2018年高考一轮江苏数学理科 附加题部分 第1章 第60课 课时分层训练4

1 课时分层训练(四)

A组 基础达标

(建议用时：30分钟)

1．设随机变量X的概率分布为PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求a；

(2)求PX≥35；

(3)求P110

[解] (1)由概率分布的性质，

得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115.

(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.

(3)P110

2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.

(1)求白球的个数；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．

[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，

则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．

(2)X服从超几何分布，

P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.

于是可得其概率分布为 2 X 0 1 2 3

P 112 512 512 112

3.(2017·南京模拟)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布．

[解] (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.

(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此

P(X＝0)＝C38C39＝23，

P(X＝－1)＝C24C39＝114，

P(X＝1)＝1－114－23＝1142.

所以X的概率分布为

X 0 －1 1

P 23 114 1142

4.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．

(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；

(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.

【导学号：62172329】 3 [解] (1)P＝1－C37C39＝712.

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.

(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，

P(ξ＝k)＝Ck3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.

故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，

P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，

P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，

P(ξ＝3)＝C33C39＝184，

ξ的概率分布为：

ξ 0 1 2 3

P 521 1528 314 184

B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．

[解] 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.

若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，

故P(ξ＝2)＝6C212＝111，

于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，

所以随机变量ξ的概率分布是 4 ξ 0 1 2

P 411 611 111

2.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．

(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．

[解] (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝A23A34＝14，

故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.

(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.

P(X＝0)＝14，P(X＝5)＝2A24＝16，

P(X＝10)＝1A24＋A22A34＝16，

P(X＝15)＝C12·A22A34＝16，

P(X＝20)＝A33A44＝14.

所以，随机变量X的概率分布为

X 0 5 10 15 20

P 14 16 16 16 14

3．已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．

(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值； 5 (2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．

[解] (1)由题意知P＝C1xC1yC11C26C14＝xy60≤160x＋y22＝320，

当且仅当x＝y时等号成立，

所以，当P取得最大值时x＝y＝3.

(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，

所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

则P(ξ＝0)＝C24C12C26C14＝15，

P(ξ＝1)＝C12C14C12＋C24C12C26C14＝715，

P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C14C12C26C14＝310，

P(ξ＝3)＝C22C12C26C14＝130.

所以红球个数ξ的概率分布为

ξ 0 1 2 3

P 15 715 310 130

4.PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值

(微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]

频数 3 1 1 1 1 3

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布． 6 [解] (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则

P(A)＝C13C27C310＝2140.

(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝Ck3C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，

P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.

因此ξ的概率分布为

ξ 0 1 2 3

P 724 2140 740 1120