高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．
x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）
其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．
2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．
【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）
但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．
3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．
【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1
因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄
【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2
对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．
5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．
【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1
数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜b)的值恒为非负实数. 则a+b+cM=b-a的最小值是(D)．
(A)21 (B)31 (C)2 (D)3
2．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是(A)．
(A)2 (B)4 (C)21 (D)41
3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b－2c=0，a+2b－2c+3=0. 则△ABC最大内角的度数是(B)．
(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°
4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数. 如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4的值是(C)．
(A)1 (B)4 (C)7 (D)8
5．(训练题34)设函数22()(1xxnyfxxRxx且*1,)2nxnN的最小值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn). 则数列{cn} (C)．
(A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列
(C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M所含元素最多有(D)．
(A)324个 (B)243个 (C)495个
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试试题（模拟4）
一．（本题满分40分）如图，ABCD的外接圆为，P为BC边上一点，
满足APBBACÐ=Ð．过点A作的切线交ABPD的外接圆于点Q，Q关于AB
中点的对称点为T，AT交QP于点D．证明：111
ABACCD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）
二．（本题满分40分）设c是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}na，
满足：对任意正整数n，恰存在na个正整数i使得
1inaac
．
三．（本题满分50分）设正整数6n，图G中有n个顶点，每个顶点的度
数均至少为3．设12,,,
kCCC是G中所有的圈，求
12gcd(,,,)
kCCC的所有可能值，其中C表示圈C中顶点的个数．
四．（本题满分50分）对非负整数,ab，定义位异或运算ab，是唯一的
非负整数，使得对每个非负整数k，
222kkkabab
都是偶数．例如：2229101001101000113．
求所有正整数a，使得对任意整数0xy，都有xaxyay．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试（模拟4）参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一．（本题满分40分）如图，ABCD的外接圆为，P为BC边上一点，
满足APBBACÐ=Ð．过点A作的切线交ABPD的外接圆于点Q，Q关于AB
中点的对称点为T，AT交QP于点D．证明：111
ABACCD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由于四边形AQBT为平行四边形，所以
DACBACBATBACABQAPBAPQQPBDPCÐ=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð=Ð
高中数学联赛难度几何题100道
第一题：学习证明角平分 ........................................................................................................................................ 4
第二题：学习证明四点共圆 .................................................................................................................................... 5
第三题：学习证明角的倍数关系 ............................................................................................................................ 6
第四题：证明线与圆相切 ........................................................................................................................................ 7
第五题：证明垂直 .................................................................................................................................................... 8
第六题：证明线段相等 ............................................................................................................................................ 9
