最新高中数学竞赛训练题—解答题
1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2
2
3
3
b a b a -=-，求所有可能的整数
c ,使得ab c 9=.
2．已知不等式
24
131...312111a
n n n n >
++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。
3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22
111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a }
的通项公式。
4．（1）设,0,0>>y x 求证：
;4
32y
x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x
求证：
.2
333zx
yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++
5. 设数列ΛΛΛ,1
,,12,
1,,13,22,31,12,21,11k
k k -，
问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.
6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。
7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n a
S a a
=
--，
记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．
8. 在ABC ∆中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u r
g ，又ABC ∆的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ∆的三边之长；
（Ⅱ）设P 是ABC ∆（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，
求123d d d ++的取值范围.
9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ；
（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
10. 已知椭圆)1(12
22>=+a y a
x ，Rt ABC ∆以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆
交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27
8
，求a 的值。
11. 如图，椭圆C ：2
2
22
1(0)x y a b a
b
+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点．
（Ⅰ）设点)0,(0x M ，若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时， ||PM 取得最大值与最小值，求0x 的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B ，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
12．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面SAD 为正三角形，且垂直于底面ABCD ．
（1）求四棱锥ABCD S -的体积；
（2）在边CD 上是否存在一点E ，使得AE SB ⊥？请说明理由．
13．（本小题满分15分） 关于y x 、的方程C ：0422
2
=+--+m y x y x ．
（1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；
（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线l ：042=-+y x 相交于N M 、两点，且
5
5
4||=
MN ，求实数m 的值； （3）在（2）的条件下，若定点A 的坐标为（1，0），点P 是线段MN 上的动点，求直线AP 的斜率的取值范围．
S A B C
D
B
A
C
E
A 1
B 1
C 1
P n
P n+1
14．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为25
2
。
（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。
15. 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点. （Ⅰ）求证：1AB //平面1BEC ； （Ⅱ）若12,2AB AA =A 到平面1BEC 的距离； （Ⅲ）当AB
A A 1为何值时，二面角E —BC 1
—C 的正弦值为5
10？
16．（本小题满分15分）
在xoy 平面上有一系列点),,(),,(222111y x P y x P …，Λ),,(n n n y x P ．对每个正整数n ,点n P 位于函数)0(2
≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙
1+n P 彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 （*N n ∈）．
（1）求证：数列}1
{
n
x 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=
21,
求证：对任意*
N n ∈，均有2
3π
<
n T ．
17． （本小题满分18分）
二次函数r qx px x f ++=2
)(中，实数r q p 、、满足m
r
m q m p ++++12=0,其中0>m ． 求证： (1)0)1
(<+m m
pf ；(2)方程0)(=x f 在(0，1)内恒有解．
