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力学研究的是物体的行为
力学
经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动 相对论力学：高速运动领域的物体的行为 量子力学：微观领域粒子的行为
经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航 空航天）的基础理论
经典力学的决定论被量子力学打破
混沌运动：决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动 。非线形系统对初值的极端敏感性——不可预测。又称蝴蝶 效应。经典力学的决定论又被混沌运动打破。
az
dvz dt
d2z dt 2
【例1-1】 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost
y R sin t 。式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；
(2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；(3)质点在t1 0 到 t2 3 2
时间内的位移。
t 解：(1) 由运动方程消去时间参量 ，可得质点轨迹方程
s : 路程即弧线p1p2 路程s是标量
|r| ||r2|
图中 s
|r1| |
| r
|
|r|
a
t 时刻
t t 时刻
时间增量 t
v1(t)
v2 (t t)
速度增量
v2
(t
t
)
v1
(t
)
v
a
v2
v1
v
t2 t1 t
Z
p1
•
v1 (t )
r1
r2
• p2
v2
v1 v
a
dt dx dt dx
v
v0
vdv
x
x0
a( x)dx
【例1-3】 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率v0收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。
r 解：建立如图坐标系，连接船与绞车的绳长 与船的位置坐标 x 的关系为
x (r 2 h2 )1/ 2 ,
故船速为
vx
dx dt
r
dr
h2 x2 dr ,
x2 y2 R2,
可知此运动过程的轨迹函数
f (x, y) x2 y2 R2, 半径为R的圆
y
v
R
a r
t
O r2
r1 r
p2
(2) 任意时刻 质点位矢为
r xi yj R costi R sin tj,
p1 x
质点的速度矢量为
v dr R sinti R costj,
dt
k
v | v |
cos vx
vx2 , cos
v
2 y
vz2 vy
(dx )2
,
dt
cos
vz
(dy )2 dt
(dz )2 dt
v
v
v
, ,只有两个是独立的,满足 cos2 cos2 cos2 1
p1
s
r
r1
p2 | r |
r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
y 1 gt2. 2
得到抛体运动的轨迹方程为
y
tan
x
1 2
v02
g cos2
x2
,
这是一条通过原点的二次曲线，数学上也称此类曲线为抛物线
例(补）: 一质点沿x方向运动，其加速度随位置的变化
关系为a 3 2x。如在x0 0处v0 4m / s求在x 2m
处质点速度的大小。
故速度表达式为： v v0ekt
又
dx dt
v0ekt
分离变量 dx v0ektdt
两边积分
x
dx
x0
t 0
v0ektdt
得位移表达式为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
故运动方程为：x
x0
v0 k
(1
ekt )
在不同参照系中,
描写质点运动物理量
(r , v ,
a)之间的关系.
一、位置矢量之间的关系
0.3t2 )2 300
m s-2
,
总加速度矢量为
a
(10
0.6t)
代入 t 1.0s
(10t
0.3t2 )2 300
n
m s-2
.
a 9.4 0.314n,
加速度的大小为 a
a2 an2 9.41 m s-2 .
t时刻
t t时刻
1. 角位移
逆时针方向为正 顺时针方向为负
对加速度
dv gj, dt
积分，可得 v v0 cos i (v0 sin gt) j ,
y v0
gY
O
X
图1—11抛体运动
对速度
dr dt
v0 cosi
(v0 sin
gt) j,
积分，可得运动方程
x
r (t)
vx0ti
v
y
0t
1 2
gt 2
j.
写成分量形式
x=vx0t,
讨论：
例(补）：已知质点沿x轴运动，其加速度与速度成正比，其方向与运动 方向相反，初始坐标为x0，初始速度为v0。试求：质点的速度表达 式、位移表达式及运动方程。
解：由题设知：a kv
即 dv kv dt
分离变量 dv kdt v
两边积分
v dv
t
kdt
v v0
0
得 ln v kt v0
a12 a22 2a1a2 sin
tg1 ay
ax tg 1 a1 a2 sin
v v R
速度大小为常量
质点作匀速圆周运动
质点加速度为
a dv R2 costi R2 sintj,
且
dt vr 0
质点运动速度的方向始终垂直位置矢量
a
2
r
加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心。
(3) 根据运动方程，得
t1 0 质点的位置矢量分别为 r1 Ri
t2 3
2
r2 Rj
2. 平均角速度
t
(瞬时)角速度 lim d
t 0 t dt
Y
P (t t) R P (t)
s
X
3. t时刻
(t)
t t时刻
(t t)
平均角加速度 (t t) (t)
t
t
(瞬时)角加速度
lim
t0 t
d
dt
d 2
dt 2
匀变速圆周运动(为常量)
0 t
0
dR dt
:
O相对O的速度, 记为voo
vpo vpo voo
三、加速度之间的关系
dv po
dt
dv po
dt
dvoo
dt
a po
a po
aoo
例(补）：一升降机内有一光滑斜面，斜面固定在
升降机内的底板上，其倾角为（如图）。当
升降机以匀加速度a1上升时，物体相对斜面以
a2
加速度a2下滑，求物体相对地面的加速度。
解：如图：
a
a1
a2
,
取坐标系Oxy,
a1、a2可分别沿 x、y方向分解：
y
a1x 0, a1y a1
a1
a2x a2 cos , a2 y a2 sin
沿x方向：ax a2 cos
O
a2 sin
沿y方向： ay a1 a2 sin
a1
a
x a2 cos
a2
则物体相对于地面的加速度为： a (a2 cos)2 (a1 a2 sin)2
第一章 质点运动学
z
P(x, y, z) •
• 选择参考系，建立坐标系
O
z
P(r, ,)
r•
z r cos
y
X
z
Y
x
O
Y
X r sin
•时间((12))时时刻间(间时隔间瞬t 间 t)2用tt表1 示
r
xi
yj
zk
r | r |
x2 y2 z2
z
k •
r
j
i
O
Y
X
cos x , cos y , cos z
s 5.0t2 0.1t3 m ，求 t 1.0s 时，汽车的加速度大小。
解：汽车运动简化为质点的圆周运动。
t 在任意时刻 质点运动的速率为
v ds 10t 0.3t2 m s2 dt
切向加速度和法向加速度的大小分别为
a
dv dt
10 0.6t
m s-2
,
an
v2 R
(10t
0t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
角量与线量
s R
s R v R
a R an R 2
第一类：已知 r（或x，y），求v，a，用微分;
第二类：已知 a及初始条件v0，r0，求v及r，用积分。
微分
微分
r v a 积分 (r0 )
积分
(v0 )
已知 a及初始条件t t0时的v0、x0，求v，x。
l
im
v
dv
d
2
r
x
Y v2(t t)
a a
t0 t dt
axi
ay
j
azk
dvx dt
i
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d2z dt 2
k
a
dt 2
dvy
j
dt
| a |
dvz
k
dt
ax2
ay2
az2
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
