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函数的应用 - 简单 - 讲义

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函数的应用

知识讲解

一、常见的函数模型

1.一次函数模型：()fxkxb（k、b为常数，0k）；

2.反比例函数模型：()kfxbx（k、b为常数，0k）；

3.二次函数模型：2()fxaxbxc（a、b、c为常数，0a）；

4.指数函数模型：()xfxabcf（x）＝abx＋c（a、b、c为常数，0a，0b，1b）；

5.对数函数模型：()logafxmxn（m、n、a为常数，0a，1a）；

说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．

6.幂函数模型：()nfxaxb（a、b、n为常数，0a，1n）；

7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．

二、数学建模

含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．

可用框图表示为

三、三种函数增长性的比较

类型：指数函数xya，对数函数logayx，幂函数ayx

1.在区间(0)，上，尽管函数(1)xyaa，log(1)ayxa和(0)nyxn都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，(1)xyaa的增长速度越来越快．会超过并远远大于(0)nyxn的增长速度，而log(1)ayxa的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x，当0xx时，就有lognxaxxa．

2.在区间(0)，上，尽管函数(01)xyaa，log(01)ayxa和(0)nyxn都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，(01)xyaa的递减速度越来越快．会超过并远远大于(0)nyxn的递减速度，而log(01)ayxa的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x，当0xx时，就有logxnaxax． 修改可用结果不合实际合乎实际检验数学结果数学模型提出问题实际情景典型例题

一．选择题（共8小题）

1．（2005•陕西）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：

16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）

A．6E B．72 C．5F D．B0

2．（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为

天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

3．（2014•温州模拟）某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：

每间客房的定价 220元 200元 180元 160元

每天的住房率 50% 60% 70% 75%

对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（ ）

A．220元 B．200元 C．180元 D．160元

4．（2017春•汇川区校级期中）函数f（x）=

的单调增区间是（ ）

A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1），（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）

5．（2003•北京）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）

A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]，[1，+∞）

C．[0，+∞），（﹣∞，1] D．[0，+∞），[1，+∞）

6．（2017春•马尾区校级期中）已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足 ＜

的x取值范围是（ ）

A．

，

B． ，

C．

，

D． ，

7．（2015秋•阜阳期末）函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（ ）

A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）

二．填空题（共4小题）

8．（2015秋•绥棱县校级期中）函数y=（k+2）x+1在实数集上是增函数，则k的范围是 ．

9．（2016秋•虹口区校级期末）函数 的单调递增区间为 ．

10．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间 ；减区间： ．

11．（2016秋•张家港市期中）一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为 （万元）（用数字作答）． 三．解答题（共3小题）

12．（1962•全国）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）

13．画出下列函数的图象，并写出它的定义域、值域、单调区间、最大最小值．

（1）y=2|x|﹣1；

（2）y=|2x﹣1|；

（3）y=x2﹣4|x|+3；

（4）y=|x2﹣4x+3|．

14．判断函数y=x+

的单调性并证明．

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高中数学讲义 第二章 函数A (超级详细)

高中数学讲义 第二章 函数A (超级详细)

第1页【辅导专用】共16页高中数学复习讲义第二章函数【知识导读】

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，

指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函

数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．

1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所

给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．

2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当

你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的

直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．

3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的

解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则

是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中

最重要的一条是“不漏不重”．

4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中

的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．映射特殊化

函数具体化一般化概念

图像表示方法

定义域值域

单调性奇偶性

基本初等

函数Ⅰ幂函数

指数函数

对数函数

二次函数指数

对数互逆

函数与方程

应用问题第2页【辅导专用】共16页第1课函数的概念

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体

会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．

一次函数应用题(讲义及答案). (1)

一次函数应用题(讲义及答案). (1)

一次函数应用题（讲义）

➢ 课前预习1. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）

与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：

①A，B 两村相距 10 km；②出发 1.25 h 后两人相遇；③出发

2 h 后甲到达 C 村庄；④甲每小时比乙多骑行 8

km． 其中正确的个数是（ ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

➢ 知识点睛一次函数应用题的处理思路：

1. 理解题意，梳理信息

结合图象、文字信息理解题意，将实际场景与图象中轴、点、线对应起来理解分析．

①看轴，明确横轴和纵轴表示的实际意义．

②看点，明确起点、终点、状态转折点表示的具体意义，还原实际情景，提取每个点对应的数据．

③看线，观察每段线的变化趋势（增长或下降等），分析每段数据的变化情况．

2. 辨识类型，建立模型

①将所求目标转化为函数元素，借助图象特征，利用表达式进行求解；

②将图象中的点坐标还原成实际场景中的数据，借助实际场景中的等量关系列方程求解．

3. 求解验证，回归实际

结果验证要考虑是否符合实际场景及自变量取值范围的要求．

1

➢ 精讲精练1. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2 400 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 4

分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 t（分）之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为 60 米/分；

②甲走完全程用了 40 分钟；

③乙用 16 分钟追上甲；

④乙走完全程用了 30 分钟；

⑤乙到达终点时，甲离终点还有 300 米．

其中正确的结论是 ．（填序号）

2. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为 y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地的过程中 y 与 x 之间的函数关系，结合图象解答下列问题：

应用pde讲义02_格林函数

应用pde讲义02_格林函数

0

应用偏微分方程与科学计算 

讲义（2） 

Lecture Notes on

Applied Partial Differential Equations and 

Scientific Computing 

No. 2 

马 石 庄 

2011．09．08．北京 

 1

第2讲 边值问题Green函数解

教学目的： 

围绕Sturm‐Liouville边值问题，阐述Green函数解法，就是把

任意的非齐次项微分方程边值问题，归结为一个特殊边值问题的求

解．Green函数是广义函数，取决于算子的性质、边界条件的类型，

与方程的非齐次项无关。 

主要内容： 

§1位势方程的定解问题 ........................................................................ 2 

1.1 位势方程的导出 ......................................................................... 2 

1.2直接积分 ...................................................................................... 6 

1.3物理意义 ...................................................................................... 8 

§2广义函数和广义解 .......................................................................... 10 

2.1广义函数 .................................................................................... 12 

必修一 第二章 基本初等函数及应用讲义

必修一 第二章 基本初等函数及应用讲义

基本初等函数及其综合运用

考纲要求

指数函数、对数函数、二次函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握三种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题

重难点归纳

(1)运用三种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用

(2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力

(3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力

,(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lomnananmnaarsrsaaaarsQrsrsaaarsQrrsabababrQxyaaax根式：为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g,log()loglog;logloglog;.loglog;(0,1,0,0)loglog(01)1log(,0,1,0)logcacNaNaMNMNaaaMMNaaaNnMnMaaMNaayxaaabbacacba为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且yxx幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2

表1 指数函数0,1xyaaa 对数数函数log0,1ayxaa

定义域 xR 0,x

值域 0,y yR 图象

性质 过定点(0,1)󰀀 过定点(1,0)

减函数 增函数 减函数 增函数