高中数学竞赛训练题
一、选择题（仅有一个选择支正确）
1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,,则（ ）
（A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U =
2．已知b a ,是正实数,则不等式组⎩⎨⎧>+>+ab xy b a y x 是不等式组⎩
⎨⎧>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件
3．等差数列{}n a 中,,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ）
（A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 21
4．已知复数2
121
-+
=z z w 为纯虚数,则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形,若它的一条对角线的长不大于6,则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ）
（A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 65
6．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5
435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 30
1 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列,则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ）
（A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分
8．若ABC ∆的三边c b a ,,满足：,0322,0222
=+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ）
（A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 060
9．已知点)2
3,1(),21
,(+++a a B a a A ,动点P 到点)0,1(M 比到y 轴距离大1,其轨迹为曲线C ,且线段AB 与曲线C 存在公共点,则a 得取值范围是（ ）
（A ） ()+∞∞-, (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-223,22
3 (C)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--223,221223,221
(D) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--223,221223,23 10．空间有9个点,其中任四点不共面,在这9个点间连接若干条线段,构成三角形m 个。若图中不存在四面体,则m 的最大值是( )
（A ） 7 (B) 9 (C) 20 (D) 不少于27
二、填空题
11．若函数)(x f 与x x g -=2)(互为反函数,则)3(2x x f -的单调递增区间是_________。
12．设),4,3,2( =n a n 是n x )3(-的展开式中含x 项的系数,则1818
3322333a a a +++ 的值是_________。
13．已知c b a ,,是实数且满足1,13
33222=++=++c b a c b a ,则c b a ,,三数的和等于_________。
14．由红、黄、蓝三套卡片,每套五张,分别标有一个字母A 、B 、C 、D 、E,若从这15张卡片中,抽取5张,要求字母各不相同且三色齐全,则不同的取法有_________种。
15．某地的汽车牌照全都是由七位数字所组成,每面车牌的最左边的数字不可以是0,且任两面车牌上的数都不相同。现只能用0、1、2、3、5、7、9等七个不同的钢模来轧制车牌,制造一个车牌时同一个钢模只能使用一次,可以把数字9的钢模旋转后当成数字6来用,但6和9不能同时出现。现将符合上述要求的全部车牌依照其数值由小至大排序,因此他们依序是：1023567、1023576、1023579、…、9753210。那么第7000面车牌的号码是_________。
16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,在正方体的表面上与点A 相距
332的点集为一条曲线,该曲线的长度是_________。
17．若z y x ,,都是正实数,且1222=++z y x ,则
z
xy y xz x yz ++的最小值是_________。
18．设正数列{}n a 的前n 项之和是n b ,数列{}n b 的前n 项之积是n c ,若n b +n c =1,则数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近2004的数是_________。
19．若3233sin 34sin ),(,23arcsin ,6,sin 30a a a f a -+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈<<θθθπθθ,则),(θa f 的最小值是_________。
20．一个m 项的正整数数列（m x x x ,,,21 ）,如果满足以下两个条件：
（i ）对于任意的正整数1,11+≤-≤≤i i x x m i ；
（ii ）数列中的所有奇数项 ,,31x x 全是奇数,并且数列中的所有偶数项 ,,42x x 全是偶数,则称此数列为一个OE 数列。假如：最大项不大于4的OE 数列只有（1）,（3）, （1,2）,（1,4）,（3,4）,（1,2,3）,（1,2,3,4）等七个,那么最大项不超过20的OE 数列共有_________个。
答案：
一、选择题：
1,C 2, B 3, D 4, B 5, C 6, B 7, C 8, B 9, D 10, D
二、填空题： (11) ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡31,61 （12), 17 （13） 1 （14） 150 （15） 7206351 （16） π63
5
（17） 3 （18） 1980 （19） 24137 （20） 17710
