 aij ( λ )的l次系数. 显然Ak ≠ 0.称k为A(λ ) 的次数 , 称表达式(6.1)为A( λ )的自然表示⎛ λ3 − λ λ2 + 1 3λ2 + λ ⎞ 例6.5 λ − 矩阵 A( λ ) = ⎜ 1 λ3 − 2 5λ2 + 1 ⎟ 的次数 ⎜ λ2 −1 0 ⎟ ⎠ 为 3, 其自然表示为 ⎝⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 1 3⎞ ⎛ − 1 0 1⎞ ⎛ 0 1 0⎞ A( λ ) = λ3 ⎜ 0 1 0 ⎟ + λ2 ⎜ 0 0 5 ⎟ + λ ⎜ 0 0 0 ⎟ + ⎜ 1 − 2 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 − 1 0⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠λ − 矩阵表示称自然表示后 , 其加减乘等运算就可通过多项式的相关运算实 现, 此时 , 多项式系数是数字 矩阵, 其系数的加减乘运算要 遵循数字矩阵运算规律 特别,由于矩阵乘法不满足消 去律 , 交换律 λ - 矩阵相 乘(矩阵多项式相乘 )不满足次数定理与交换 律. 0⎟ 1 2⎟ ⎞ + λ⎛ ⎞+⎛ ⎜− ⎜ 1 1⎞ ⎟ ⎜1 例6.6 A( λ ) = λ3 ⎛ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ 0⎟ ⎞+⎛ ⎞ B ( λ ) = λ2 ⎛ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜0 ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ − 1 − 2⎠ A( λ ), B( λ )的次数分别为 3和2, 它们的乘积 4⎟ − 1 − 2⎟ 2 1⎟ ⎞ + λ2 ⎛ ⎞ + λ⎛ ⎞ A( λ ) B( λ ) = λ3 ⎛ ⎜0 ⎜− ⎜5 0 0 0 ⎝ ⎝ 1 − 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 可见A( λ ) B( λ )的次数为 3.42 λ-矩阵的初等变换与初等矩阵 类似与数字矩阵 , 对 λ - 矩阵也可定义初等变换 定义6.4 对 λ - 矩阵进行的如下三种变 换： (1)对调两行(列) ( 2)用不为0的常数乘某行 (列)的所有元素 ( 3)用某行(列)所有元素的 ϕ ( λ )倍加到另一行 (列) 的对应元素上 , 其中ϕ ( λ )是一个多项式 . 统称为 λ - 矩阵的初等变换 . 其中与行(列)有关的变 换被称为初等行 (列)变换 . 对初等变换的记法也与 数字矩阵类似 . ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) 对调i , j两行(列) ri × k ( ci × k ) 非零常数 k乘第i行(列) rj + ϕ ( λ )ri 第i行(列)的ϕ ( λ )倍加到第 j行(列) c j + ϕ ( λ )c i定义6.5 称单位矩阵经过一次初 等变换所得到的 矩阵为初等矩阵 . 与数字矩阵一样 , 三种初等变换对应三种 初等矩阵 分别记做 I ( i , j ), I ( i ( k )), I ( i , j (ϕ ( λ ))), 其中 I ( i , j ), I ( i ( k )) 与数字矩阵的对应初等 矩阵相同 i列 j列 而 ⎛1 ⎞⎜ ⎜ I ( i , j (ϕ ( λ ))) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ % ⎟ ⎟ ← 第i行 1 " ϕ (λ ) ⎟ % ⎟ 1 ⎟ ← 第j行 % ⎟ 1⎟ ⎠由 I 经初等行(列)变换ri + ϕ (λ )rj (c j + ϕ (λ )ci )得到. 显然初等矩阵可逆 , 且 I −1 ( i , j ) = I ( i , j ), I −1 ( i ( k )) = I ( i ( k −1 )), I −1 ( i , j (ϕ ( λ ))) = I ( i , j ( −ϕ ( λ ))).5定义6.6 若 λ − 矩阵 A( λ )经过有限次初等变换变 成 B( λ ), 则称A( λ )与B( λ )等价, 记做A( λ ) → B( λ ). λ − 矩阵的等价关系仍满足 (1)反身性 ( 2)对称性 ( 3)传递性 与数字矩阵一样 , 下面结论成立 , 证明类似 , 此略 . 定理6.2 对m × n的λ − 矩阵A( λ )做一次初等行 (列)变 换相当于在 A( λ )的左(右)边乘上相应的 m( n)阶的初 等矩阵. 定理6.3 m × n矩阵 A( λ )与 B ( λ )等价当且仅当 存在 m阶初等矩阵 P1 ( λ ),", Ps ( λ )及n阶初等矩阵 Q1 ( λ ), ", Ql ( λ )使得A(λ ) = P1 (λ )"Ps (λ ) B(λ )Q1 (λ )"Ql (λ ). 定理6.4 若λ − 矩阵A( λ ), B( λ )等价, 那么 r ( A( λ )) = r ( B( λ )).3 λ-矩阵的标准形 对于 λ − 矩阵在初等变换下的标 准形 , 我们有 定理6.5 设A( λ )是m × n的λ - 矩阵, 且r ( A( λ )) = r > 0, 则A( λ )等价于具有如下形式 的λ − 矩阵： ⎛ Dr ( λ ) 0 ⎞ ( 6.2) ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 其中Dr (λ ) = diag(d1 (λ ), d2 (λ ),", dr (λ )), 而d1 (λ ),", d r ( λ )是首项系数为 1的多项式且 d i ( λ ) | d i +1 ( λ ) i = 1,2,", r - 1. 注记 称形如( 6.2)的λ - 矩阵为A( λ )的Smith标准形 . 引理6.1 如果λ - 矩阵A( λ )的左上角元素 a11 ( λ ) ≠ 0 且A( λ )中至少有一个元素不能 被它整除 , 则可找到 一个与 A( λ )等价的矩阵 B( λ )使得它左上角元素也 不为0, 但次数比 a11 ( λ )低.6证明 : 根据 A( λ )中不能被 a11 ( λ )整除的元素所在位 置 , 分三种情况讨论 . (1)第1行有元素 a1 j ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 由带余除法 a1 j ( λ ) = q( λ )a11 ( λ ) + r ( λ ) 其中 deg( r ( λ )) < deg(a11 ( λ )). 此时对 A( λ )先后做初等 列变换 c j − q( λ )c1 和c j ↔ c1后, 左上角元素变为 r (λ ). 记此λ - 矩阵为 B(λ ). 显然B(λ )即为引理所求 . ( 2)第1列有元素 a j 1 ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 与(1)类似可 证引理成立 . ( 3)第1行与第1列的所有元素都能被 a11 ( λ )整除 , 但存 在aij ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 此时存在 p(λ )使得 a i 1 (λ ) = p(λ )a11 (λ ). 对A( λ )先后做初等变换 ri − p( λ )r1以及r1 + ri 得⎛ a11 ( λ ) ⎜ A( λ ) = ⎜ # ai 1 ( λ ) ⎜ ⎜ " ⎝a11 ( λ ) | (1 − p( λ ))a1 j ( λ ) + aij ( λ ) 此时 转化为情形 (1). 因此引理成立 . 下面证明定理 6.5. 证明 : 因r ( A( λ )) > 0, 经过行列变换后存在 A( λ )等价 矩阵B( λ )使其左上角元素 b11 ( λ ) ≠ 0. 注意到若 b11 ( λ ) 不能整除 B( λ )所有元素,由引理6.1存在与A(λ )等价的⎛ a11 ( λ ) ⎜ ri − p( λ )r1⎜ # 0 r1 + ri ⎜ ⎜ " ⎝" a1 j ( λ ) % # " aij ( λ ) " "" (1 − p(λ ))a1 j ( λ ) + aij ( λ ) % # " aij ( λ ) − p( λ )a1 j ( λ ) " ""⎞ ⎟ # ⎟ "⎟ "⎟ ⎠"⎞ ⎟ # ⎟ = B( λ ) "⎟ ⎟ "⎠7B1 ( λ )使其左上角元素 b1 ( λ ) ≠ 0且 deg(b1 ( λ )) < deg(b11 ( λ )). 若b1 ( λ )也不能整除 B1 ( λ )所有元素, 则又由引理 6.1 存在与 A( λ )等价的 B2 ( λ )使其左上角元素 b2 ( λ ) ≠ 0 且 deg(b2 ( λ )) < deg(b1 ( λ )). 再次检验 b2 (λ )是否能整除 B2 (λ )中所有元素 ,若不能 则再次使用引理 6.1. 如此反复多次 , 由于 b11 ( λ )的 次数有限, 必然在若干次后 , 能找到与 A( λ )等价的矩 阵Bs ( λ )使其左上角元素 bs ( λ ) ≠ 0 且能整除 Bs ( λ )所 有元素. 故不妨设 b11 ( λ )能整除 B( λ )所有元素 bij ( λ ). 即存在 qij ( λ )使得bij ( λ ) = qij ( λ )b11 ( λ ). 对B( λ )做初等列变换 c j − q1 j c1 , j = 2,3,", n , 初等 行变换 ri − qi 1 ( λ ) r1 , i = 2,3,", n 以及r1 × c ( c为b11 ( λ ) 首项系数的倒数 )得由于子块 A1 ( λ )中所有元素都是 B( λ )中元素的组合 , d1 ( λ )首项系数为1且整除A1 ( λ )中所有元素. 若A1 ( λ ) = 0, 则C ( λ )即为定理所求形式 , 否则对 A1 ( λ )重复以上 过程可得0 ⎞ ⎛ d1 ( λ ) 0 A( λ ) → ⎜ 0 d2 ( λ ) 0 ⎟, ⎟ ⎜ 0 A2 ( λ ) ⎠ ⎝ 0d (λ ) 0 ⎞ A(λ ) → B( λ ) → ⎛ ⎜ 1 0 A (λ ) ⎟ = C (λ ). ⎝ ⎠ 1其中d1 ( λ ), d 2 ( λ )首项系数为1,且d2 ( λ ) 整除A2 (λ )所 有元素. 此外注意到 d 2 (λ )为A1 ( λ )中元素的组合 , 故 d 1 (λ ) | d 2 (λ ). 如此继续下去 ,由于A(λ )只有有限行 , 若干步后必然 得到定理所求形式 .8例6.7 用初等变换法化如下 λ - 矩阵为 Smith标准形. ⎛ λ2 + λ − 1 − λ 2 λ2 + 1 ⎞ −λ A( λ ) = ⎜ λ2 λ ⎟ ⎜ 2λ − 1 λ 1− λ ⎟ ⎝ ⎠ 解 2 2 2 2 1 − 1⎞ ⎛ c3 ↔ c1 ⎜ − λ λ + λ c + c ⎛ λ + λ − 1 − λ 1⎞ ⎟ A( λ ) 3 2 ⎜ λ2 0 −λ λ2 − λ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2λ − 1 2λ − 1 ⎟ λ 1⎠ ⎝1 λ ⎠ ⎝ 2 c2 + λ c1 1 0 0 ⎞ ⎛ c3 − ( λ2 + λ − 1)c1⎜ 0 − λ λ2 ⎟ ⎟ ⎜ 2 3 r3 − r1 ⎝0 λ + λ − λ + λ ⎠ 0 ⎞ ⎛1 0 c3 + λ c2 ⎜0 − λ 0 ⎟ r3 + ( λ + 1)r2 ⎜ 0 0 λ2 + λ ⎟ ⎠ ⎝由定理 6.5可得 定理6.6 λ − 矩阵A( λ )可逆当且仅当 A(λ )的Smith 标 准形为单位矩阵 I . 证明 " ⇒" 记A( λ )标准形为 S ( λ ). 由定理 6.5可知 A( λ ) = P1 ( λ )" Ps ( λ ) S ( λ )Q1 ( λ )"Qt ( λ ) (1) 注意到 A( λ )及Pi ( λ ), Q j ( λ )的行列式均为非 0常数. 由(1)可知 | S ( λ ) | 也是非零常数 . 这表明 S ( λ )对角 线上没有 0元素且 所有d i ( λ ) = 1 即S ( λ ) = I . " ⇐" 由(1)可知 | A( λ ) | 为非零常数 , 从而A( λ )可逆. 推论1 λ − 矩阵A( λ )可逆当且仅当 A( λ )可表示成 初等矩阵的乘积 . 推论2 m × n的λ − 矩阵A(λ ), B(λ )等价当且仅当存 在m 阶可逆 λ - 矩阵P ( λ )以及n阶可逆 λ - 矩阵Q(λ ) 使得A( λ ) = P ( λ ) B( λ )Q ( λ ).9课后练习 ⎛ λ 2λ + 1 1 ⎞ 1.求A( λ ) = ⎜ 1 λ + 1 λ2 + 1 ⎟的秩 ⎜λ −1 λ − λ2 ⎟ ⎠ ⎝ λ 1 0 ⎛ ⎞ 2.求A( λ ) = ⎜ 2 λ 1 ⎟的逆矩阵 ⎜ λ2 + 1 2 λ2 + 1 ⎟ ⎠ ⎝ 3.用初等变换化下列矩阵 为Smith标准形 ⎛ 1 − λ λ2 λ ⎞ 0 ⎞ ⎛1 − λ 0 (1) A( λ ) = ⎜ λ λ − λ ⎟ ( 2) B ( λ ) = ⎜ 0 λ 0 ⎟ ⎜ 0 0 λ − λ2 ⎟ ⎜ 1 + λ 2 λ 2 − λ2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 4.若λ − 矩阵A(λ )可逆, 试证明 ( A(λ ), I ) → ( I , A−1 (λ )).10第7讲 不变因子与初等因子1 行列式因子 2 不变因子 3 初等因子1 行列式因子 本讲我们主要解决 Smith 标准形的唯一性 , 探讨 λ − 矩阵等价下的不变量以 及得到 Smith标准形的 其它方法 . 定义7.1设λ − 矩阵A( λ )的秩为 r , k为整数且1 ≤ k ≤ r , A( λ )中必有非零的 k阶子式. 称A( λ )的全部 k阶子式 的首项为1的最大公因式为A( λ )的k阶行列式因子, 一般记做 Dk ( λ ). 注记(1)由定义可知 Di ( λ ) | Di +1 ( λ ), i = 1, 2,", r − 1 ( 2) A( λ )与A( λ )的转置有相同的各阶行 列式因子. ⎛ 1 + λ2 2λ2 − λ2 ⎞ 例7.1求A( λ ) = ⎜ λ 2λ − λ ⎟的各阶行列式因子 . ⎜ 1 − λ 2λ2 λ ⎟ ⎠ ⎝ 解 由 | A( λ ) |= 2λ2 (1 + λ ) 因此D3 ( λ ) = λ2 (1 + λ )12 2 A( λ )有个 2阶子式 1 + λ 2λ = 2λ , 因此D2 ( λ ) | λ . λ 2λ 又因为 λ 整除 A( λ )第 2, 3两列所有元素 , 因此λ整除 A( λ )所有二阶子式 , 进而 D2 ( λ ) = λ . 注意到 A(λ )两个1阶子式 λ 及1 − λ , 互素, D1 ( λ ) = 1. A (λ ) 0 ⎞ 例7.2 求A( λ ) = ⎛ ⎜ r0 0 ⎟的各阶行列式因子 , 其中 ⎠ ⎝解 对任意0 < k ≤ r , 注意到 A( λ )不为0的k阶子式只 能包含Ar中k行和k列, 而且行标和列标要完全 相同. 令i1 , i2 ,", ik 表示从1, 2,", r中任意取出的 k个不同⎛ d1 ( λ ) 0 ⎜ Ar = ⎜ 0 d2 ( λ ) # ⎜ # 0 ⎝ 0" 0 ⎞ " 0 ⎟. ⎟ % # ⎟ " dr (λ ) ⎠的数并按增序排列 , 以Di1i2"ik 表示由第 i1 , i2 ,", ik 行和第 i1 , i2 ,", ik 列交叉位置元素构成的 k阶子式, Di1i2"ik = d i1 ( λ )d i2 ( λ )"d ik ( λ ) 那么 从而A( λ )的k阶行列式因子 Dk ( λ )就是 C rk 个形如 d i1 ( λ )d i2 ( λ )" d ik ( λ )多项式的首系数为 1的最大 公因式. 设d i (λ )有不可约分解式 ri 1 ri 2 d i (λ ) = a i p1 ( λ ) p2 (λ )" psris (λ ), i = 1,", r , 那么 r + r +"+ rik 1 d i1 ( λ )d i2 ( λ )"d ik ( λ ) = c[ p1 ( λ )] i1 1 i2 1 ri1 2 + ri2 2 +"+ rik 2 × [ p2 ( λ )] "[ ps (λ )]ri1s + ri2 s +"+ rik s , 其中 c = a i1 a i2 " a ik 为非零常数 . tkj = min ( ri1 j + ri2 j + " + rik j ) (7.1) 令则tk 1 tk 2 tks Dk ( λ ) = p1 ( λ ) p2 ( λ )" ps (λ )i1 , i2 ,", ik(7.2)2特别, 若d1 ( λ ), d 2 ( λ ),", dr ( λ )首系数为1, 且 di ( λ ) | d i +1 ( λ ), i = 1,2,", r − 1 即A( λ )为Smith标准形, 那么 Dk ( λ ) = d1 ( λ )d 2 ( λ )"dk ( λ ). 例7.3 求A( λ ) = ⎜0 ⎛ (1 + λ ) λ ⎜ 0 λ2 (1 + λ ) ⎜ 0 0 ⎝2(7.3)解 由(7.1)及(7.2)可知 D1 ( λ ) = 1, D2 ( λ ) = λ (1 + λ ), D3 ( λ ) = λ3 (1 + λ ) 3 . 定理7.1 等价的 λ - 矩阵具有相同的各阶行 列式因子 证明 只需要证明对任意 λ - 矩阵A( λ )经过一次初等 变换后行列式因子不变 . 又因为转置后行列式因 子 不变. 因此我们只讨论一次初 等行变换的情形 .0⎞ ⎟ 0 ⎟的各阶行列式因子 . 1⎟ ⎠设A( λ )经过一次初等行变换变 成B( λ ), 分别记其 k阶 行列式因子为 f ( λ ), g ( λ ). (1) A( λ ) ri ↔ r j B( λ ). 此时B( λ )的每个 k阶子式或者等 于A( λ )的某个 k阶子式, 或者与之反号 . 因此f ( λ )整除 B( λ )的每个k阶子式 从而f ( λ ) | g ( λ ). (2) A( λ ) ri × cB( λ ). 此时B( λ )的每个 k阶子式或者等 于A( λ )的某个 k阶子式, 或者为之 c倍. 因此f ( λ )整除 B( λ )的每个k阶子式 从而f ( λ ) | g ( λ ). (3) A( λ ) ri + ϕ ( λ ) rj B( λ ). 此时B( λ )中同时含 i , j两行, 或不含第 i行的k阶子式 等于A( λ )中相应 k阶子式. 而 B( λ )中只含第 i行不含第 j行的k阶子式, 按i行分成两 部分 , 等于 A( λ )中对应 k阶子式及另一个 k阶子式的3± ϕ ( λ )倍. 因此f ( λ )整除B( λ )的每个k阶子式 从而 f ( λ ) | g ( λ ). 又因初等行变换可逆 , 且其逆变换仍为初等行 变换 同样方法可证 g ( λ ) | f ( λ ). 因它们首系数均为1, 故 g ( λ ) = f ( λ ). 定理7.2 λ − 矩阵的Smith标准形唯一. 证明 设S1 ( λ ), S2 ( λ )是A( λ )的两个 Smith标准形.因为 它们均与 A( λ )等价 , 故 S1 ( λ )与 S 2 ( λ )等价 , 进而有相 同的秩, 记做r , 及相同的 k阶行列式因子 Dk ( λ ). 分设 S1 ( λ ), S2 ( λ )左上角元素依次为 d11 ( λ ), d12 ( λ ),", d1r ( λ )；d21 ( λ ), d22 ( λ ),", d2 r ( λ ).由(7.3)可知Dk ( λ ) = ∏ d1i ( λ ) = ∏ d 2i ( λ ), k = 1,", r .因此d1i ( λ ) = d 2 i ( λ ), i = 1,", r . 即S1 ( λ ) = S2 ( λ ).i =1 i =1kk2 不变因子 定义7.2 秩为 r的λ − 矩阵 A( λ )的Smith标准形主对 角线上非零元素 d1 ( λ ), d 2 ( λ ), " , d r ( λ )称为 A( λ )的 不变因子. 由(7.3)可知A( λ )不变因子与行列式因子 关系如下 k Dk ( λ ) = ∏ d i ( λ ) 或 d k (λ ) Dk −1 ( λ ) = Dk (λ ) (7.4)其中k = 1, 2,", r; D0规定为1. 定理7.3 λ - 矩阵等价的充要条件是 它们有相同的 行列式因子和 /或不变因子 证明 " ⇒" 由定理7.1及7.2可得. " ⇐"由(7.4)可知, 有相同行列式因子和 /或不变因子 的λ - 矩阵, 有相同的 Smith标准形.由等价的传递性 可知, 它们等价 .i =14公式(7.4)为我们提供了不用初等 变换而得到 Smith 标准形的方法 . 例7.4求下列矩阵的 Smith标准形 0 ⎞ ⎛λ − c 1 0 0 ⎜ 0 λ −c % 0 0 ⎟ (1) A(λ ) = ⎜ # # % % # ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 " λ c 1 − ⎜ 0 0 " 0 λ − c⎟ ⎠n ⎝⎞ ⎛ A2 (λ ) I2 ⎟ 其中 ⎜ A2 (λ ) % ⎟ ⎜ (2)B(λ ) = ⎜ % % −a ⎟ A (λ ) = ⎛ ⎜ λ− 2 A ( λ ) I ⎜ ⎝ b 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ A ( λ ) ⎠ 2n ⎝ 2λ − a⎟ ⎠b ⎞解 (1)显然 | A( λ ) |= ( x − c )n且容易观察到 A( λ )有一个 n − 1阶子式 = 1. 因此Dn ( λ ) = ( λ − c )n , Dn−1 ( λ ) = 1 因此D1 ( λ ) = D2 ( λ ) = " = Dn−1 ( λ ) = 1. 从而d1 ( λ ) = " = dn−1 ( λ ) = 1, dn ( λ ) = ( λ − c )n . A( λ )的标准形为⎛1 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ n⎟ (λ − c ) ⎠ n ⎝( 2)令p( x ) = ( x − a ) 2 + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2 . 容易看出 | B( λ ) |= p n ( x ) 为得到 D2 n−1 ( λ ) 考察B( λ )的两个 2n − 1阶子式 λ −a 1 0 "" b 1 0 "" λ −a 0 1 "" −b 0 1 "" T2n−1 = 0 λ − a b " ",T2n−1 = 0 λ − a b " " 0 −b λ −a "" 0 −b λ −a "" " " " "" " " " ""5T2n−1 = −(λ − a)T2n−3 + bT2n−3 , T2n−1 = −bT2n−3 − (λ − a)T2n−3 . 由T3 = −2b( λ − a ), T3 = b 2 − ( x − a ) 2 = − p( x ) + 2b 2 . 及数学归纳法可知 , T2n−1与T2 n−1与p( x )做带余除法 必有一个余式为非零常 数, 另一个为 ( λ − a )的非零 常数倍.由辗转相除法 p( λ )与T2 n−1互素, 从而 ( p( λ ), D2 n−1 ( λ )) = 1. 另一方面 由D2 n−1 ( λ ) | D2 n ( λ )可知, D2 n−1 ( λ ) | p n ( λ ) 因此1 = D2 n−1 ( λ ) = " = D2 ( λ ) = D1 ( λ ). 从而d1 ( λ ) = " = d2 n−1 ( λ ) = 1, d2 n ( λ ) = p n ( x ).行列式展开可得B( λ )的标准形为⎛1 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 2 n⎟ (λ − 2aλ + a + b ) ⎠ 2n ⎝3 初等因子 定义7.3 把λ − 矩阵A( λ )的所有次数 ≥ 1的不变因子 在数域 K上分解成标准分解式 . 其中所有不可约多 项式的 方幂 (不论是否重复 )称为 A( λ )在数域 K 上 的初等因子. 注记 初等因子与数域有关 . 例7.5 分别在复 /实数域写出矩阵 A( λ )的初等因子.⎛1 ⎞ ⎜ λ ⎟ ⎟ A(λ ) = ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ⎜ ⎟ ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ( λ2 + 1) 2 ⎟ ⎝ ⎠解 在实数域上初等因子为 λ λ2 ( λ − 1)2 λ2 ( λ − 1)2 ( λ2 + 1)2 在复数域上初等因子为 λ λ2 ( λ − 1)2 λ2 ( λ − 1)2 ( λ − i ) 2 ( λ + i ) 26不变因子可唯一地确定 初等因子, 反之一般不真 . 比如例7.5中的初等因子可能对应 不同的标准形 :⎛λ ⎞ ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ⎟ ⎟ A(λ ) = ⎜ 2 2 2 2 λ ( λ − 1) (λ + 1) ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠定理7.4 不变因子由初等因子与 秩唯一确定. 证明 设秩为r .此时不变因子含 r个多项式 . 由定义 初等因式中同一个不可 约因式及其方幂至多出 现 k r次. 设初等因子为 p j ij ( λ ), 其中p j ( λ )不可约, kij ≥ 0 i = 1, 2,", n j , j = 1, 2,", s, n j 为不超过 r的正整数 . 将kij , i = 1, 2,", n j 按从小到大次序排列 , 若n j < r 则在前面补充 r − n j 个0. 记该排列得到的数列为 t1 j ≤ t2 j ≤ t3 j ≤ " ≤ trj j = 1,2,", st t tis ( λ ) i = 1,2,", r . 令 di ( λ ) = p1i 1 ( λ ) p2i 2 ( λ )" ps 容易验证 d i ( λ ), i = 1, 2,", r构成不变因子而且由其 导出的初等因子 与假设相同. 下设d i ( λ ), i = 1, 2,", r , 也是一组不变因子并导 出 相同的初等因子 . 此时由不变因子性质 t p jrj ( λ ) | dr ( λ ). tr 1 trs 因此dr ( λ ) = p1 ( λ ) " ps ( λ ) = dr ( λ ).若存在 i使得 当i < l ≤ r时d l ( λ ) = d l ( λ ) 但d i ( λ ) ≠ d i ( λ ). 设d i ( λ ) ti 1 ti 2 tis 的标准分解式为 di ( λ ) = p1 ( λ ) p2 ( λ )" ps (λ ) 由于d i ( λ ) | d i +1 ( λ )( = d i +1 ( λ )) 因此 tij ≤ ti +1, j , j = 1,2,", s 而d i ( λ ) ≠ d i ( λ )意味着 存在某个 tij ≠ tij . 若tij > tij t 则由d i ( λ )导出的初等因子中 新出现了 p jij ( λ )或者7p jij ( λ )多出现一次 . 若tij < tij , 则在d i ( λ )导出的初等 t 因子中或者 p jij ( λ )没有出现或者少出现一 次.这都 与假设初等因子相同矛 盾,因此 di ( λ ) = di ( λ ), i = 1,2," r . 注记 定理7.4的证明给出了由初等因 子与秩构造不 变因子以及 Smith标准形的方法 . 由定理7.4立即可得 定理7.5 两个同型 λ - 矩阵等价当且仅当它们 有相 同的初等因子与秩 . 下面的定理说明如何从 对角矩阵 (未必标准形 ) 获得初等因子 . 其证明由(7.1), (7.2)容易得到. A (λ ) 0 ⎞ 定理7.6 设数域K上m × n矩阵A( λ ) = ⎛ ⎜ r0 0 ⎟其中 ⎠ ⎝t且d i (λ )首系数为1且有不可约分解式 ki 1 d i (λ ) = p1 ( x )" pskis ( x ), i = 1," , r k 则所有 p j ij ( x ), kij > 0, i = 1,", r; j = 1,", s 构成A( λ )的初等因子 . ⎛ A1 (λ ) ⎞⎛ d1 ( λ ) 0 ⎜ Ar = ⎜ 0 d2 ( λ ) # ⎜ # 0 ⎝ 0" 0 ⎞ " 0 ⎟. ⎟ % # ⎟ " dr (λ ) ⎠推论 若A(λ )为分块对角矩阵 ⎜ ⎜⎜ ⎝⎜A2 (λ )则A1 (λ ), A2 (λ )," , As (λ )初等因子全部合起来就 是 A(λ )的初等因子 . 证明 将A1 (λ )," , As ( λ )化成对角形 ,由定理 7.6即得.⎟ ⎟ % ⎟ As (λ ) ⎟ ⎠8例7.6 求实系数矩阵 ⎛ λ − 1 λ2 0 ⎜ A( λ ) = ⎜ 2λ λ − 1 02 0 0 λ⎜ 0 ⎝ 0的全部初等因子及标准 形. 1 0 1 λ2 ⎟ ⎞→⎛ ⎞ 解 因为 ⎛ ⎟ ⎜ λ2− ⎜ 2 ⎝ λ λ − 1 ⎠ ⎝ 0 ( 2λ − 1)(λ + 1) ⎠ A( λ )的所有初等因子为 2λ − 1, λ2 + 1, λ2 , λ2 + 1, λ2 因此标准形为⎛1 ⎜0 S (λ ) = ⎜ 0 ⎜ ⎝00 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 2 2⎟ 0 ( λ + 1)λ ⎠0 0 0 ⎞ ⎟ 1 0 0 2 2 ⎟. 0 λ ( λ + 1) 0 2 2⎟ 0 0 ( 2λ − 1)(λ + 1)λ ⎠课后练习1求下列矩阵的行列式因 子, 不变因子与标准形 0 ⎞ 0 1 λ +2 ⎞ ⎛λ −1 0 ⎛ 0 ⎜0 λ −1 0 ⎟ ⎜ 0 1 λ +2 0 ⎟ (1)⎜ (2)⎜ 0 0 λ −1 ⎟ 1 λ +2 0 0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎝ 5 4 3 λ + 2⎠ ⎝λ + 2 0 ⎠ 2 2 2 ⎛ λ + 2 λ + 1 λ + 1⎞ 2分别在复 /实数域上求 矩阵⎜ 3 λ2 + 1 3 ⎟ ⎜ λ 2 + 1 λ2 + 1 λ 2 + 1 ⎟ 的初等因子与标准形 . ⎝ ⎠3* 试证明定理 7.69第8讲 数字矩阵相似条件及其约当标准形1 特征矩阵与相似条件 2 复约当标准形 3 实约当标准形1 数字矩阵相似条件 本讲我们主要解决如何 判断数字相似 , 探讨数 字矩阵在复数域与实数 域上相似矩阵的标准形 态. 定义8.1 设A为n阶数字矩阵 , 称λ - 矩阵λI − A为A A的特征矩阵 . 注记 数字矩阵 A的特征矩阵总是满秩的 . 引理8.1 设 A, B是数域 K上的 n阶数字矩阵 , 若存在 n阶数字矩阵 P , Q使得 λI − A = P ( λI − B )Q , 那么 A与B相似. 证明 由λI − A = P ( λI − B )Q = λPQ − PBQ可知 PQ = I . −1 进而 A = Q −1 BQ 即A, B相似. Q = P 从而Q可逆且 引理8.2 对于数域 K上的任何不为零的 n阶数字矩1阵A及n阶λ − 矩阵U ( λ ),V ( λ ), 一定存在 n阶λ − 矩阵 T ( λ )与S ( λ )及n阶数字矩阵 U 0 ,V0使得 U ( λ ) = ( λI − A)T ( λ ) + U 0 ; V ( λ ) = S ( λ )(λI − A) + V0 . 证明 把U ( λ )写成自然表示 U ( λ ) = Dm λm + Dm −1λm −1 + " + D1λ + D0 其中Dm ,", D0为n阶数字矩阵且 Dm ≠ 0. 若m = 0, 则令T ( λ ) = 0, U 0 = D0 此时引理显然成立 . 若m > 0, 设 T ( λ ) = Qm −1λm −1 + " + Q1λ + Q0 . 令 Qm −1 = Dm Qk −1 = Dk + AQk k = 1,2,", m − 1 U 0 = D0 + AQ0 容易验证此时 T ( λ ), U 0即满足定理所求 . 类似可以证明另一个等 式.定理8.1 设 A, B是数域 K上的 n阶数字矩阵 , A, B相似 的充要条件是特征矩阵 λI − A, λI − B等价. 证明 “⇒” 由A, B相似可知存在可逆矩阵 P使得 P −1 AP = B − 1 从而 P ( λI − A) P = λP −1 P − P −1 AP = λI − B. 所以 λI − A, λI − B等价. “⇐” λI − A, λI − B等价可得可逆 λ - 矩阵U (λ ),V (λ ) 使得 λI − A = U (λ )(λI − B )V (λ ) 由引理 8.2得 U −1 ( λ )(λI − A) = ( λI − B )V ( λ ) = ( λI − B )[ S ( λ )(λI − A) + V0 ] −1 因此 [U ( λ ) − ( λI − B ) S ( λ )](λI − A) = ( λI − B )V0 比较两边次数知 U −1 ( λ ) − ( λI − B ) S ( λ )为数字矩阵 记其为 P , 则 P ( λI − A) = ( λI − B )V0且2I = U ( λ ) U −1 ( λ ) = )(B λI −( λ B) )S λ ) + U (λ ) P −U ( λ(Iλ− )S =(P −1 −1 =U ( λ(Iλ− )(A λI )V −B () λ V)( S λ () λ V )+ ( (λI) S −(A λ )Q (λ ) P + U 0 P = ( λI − A)[Q ( λ ) P + V −1 ( λ ) S ( λ )] + U 0 P 比较两边次数可知 Q ( λ ) P + V −1 ( λ ) S ( λ ) = 0. 从而由 I = U 0 P可知P可逆, 进而 λI − A = P −1 ( λI − B )V0 . 由引理 8.1可知A, B相似. 定义8.2 设A为n阶数字矩阵 , 称A的特征矩阵 λI − A 的行列式因子 , 不变因子, 初等因子为 A的行列式因 子, 不变因子与初等因子 . 注记 对n阶数字矩阵 A, 其n阶行列式因子 Dn ( λ )为n 次多项式 . 若记A的初等因子为 pi ( λ ), i = 1, 2,", s, 则 deg( p1 (λ )) + deg( p2 (λ )) + " + deg( ps (λ )) = n. ( 8.1)由定理 8.1 定理7.3以及定理 7.5可得 定理8.2 设A, B为数域 K上n阶数字矩阵 , A, B相似的 充要条件是 A, B有相同的初等因子 , 或相同的不变 因子, 或相同的行列式因子 . 例8.1 判断下列矩阵是否相似 .⎛2 0 ⎛ 3 0 8 ⎞ ⎛ − 1 1 0⎞ 0 1 3 −1 6 ⎟ C = ⎜ A = ⎜ − 4 3 0⎟ B = ⎜ ⎜1 0 ⎜ − 2 0 − 5⎟ ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛λ +1 −1 4 λ−3 解 观察A的特征矩阵 λI − A = ⎜ ⎜⎝ −1 00⎞ 1⎟ 1⎟ ⎠容易知道 A的三个行列式因子为 D3 ( λ ) = ( λ − 2)(λ − 1) 2 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 同样容易观察到 C的三个行列式因子为 D3 ( λ ) = ( λ − 2)(λ − 1) 2 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1.0 ⎞ 0 ⎟ λ − 2⎟ ⎠3观察矩阵 B的特征矩阵⎛λ − 3 0 λI − B = ⎜ 3 λ + 1 ⎜ −2 ⎝ 0可知B的3阶行列式因子为 ( λ + 1) 3 . 因为A, C各阶行列式因子相同, 而与B至少3阶行列 式因子不同,因此A, C相似, 而A与B, B与C均不相似 . 2 复约当标准形 ⎞ ⎛c 1 ⎟ ⎜ 的ri阶矩阵 r 为ri阶约当块,称由若干约当块构成的 分块对角矩⎜ ⎜ ⎝8 ⎞ 6 ⎟ λ + 5⎟ ⎠回顾 设 c为任意复数 ,称形如 ⎜⎜c 1 ⎟ % % ⎟ c 1⎟ c⎟ ⎠ iJ=⎛ J1 ⎞ ⎜ J ⎟ 2 ⎜ ⎟ % ⎟ 为约当矩阵 . ⎜ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠由例7.4(1)可知, 对任意复数 λi , 约当块Ji =的不变因子为 d1 ( λ ) = " = d ri −1 ( λ ) = 1, d ri ( λ ) = ( λ − λi )ri 从而J i的初等因子为 ( λ − λi )ri . 反之 , 给定初等因子 ( λ − λi ) ri 则只能找到唯一的约当 块J i与之对应 . 进一步, 对约当矩阵 J⎛ J1 ⎞ ⎟ ⎜ J2 ⎟ =⎜ % ⎟ ⎜ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠⎞ ⎛ λi 1 ⎟ ⎜ λ 1 i ⎟ ⎜ %% ⎟ ⎜ λi 1 ⎟ ⎜ ⎜ λi ⎟ ⎠ri ⎝由定理7.6推论可知 J的初等因子为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs4反之, 给定初等因子 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs (1) ri 由于对每个 ( λ − λi ) 只有唯一的约当块与之 对应, 除去对角线上约当块的 次序外, 只有唯一的阶为 r1 + r2 + " + rs 约当矩阵 J 使其初等因子具有给定 (1)形式 . 定理8.3 复数域上每个 n阶数字矩阵 A都与一个 n阶 约当矩阵 J相似, 而且除去约当块排列次 序外,矩阵 J由A唯一确定.J被称为A(复数域上 )的约当标准形 . 证明 复数域上不可约多项式 都是1次多项式 , 因此 不妨设 A的初等因子为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs 其中λi为任意复数 (可重复 ), ri ≥ 1, 且由( 8.1)可知 r1 + r2 + " + rs = n.因此出约当块的次序外 , 存在唯一 n阶约当矩阵 J 使其初等因子也为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs . 由定理 8.2可知A与J相似. 例8.2 求下列矩阵的约当标准 形. ⎛ 2 − 1 1 − 1⎞ ⎛ 3 1 − 1⎞ ⎜ 2 2 − 1 − 1⎟ ⎜− 2 0 2 ⎟ ( 2 ) B = (1) A = ⎜ 1 2 −1 2 ⎟ ⎜−1 −1 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ λ−2 1 −1 1 ⎞ 解 (1) A的特征矩阵为 ⎛ ⎟ ⎜ 直接计算两个 3阶子式得λ −22 λ−2 1 1 λI − A = ⎜ − 1 1 1 2 ⎟ λ − − + − ⎜ 0 0 0 2⎟ λ − ⎠ ⎝λ−2 1 1 1 −1 = − ( λ − 3) − 2 λ − 2 1 = ( λ − 1) 3 − 2 λ − 2 1 × ( 2λ − 5) 1 1 2 − − − −1 −1 λ +15由于这两个 3阶子式互素 ,因此D3 ( λ ) = 1. 进而 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 又有 D4 ( λ ) =| λI − A |= ( λ − 3)(λ − 1) 3 因此A的不变因子是 d1 ( λ ) = d2 ( λ ) = d 3 ( λ ) = 1, d4 ( λ ) = ( λ − 3)(λ − 1) 3 A的初等因子为 λ − 3, ( λ − 1)3 . A的约当标准形为 ⎛ 1 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ J = ⎜ 0 1 1 0⎟ 0 1 0⎟ ⎜0 ⎝ 0 0 0 3⎠ ( 2)对 B的特征矩阵做初等变换 得 0 0 1⎞ ⎛ 2 + c3 ⎛ λ − 3 − 1 1 ⎞ c c− (λ − 3)c3 ⎜ ⎜ ⎟ 2 − 4 − 2 0⎟ λ λ 1 = 2 − 2 λ λI − B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r + 2 r 1 ⎝ (λ − 2)(4 − λ ) λ − 2 0⎠ ⎝ 1 1 λ − 3⎠ 2r3 − ( λ − 3)r1c1 − 2c2 ⎛ ⎜ r3 − r2 ⎜B的初等因子为 λ − 2, ( λ − 2) 2 . 约当标准形为 ⎛ 2 0 0⎞ J = ⎜ 0 2 1⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎠ ⎝ 由于1阶约当标准形对应一次 初等因子 , 我们有 定理8.4 n阶方阵 A在复数域上可对角化的 充要条 件是 A 的初等因子都是 1次的 . 又由于初等因子是由不 变因子因式分解得到 , 故 定理8.5 n阶方阵 A在复数域上可对角化的 充要条 件是 A的不变因子没有重根 .0 0 λ −2 0 2 0 ⎝ − (λ − 2)0 ⎞ 1⎞ c ↔c ⎛ 1 0 3 ⎜ 0 λ 2 0 ⎟ 0 ⎟ r1 × ( −1 − )⎜ ⎟ 3 2⎟ 0⎠ ⎝ 0 0 (λ − 2) ⎠6下面介绍求相似变换矩 阵的方法 . 设n阶方阵 A与约当矩阵 J相似 , 相似变换矩阵为 P . 设J⎛ J1 ⎞ ⎜ ⎟ J2 ⎟其中 J i =⎜ % ⎜ ⎟ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠⎛ λi 1 ⎞ ⎟ ⎜ λ 1 i ⎟ =⎜ 1 + "+ rs % 1 ⎟ (r ⎜ ⎟ ⎜ λi ⎠ ri ⎝= n).由P −1 AP = J 可知AP = PJ 设P = (T1 , T2 ,", Ts ) 其中Ti 为n × ri 子块， 由分块矩阵乘法 , 可得 ATi = Ti J i 进一步记 Ti = ( ei 1 , ei 2 ,", eiri ) 则 i = 1,2,", s. ( 8.2) Aei 1 = λi ei 1 , Aeil = λi eil + eil −1 . l = 2,", ri 显然λi是A的特征值 , ei 1是对应的特征向量 . 而向量 eil , l = 2,", ni 称为特征值 λi的广义特征向量 .注记 定理 8.3保证了方程组 ( 8.2)一定有n个线性无 关的解. 为此, 具体求解时要对 eij 有所选择 . 例8.3 求例 8.2中矩阵 B 的相似变换矩阵 P 解 设相似矩阵 P = ( p1 , p2 , p3 )使得⎛ 3 1 − 1⎞ ⎛ 2 0 0⎞ P −1 BP = P −1 ⎜ − 2 0 2 ⎟ P = ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎜−1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Bp1 = 2 p1 ⎛ 2 0 0⎞ 因此 BP = P ⎜ 0 2 1 ⎟ 即 Bp2 = 2 p2 ⎜ 0 0 2⎟ Bp3 = 2 p3 + p2 ⎠ ⎝ 可见p1 , p2为B对应特征值 2的特征向量 而广义特征 向量p3满足方程 ( B − 2 I ) x = p2 . 解方程( B − 2 I ) x = 0,由7可得基础解系为 η1 = ( −1,1,0)T , η 2 = (1,0,1)T . 令 p1 = ( −1,1,0)T . 为使方程 ( B − 2 I ) x = p2有解, 令p2 = k1η1 + k2η 2 , 由⎛ 1 1 − 1 k2 − k1 ⎞ ( B − 2 I , p2 ) = ⎜ − 2 − 2 2 k1 ⎟ ⎟ ⎜ k2 ⎠ ⎝−1 −1 1⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ B − 2I = ⎜ − 2 − 2 2 ⎟ → ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠可知2k2 = k1时方程有解 .取k1 = 2, k2 = 1, 此时 p2 = ( −1, 2,1)T , 广义特征向量 p3可取为( −1,0,0)T . 因此相似变换矩阵 P = ⎜ 1 2 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠⎛ − 1 − 1 − 1⎞⎛ 1 1 − 1 k2 − k1 ⎞ ⎜ 0 0 0 2k − k ⎟ 2 1⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 2k2 − k1 ⎠3 实数域上的约当标准形 定义8.3 令a, b, c为任意实数 , r为任意正整数 . 称形如⎞ ⎛c 1 ⎟ ⎜ c 1 ⎟ ⎜ % % ⎟ ⎜ c 1 ⎟ ⎜ ⎜ c⎟ ⎠r ⎝ ⎛ A2 ( λ ) I 2 ⎞ ⎜ ⎟ A2 ( λ ) % ⎜ ⎟ −a % % ⎜ λ− ⎜ ⎟ 其中 A2 (λ ) = ⎛ ⎝ b A2 ( λ ) I 2 ⎟ ⎜ ⎜ A2 ( λ ) ⎟ ⎝ ⎠ 2r( 2)b ⎞或λ − a⎟ ⎠( 3)的矩阵为实数域上 r阶或 2r阶约当块 . 称由若干实数 域上约当块构成的分块 对角矩阵 J(数域上的 )约当矩阵 .⎛ J1 ⎞ ⎜ J ⎟ 2 ⎟为实 =⎜ % ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ J ⎝ s⎠8与复数域上约当块的分 析一样, 形如( 2)的实约当 块与初等因子 ( λ − c )r 一一对应 . 同样由例7.4( 2)的结论, 形如( 3)的实约当 块的初等 因子为( λ2 − 2aλ + a 2 + b 2 ) r .反之对任意 2阶初等因子 及其方幂 ( λ2 + αλ + β ) r 其中α 2 < 4 β , 可取 a = −α / 2及 b = 4 β − α 2 / 2 使得形如( 3)的2r阶 约当块的初等因子恰为 给定形式 . 因为实数域上不可约多 项式总是1次或 2次多项式 . 任意n阶数字矩阵 A的实数域上初等因子总 可设为 (λ − λ1 ) s1 , (λ − λ2 ) s2 ,", (λ − λ p ) s p , ( λ2 + α 1λ + β 1 ) t1 , ( λ2 + α 2λ + β 2 ) t2 ,", ( λ2 + α q λ + β q ) tq 其中λi , α j , β j 均为实数 , α 2 j < 4 β j , si , t j 为正整数且 s1 + " + s p + 2( t1 + " + tq ) = n.和复数的情形一样我们 有下面的定理 定理8.6 实数域上每个 n阶数字矩阵 A都与一个 n阶 实约当矩阵 J相似 . 注记 若要求( 3)形约当块中常数 b ≥ 0, 那么实约当 J除约当块的次序外由 A唯一确定.− 5 3 2 ⎟ 相似的实约当矩阵 . 例8.4 求与矩阵 A = ⎜ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛λ +1 −1 5 λ−3 −2 ⎟ 解 由A的特征矩阵 λI − A = ⎜ ⎜ 0 0 λ − 3⎟ ⎠ 可知A的各阶行列式因子为 ⎝ 2 D3 ( λ ) = ( λ − 3)(λ − 2λ + 2), D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 初等因子为 λ − 3, λ2 − 2λ + 2. ⎛ 3 0 0⎞ 0 1 1 ⎟。
例1 设12级矩阵A 的不变因子组是（λ－1）2，（λ－1）2（λ＋1），（λ－1）2（λ＋1）（λ2＋1）2． 由初等因子的定义，A 的初等因子组是（λ－1）2,（λ－1）2，（λ－1）2，λ＋1，λ＋1，（λ－i ）2，（λ＋i ）2． 其中（λ－1）2出现三次，λ＋1出现二次．注意：所有初等因子次数的和等于该矩阵的阶数例2 已知矩阵A 的初等因子组为λ，λ，λ2，λ＋i, λ－i ，（λ＋i ）2，（λ－i ）2，λ＋1 (1) 求A 的不变因子组.解 由初等因子组的次数之和为11，从而A 是11阶矩阵．先求最高次不变因子d 11(λ),由关系式（1），不变因子应是不同的初等因子的乘积，最高次的不变因子d 11（λ）是其余不变因子的倍式，故它是次数最高的不同初等因子的乘积，从而d 11（λ）＝λ2（λ＋i ）2（λ－i ）2（λ＋1）类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去d 10（λ）＝λ（λ＋i ）（λ－i ），d 9（λ）＝λ．由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，d 8(λ)=…=d 1(λ)=1．例 1 求矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的若当标准形．解 对λE －A 用初等变换21261001301011400(1)λλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦故A 的初等因子是λ－1，（λ－1）2，因此A 的标准形是100010011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第八章 λ-矩阵教学目的：使学生熟练掌握λ矩阵的基本理论，会求λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等，掌握矩阵相似的条件，并能利用λ矩阵理论解决若当标准形的问题。
教学重点：λ-矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学难点：λ矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学方法：讲授，习题与讨论。
