高中物理竞赛(运动学)

运动学

一.质点的直线运动运动

1.匀速直线运动

2.匀变速直线运动

3.变速运动:

微元法

问题：如图所示，以恒定的速率v1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v2是多少？

设在t（t0）的时间内物体由B点运动到C点，绳子与水平面成的夹角由增大到+，绳子拉过的长度为s1，物体运动的位移大小为s2。

因t0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v平= v即=s/t，s1与s2有什么关系？

如果取ACD为等腰三角形，则B D=s1，但s1s2cos。

如果取ACD为直角三角形，则s1=s2cos,但DBs1。

普通量和小量；等价、同价和高价

有限量（普通量）和无限量x0的区别.

设有二个小量x1和x2，当121xx, x1和x2为等价无穷小，可互相代替，当21xx普通量, x1和x2为同价无穷小，当21xx（或012xx）, x2比x1为更高价无穷小。

在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。

如当0时，AB弧与AB弦为等价，（圆周角）和（弦切角）为同价。

如图OAB为等腰三角形，OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。

OAADOAABODADOAAD,tan,sin，即tansin（等价）。

22sin2cos122，比更高价的无穷小量。

回到问题：因为DD为高价无穷小量，绳子拉过的长度s1=BD=BD，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（v2=v1/cos）

例：如图所示，物体以v1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求

（1）杆与物体接触点P的速率？（v2=v1cos）

（2）杆转动的角速度？（=v1sin/OP）。

1. 细杆M绕O轴以角速度为匀速转动,并带动套在杆和固定的AB钢丝上的小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案：ddx22）

解:设t时刻小环在C位置,经t时间(t足够小),小环移动x,由于t很小,所以也很小,于是小环的速度v=x/t,根据图示关系,CD=OC,cosCOx，22dxOC,从上面关系得

ddxdxddxdxOCtOCtxv22222222)/(coscoscos.

2. 用微元法求：自由落体运动，在t1到t2时间内的位移。（答案：21222121gtgt）

解：把t1到t2的时间分成n等分，每段为t,则nttt12,且看成匀速。

则v1=gt1+gt,s1=( gt1+gt)t,

v2=gt1+2gt,s2=(gt1+2gt)t,

vn=gt1+ngt,sn=(gt1+ngt)t,

s=s1+s2+sn=21222121212121212)()(2)1(gtgtttgttgtnntgtngt.

若v1=gt1,s1=gt1t,

v2=gt1+gt,s2=(gt1+gt)t,

vn=gt1+（n-1）gt,sn=[gt1+（n-1）gt]t,

s=s1+s2+sn=21222121212121212)()(2)1(gtgtttgttgtnntgtngt

也可用图象法求解。

3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时,速度是v1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少? （答案：75s）

解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O,OA连线即为x轴正方向,则坐标x处蚂蚁的速度可表示为xvLv11.将AB连线分成n等份,每等份nLLx)(12.当n很大时,每小段的运动可看成是匀速运动.

每小段对应的速度为1111LvLv，xLvLv1112，xnLvLvn)1(111。

])3()2()([11111121xLxLxLLvLxvxvxvxtn得

7522))((2)(]2)1([1121221121122111111vLLLvLLLLLLLnvLxnxLvLxns

解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度xLvv111, 即xLvv1111，1/v-x的图象如图所示。

蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面积，t=11212212112122))(1(LvLLLLLvLv=75s.

二.运动的合成与分解

1.相对运动

4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失,汽艇立即调头航行,并在丢失点下游s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案：s/2t）

以地为参照物,水速为v1,船速为v2,船调头后追上救生圈的时间为t,

对船(v2+v1)t=(v2-v1)+v1(t+t)t，得t=t,所以v1=s/2t.

或以水为参照物,则救生圈静止,t=t,所以v1=s/2t

5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v0射出很多的小球,问(1)这些小球在空间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少?

（答案：不会相碰；2v0t）

解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以v0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二个小球间的距离等于球面的直径,即d=2v0t.

6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升,某时刻在气球正下方距气球为10m的地方有一个石子以v0的初速度竖直上抛(取g=10m/s2),石子要击中气球,则v0应满足什么条件?

（答案：)21(100vm/s）

解法1:设气球的速度为v,开始相距为h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,

速度相等时所用的时间t=(v0-v)/a---(1),

则好击中时的位移关系为v0t-21gt22=vt+h---(2)

解得石子的初速度至少)21(1020ghvvm/s.

解法2:以气球为参照物,则初速度v1=v0-v,未速度v2=0,所以(v0-v)2=2gh,

解得石子的初速度至少)21(1020ghvvm/s.

2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。 求下列各图中v1和v2的关系.

答案依次是：A:v1=v2cos;B:v1=v2cos;C:v1cos=v2cos;D:v2=vtan;

7. 如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为时，求此时：

（1）杆上与半圆周相切点C的速度大小。

（2）杆转动的角速度。

（3）杆上AC中点的速度大小。

（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。

[答案：（1）cosv；（2）sintanRv；（3）；4sincos22v；（4）sintanv]

解：把A的速度分解成沿杆的速度cos1vv，和垂直杆方向速度sin2vv。

（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小cos1vvvC。

（2）A点对C点的转动速度为sin2vv，

所以杆转动的角速度为sintancotsinsinRvRvACv。

（3）4sincos)2(222221vvvvAC

（4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也为sintanRv，

杆与半圆周相切的切点的速度大小sintanvRvC。

8. 如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为时，杆的角速度为，求此时物块M的速率Mv。

解：AvR，

Av沿绳BA的分量cosMAvv

由正弦定理知sinsinOABHR

由图看出2OAB

由以上各式得sinMvH

3.运动的合成与分解:

在船渡河中，水地船水船地vvv。推广乙丙甲乙甲丙vvv

9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来,当骑自行车的人的速度增加到10m/s时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向.

（答案：25m/s，方向正东南）

V风对地=V风对人+V人对地，得V风对地=25m/s，方向正东南

10. 如图所示,质点P1以v1的速度由A向B作匀速直线运动,同时质点P2以v2的速度由B向C作匀速直线运动,AB=L,ABC=,且为锐角,试确定何时刻t,P1、P2的间距d最短,为多少?

（答案：cos2)cos(21222121vvvvvvLt；cos2sin2122212vvvvLvd）

解:以A为参照物,vBA=vB地+v地A。B相对A的运动方向和速度的大小如图所示.

则B相对A的速度为cos2212221vvvvv

有正弦定理sinsin2vv，vvvcossin1cos212

当B运动到D时(AD垂直AB)P1、P2的间距d最短,cos2sinsin2122212vvvvLvLd.

所需的时间cos2)cos(coscos2122212121vvvvvvLvvvvLvLt.

11. 一半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为v做匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点P，此杆只能沿竖直方向运动,如图所示.求当OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆运动的速度和加速度.

（答案：vtan；32cosRva）

解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照系中P点做圆周运动,v杆柱的方向沿着圆上P点的切线方向,v杆地的方向竖直向上,因为柱地杆柱杆地vvv,

矢量图如图a所示.得v杆地=vtan。

也可用微元法求.

(2)有柱地杆柱杆地aaa,

因a柱地=0,所以a杆地=a杆柱,

而a杆地的方向竖直向下,又a杆柱可分解成切线方向at和法线方向an,矢量图如图b所示,