2018届高考数学一轮复习 附加题部分 第3章 选修4-1 第70课 课时分层训练14

第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓ ⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________． π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.] [规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分 三角函数模型的简单应用数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5B.6C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．4．函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝A sin t的值域．。

2018-2019学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数 学Ⅱ试题（ 附 加 题）一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题．．．．．，如果多做，则按所做的前两题 记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤． 1．（选修4—1：几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过 N 点的切线交CA 的延长线于P ． （1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若⊙O的半径为，OA，求MN 的长．解：（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；………5分（2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=．…10分2. （选修4—2：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． （1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 3．（选修4—4：不等式选讲） 设a ，b ，c 均为正实数．（1）若1a b c ++=，求222a b c ++的最小值； （2）求证：111111222a b c b c c a a b+++++++≥． 4．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设（第1题）)0(12παα<≤=∠M F F ,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为 极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c=322,42,1,222==-==∴e c c a p b , ………………………2分所以椭圆的极坐标方程为：θθρcos 2231cos 1-=-=e ep ………………………４分设M 点的极坐标为),(1αρ，N 点的极坐标为),(2παρ+，………………５分122226,98cos 6352cos ,cos ,0.10426698cos MN MN ρραππαααπααα=++=-====±≤<==- 由得，又，所以或分解法二：设椭圆的方程为1922=+y x，其左焦点为)0,22(-，直线MN 的参数方程为：为参数）l l y l x (sin cos 22⎩⎨⎧=+-=αα， ………………４分 将此参数方程代人椭圆方程并整理得：分或分10 656,0(,21sin ,41sin 82sin 816sin 81)sin 81(4cos 322222221 ππαπααααααα=∴<≤±==∴=+=+++=-=t t MN01cos 24)sin 81(22=-++ααt t ，设M 、N 对应的参数分别为21t t 、，则2019届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题数学附加题，选做题21．A ．选修4—1：（几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC ． 证明：如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF ．…………………………4分 因为∠EFD 与∠EAD 为弧DE 所对的圆周角， 所以∠EFD ＝∠EAD ． 又因为AD 是∠BAC 的平分线，故∠EAD ＝∠DAF ． …………………………8分 所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC ． …………………………10分ABDCEFO·B ．选修4—2：(矩阵与变换) 已知a ，b ∈R ，若矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3 所对应的变换把直线l ：2x －y =3变换为自身，求a ，b 的值．解：（方法一）在直线l 上取两点(32，0)，(0，－3)．因为 ⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3232b，⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3a －9，………………………6分 因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－32，32b )，(－3a ，－9)仍在直线l 上．代入直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧－3－32b ＝3，－6a ＋9＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4． ………………………10分（方法二）设(x ，y )为直线l 上任意一点，则⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ， …………………………3分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x ＋ay ，bx ＋3y )仍在直线l 上， 代入直线方程得：2(－x ＋ay )－(bx ＋3y )＝3， …………………………7分 化简得(－2－b )x ＋(2a －3)y ＝3，又直线l ：2x －y ＝3，所以⎩⎨⎧－2－b ＝2， 2a －3＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4．…………………………10分C ．选修4—4：(坐标系与参数方程) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )(t 为参数)化为普通方程．解：（方法一）因为(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4， …………………………5分所以(x 2)2－(y4)2＝4． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分（方法二）因为⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8， …………………………5分相乘得(2x ＋y )(2x －y )64＝1． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分D ．选修4—5：(不等式选讲)已知a ，b 是正数，求证(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92．证明：（方法一）因为a ，b 是正数，利用均值不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝2ab ＋12＋2＋12ab …………………………5分＝(2ab ＋12ab )＋52≥2＋52＝92． 所以 (a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． …………………………10分（方法二）因为a ，b 是正数，利用柯西不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝[( a )2＋( 1b )2][( 2b )2＋( 12a)2] ……………………5分≥(a ×12a ＋ 1b × 2b )2＝( 12＋ 2)2＝92． 所以(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． ………………………10分江苏省2019届高三上学期苏北大联考（数学）数学Ⅱ试题（附加题）1、已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α， 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分 曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．……………8分AB 12s s =-．…………………………………10分2018年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( +3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.江苏省常州市2019届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)BC EDA21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线.【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ， 于是∠FAC =∠OCA ，所以OC //AD .又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ， 故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=，即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos 24ρθ--=，所以()2ππcos cos sin sin 2ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=． 化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin ρθ+． ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++. 【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm++≤++， 即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥，P即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++．…………… 10分江苏省高淳高级中学2019届高三上学期第二次质量检测(数学理)附加题21．本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引 割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．【证明】因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC =⋅， ………………………2分 因为D 为P A 中点，所以DP =DA ，所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DC PD = ．……………………5分因为BDP PDC ∠=∠， 所以BDP ∆∽PDC ∆ …………8分 所以DPB DCP ∠=∠． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，求实数,a b 的值；解：设(,)P x y 为曲线2221x y -=上任意一点，'''(,)P x y 为曲线22421x xy y ++= 上与P 对应的点，则''11a x x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''''x x ay y bx y ⎧=+⎨=+⎩ ……………………6分 代入的''2''2()2()1x ay bx y +-+=得()()()2222122421b x a b x y a y ''''-+-+-=，及方程22421x xy y ++=，从而2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,0a b ==， …………………10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos sin ρθρθ==-，． （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆1O ，圆2O 两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． ……………………………………3分 同理220x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． ……………………………………6分（2）由222240x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 相减得过交点的直线的直角坐标方程为40x y +=． …………………………10分 D ． 选修4—5：不等式选讲 已知实数,0m n >．（Ⅰ）求证：222()a b a b m n m n+++≥；（Ⅱ）求函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值．答：（Ⅰ）证明：因为,0m n >，利用柯西不等式，得222()()()a bm n a b m n+++≥，所以222()a b a b m n m n+++≥． ………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)y x x x x x x +=+=+=--+-≥， 所以函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值为25，当且仅当15x =时取得．……10分。

课时分层训练(十四)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．如图70-11，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC 于点D.图70-11求证：△ABD∽△AEB.[证明]因为AB＝AC.所以∠ABD＝∠C.又⊙O是三角形ABC的外接圆，所以∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E.又∠BAE＝∠BAD.故△ABD∽△AEB.2．(2021·泰州模拟)如图70-12，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC 经过圆心O，且BC＝2OC.图70-12求证：AC＝2AD. 【导学号：62172368】[证明]连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．如图70-13，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，假设P A ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．图70-13[解] 由切割线定理，得P A 2＝PC ·PD .因此PD ＝P A 2PC ＝623＝12.又PC ＝3，所以CD ＝PD －PC ＝9.由于CE ∶ED ＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2.4．如图70-14，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO与直线CD相交于点F.证明：图70-14(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO. 【导学号：62172369】[证明](1)如下图，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，那么∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ONE＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，点O，M，E，N四点共圆．由割线定理，得FE·FN＝FM·FO.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．如图70-15，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.图70-15(1)求证：l是⊙O的切线；(2)假设⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．[解] (1)证明：连结OP ，∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线．(2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6.过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，那么BE ＝BD －AC ＝6－4＝2.∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝46，∴CD ＝4 6.2．(2021·全国卷Ⅰ)如图70-16，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°，以O为圆心，12OA 为半径作圆．图70-16(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .[证明] (1)设E 是AB 的中点，连结OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .3．如图70-17，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．图70-17(1)假设EF ∥CD ，证明：EF 2＝F A ·FB ；(2)假设EB ＝3EC ，EA ＝2ED ，求DC AB 的值．[解] (1)证明：因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠B ＝∠CDE .又EF ∥CD ，所以∠CDE ＝∠FEA ，因此，∠B ＝∠FEA .而∠F 为公共角，所以△F AE ∽△FEB ，于是，F A FE ＝FE FB ，即EF 2＝F A ·FB .(2)由割线定理，得ED ·EA ＝EC ·EB ，即ED ·2ED ＝EC ·3EC ，所以EC2ED2＝23，即ECED＝63.因为∠B＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB，于是，DCAB ＝ECEA＝EC2ED＝12·ECED＝66.4．(2021·全国卷Ⅲ)如图70-18，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．图70-18(1)假设∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)假设EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.[解](1)如图，连结PB，BC，那么∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.。

课时分层训练(二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) 【导学号：31222120】A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．]2．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B [由图象变换规则可得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( ) 【导学号：31222121】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.]5．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.【导学号：31222122】0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z)．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5， ∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.5分 (2)图象如图所示．12分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【导学号：31222123】(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分 ∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.12分。