高中数学竞赛训练题--解答题(每题含详解)

绝密★启用前2021年9月23日高中数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷II （非选择题）一、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 已知集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．若B ⊆A ，求实数m 的取值范围是_______．2. 从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是________．3. 平行四边形ABCD 中，AB →⋅AD →=5，点P 满足PB →⋅PD →=8，则PA →⋅PC →=4. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2,AD =BC =2√3,AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45∘，则该四面体的体积为________.5. 已知偶函数f (x )，对任意的x 都有2f (x )+xf ′(x )>6，且f (1)=2，则不等式x 2f (x )>3x 2−1的解集为________.6. 已知函数f(x)=log 2(√x 2+1−x)，若对任意的正数a ，b ，满足f(a)+f(3b −1)=0，则3a +1b 的最小值为( )7. 在△ABC 中，ccosB +bcosC =2acosA ，AM →=23AB →+13AC →，|AM →|=1，其中a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则b +2c 的最大值为( )8. 执行如图所示的程序框图，输出n 为________.试卷第2页，总17页……外……装……………○…………线…………○……不※※要※※在※※装※※……内……装……………○…………线…………○……9. 已知关于x，y的一组数据：根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为ŷ=0.28x+0.16，则n−0.28m的值为________.10. 如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD=________．11. 过p(1, 2)且A(2, 3)与和B(4, −5)的距离相等的直线方程是（）12. 若圆C:x2+y2+6x−2y+n=0截直线l:(2+m)x+(2m−1)y−5m=0所得的最短弦长为4√2，则实数n=________．二、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分，）13. 设函数f(x)=的定义域为A，集合B={x|2x>1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a<x<a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．14. 已知函数f (x )=log 2(1+2x +1+4x a)+bx(a,b ∈R). (1)若a =1，且f(x)是偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在(−∞,−1)上有意义.求实数a 的取值范围；(3)若a =4，且A ={x |f (x )=(b +1)(x +1)}=⌀，求实数b 的取值范围.15. 已知直线l 1:x +my +6=0，l 2：(m −2)x +3y +2m =0，求实数m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1 // l 2；16. 已知函数f (x )=√3sin (4x +2π3)−cos (4x +2π3)+1(1)求f (x )图象的对称中心；(2)求f (x )在[π12,π3]上的值域．17. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)． （1）设c →=4a →+b →，求c →的模；（2）若a →+λb →与a →垂直，求λ的值．18. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面AB −CD ，DE =2BF =2AB试卷第4页，总17页………装…………○…………订…………○…………线…………○……请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………装…………○…………订…………○…………线…………○……（1）证明：平面ABF//平面CDE ．（2）求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值．19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40, 50),[50, 60),⋯,[80, 90),[90, 100]．(1)求频率分布图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；(3)从评分在[40, 60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50, 60)的概率．20. 已知f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π2)的定义域为[0, π2]． （1）求f(x)的最小值．21. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1=b2=2,S5= 30, b4+2是b3与b5的等差中项．(1)求数列{a n},{b n}的通项公式；(2)若c n=a n⋅b n,T n是数列{c n}的前n项和，求T n试卷第6页，总17页参考答案与试题解析 2021年9月23日高中数学一、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 [−1,+∞） 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】结合集合关系，找到端点的不等关系，解不等式即可． 【解答】∵ 集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．要使B ⊆A ，①B =⌀满足题意，此时2m −1≥m +1，解得m ≥2； ②B ≠⌀，要使B ⊆A ，只要{2m −1≥−3m +1≤42m −1<m +1，解得−1≤m <2；所以若B ⊆A ，实数m 的取值范围是m ≥2或者−1≤m <2，即m ≥−1． 2. 【答案】710【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n =C 52=10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m =C 22+C 21C31=7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率． 【解答】从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n =C 52=10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m =C 22+C 21C31=7， ∴ 抽中的2人不全是女生的概率p =m n=710．3.【答案】 3【考点】向量在几何中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 4. 【答案】 4√23【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】略5.【答案】{x|x<−1或x>1或x=0}【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题函数奇偶性的性质其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：令g(x)=x2f(x)−3x2，则g(1)=−1，∴x2f(x)>3x2−1等价于g(x)>g(1)，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)−6x=x[2f(x)+xf′(x)−6]，∵2f(x)+xf′(x)>6，∴当x=0时，g(0)=0>g(1)，满足题意；当x>0时，g′(x)>0，又g(−x)=x2f(−x)−3x2=x2f(x)−3x2=g(x)，∴g(x)是偶函数，∴g(x)>g(1)等价于|x|>1，∴x>1或x<−1.故答案为：{x|x<−1或x>1或x=0}.6.【答案】12【考点】奇偶性与单调性的综合基本不等式在最值问题中的应用【解析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得a+3b＝1，最后根据基本不等式求最值．【解答】【解析】因为√x2+1−x>0恒成立，所以f(x)的（定义域为R，因为f(x)=log√x2+1+x f(−x)=log2(√x2+1+x)，所以f(x)=−f(−x)⋅f(x)为奇函数，又试卷第8页，总17页f (x )=log 2(√x 2+1−x)在区间(−∞,0)内单调！递减，所以f (x )在R 上单调递减，因为f(a)+f(3b −1)=0，所以f (a )=f (1−3b )，所以a =1−3b ，即a +3b =1，所以3a +1b =(3a +1b )(a +3b )=9b a+a b +6≥2√9b a ×a b +6=6+6=12，当且仅当9b a =ab ，即a =12,b =16时等号成立，所以3a+1b的最小值为12. 7. 【答案】2√3【考点】 正弦定理两角和与差的正弦公式 三角函数值的符号 向量的模基本不等式在最值问题中的应用 【解析】2√3【解答】解：ccosB +bcosC =2acosA⇒sinCcosB +sinBcosC =2sinAcosA ⇒sin(B +C)=2sinAcosA ⇒sinA =2sinAcosA ⇒cosA =12，A =π3. ∵ AM →=23AB →+13AC →∴ |AM →|2=|23AB →+13AC →|2=49AB →2+49AB →⋅AC →+19AC →2 =49c 2+49c ⋅b ⋅12+19b 2 =19(b 2+2bc +4c 2)=1， ∴ b 2+2bc +4c 2=9， ∴ (b +2c)2−2bc =9， 即(b +2c)2=9+2bc . 又9+2bc =9+b ⋅2c ≤9+(b+2c)24，当且仅当b =2c 时等号成立，∴ (b +2c)2≤9+(b+2c)24，∴ (b +2c)2≤12，∴ 0<b +2c ≤2√3，故b +2c 的最大值为2√3.. 8. 【答案】11【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：n =1，S =2，执行如下：n =1+2=3，S =2+23=10，S <2019，否；n =3+2=5，S =10+25=32+10=42，S <2019，否； n =5+2=7，S =42+27=42+128=170，S <2019，否； n =7+2=9，S =170+29=170+512=682，S <2019，否； n =9+2=11，S =682+211=682+2048=2730，S >2019，是， 输出n =11，结束. 故答案为：11. 9.【答案】 0.44【考点】求解线性回归方程 众数、中位数、平均数【解析】根据线性回归方程经过样本中心值进行求解即可. 【解答】解：由题意可知：x ¯=1+m+3+4+55=13+m 5，y ¯=0.5+0.6+n+1.4+1.55=4+n 5，又线性回归直线方程为y ̂=0.28x +0.16， ∴4+n 5=0.28×13+m 5+0.16，化简可得n −0.28m =0.44. 故答案为：0.44. 10.【答案】 13【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法【解析】利用勾股定理可求出BC ，再利用面面垂直性质定理证得BD ⊥α，从而再利用勾股定理即可求出CD 【解答】试卷第10页，总17页解：连接BC ．因为AC 1AC =3,AB =A 所以BC =5因为BD ⊥lα⊥βα∩β=1BD ⊂β，所以BD ⊥α 所以BD ⊥BC在Rt △BDC 中，CD =√BD 2+BC 2=13 故答案为13 11.【答案】4x +y −6=0或3x +2y −7=0． 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 点到直线的距离公式【解析】由题意可知当直线平行于直线AB 时，或过AB 的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程． 【解答】解：当直线平行于直线AB 时，或过AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线AB 时，所求直线的斜率为k =−5−34−2=−4，故直线方程为y −2=−4(x −1)，即4x +y −6=0； 当直线过AB 的中点(3, −1)时，斜率为k =2−(−1)1−3=−32，故直线方程为y −2=−32(x −1)，即3x +2y −7=0； 故所求直线方程是为：4x +y −6=0或3x +2y −7=0． 12.【答案】 −15【考点】两点间的距离公式 直线与圆的位置关系 直线和圆的方程的应用 【解析】 无【解答】解：由题意得，圆C 的圆心为C (−3,1)，半径r =√10−n ， 直线(2+m )x +(2m −1)y −5m =0恒过点M (1,2)， 则|MC|=√(−3−1)2+(1−2)2=√17， 当MC ⊥l 时，所得弦最短，此时弦长为2√r 2−|MC|2=2√r 2−17=4√2， 解得r =5，所以√10−n =5，解得n =−15. 故答案为：−15.二、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ） 13.……○…………装…学校:___________姓……○…………装…【答案】(1))[−6,+∞)； （2）[0,1] 【考点】 交集及其运算 并集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】（1）可解出A =[−6,2),B =(0,+∞)，然后进行并集的运算即可；（2）可解出|A ∩B =(0,2)，根据集合{x|a <x <a +1}是AnB 的子集，即可得出{a ≥0a +1≤2，解出a 的范围即可． 【解答】（1）由{6+x ≥02−x >0得，−6≤x <2由2x ,1得，x >0A =[−6,2)B =(0,+∞) A ∪B =[−6,+∞) （2）A ∩B =(0,2)：集合{x|a <x <a +1}是A ∩B 的子集； ∴ {a ≥0a +1≤2解得0≤a ≤1 ．．a 的取值范围是[0,1] 14.【答案】（1）当a ＝1时，，若f(x)是偶函数，则f(x)−f(−x)＝0，即，即2x +7bx ＝0，所以b ＝−1．(2)若f (x )在(−∞,−1)上有意义，则1+2x +1+4x a >0对于x ∈(−∞,−1)恒成立， 即a >−2x +1−14x=−(14)x−(12)x−1对于x ∈(−∞,−1)恒成立，令g (x )=−(14)x−(12)x−1，则a >g (x )max ，因为y =−(14)x在x ∈(−∞,−1)单调递增，y =(12)x−1在x ∈(−∞,−1)单调递减，所以g (x )=−(14)x−(12)x−1在x ∈(−∞,−1)单调递增，试卷第12页，总17页g (x )max <g (−1)=−4−4=−8，所以a ≥−8，(3)当a =4时，由f (x )=(b +1)(x +1)可得log 2(1+2x +1+4x+1)−x =b +1， 由A =⌀可得方程log 2(12x+2x +2+2)=b +1无实根，因为12x+2x +2+2≥2√12x×2x +2+2=6，当且仅当12x=2x +2即x =−1时等号成立，所以log 2(12x+2x +2+2)≥log 26，所以b +1<log 26，即b <log 26−1=log 23， 故实数b 的取值范围(−∞,log 23) 【考点】函数奇偶性的性质指数函数的单调性与特殊点 其他不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）推导出对任意x ∈(−∞,−1),a >−(14)x−(12)x−1恒成立，令g (x )=−(14)x−(12)x−1，由指数函数单调性得g (x )max <g (−1)=−8即求出实数a 的取值范围；（2）当a =4时，f (x )=(b +1)(x +1)≈log 2(1+2x+1+4x+1)−x =b +1=b +1=b +2x+2+2x+2+1，由此能求出实数b 的取值范围． 【解答】 略 略 略 15.【答案】 解：（1）当l 1和l 2相交时，1×3−(m −2)m ≠0，由1×3−(m −2)m =0，m 2−2m −3=0，∴ m =−1，或m =3，∴ 当m ≠−1且m ≠3时，l 1和l 2相交．（2）l 1⊥l 2时，1×(m −2)+m ×3=0，m =12．∴ 当m =12时，l 1⊥l 2． （3）∵ m =0时，l 1不平行l 2，∴ l 1 // l 2⇔m−21=3m ≠2m 6，解得m =−1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于−1，解方程求出m 的值．（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m 的值．【解答】 解：（1）当l 1和l 2相交时，1×3−(m −2)m ≠0，由1×3−(m −2)m =0，m 2−2m −3=0，∴ m =−1，或m =3，∴ 当m ≠−1且m ≠3时，l 1和l 2相交．（2）l 1⊥l 2时，1×(m −2)+m ×3=0，m =12．∴ 当m =12时，l 1⊥l 2．（3）∵ m =0时，l 1不平行l 2，∴ l 1 // l 2⇔m−21=3m ≠2m 6，解得m =−1．16. 【答案】解：（①f (x )=√3sin (4x +2π3)−cos (4x +2π3)+1=2sin (4x +2π3)+1=2cos 4x +1 …44x =kπ+π2k ∈Z.得x =kπ4+π8,k ∈Z所以f (x )图象的对称中心为(kπ4+π8,1),k ∈Z（2）因为x ∈[π12,π]π3]，所以π3≤4x ≤1π3所以−1≤cos 4x ≤12，则−1≤f (x )≤2即f (x )在[π12,π3]上的值域是[−1,2]【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（①f (x )=√3sin (4x +2π3)−cos (4x +2π3)+1=2sin (4x +2π3)+1=2cos 4x +1 …44x =kπ+π2 k ∈Z.得x =kπ4+π8,k ∈Z 所以f (x )图象的对称中心为(kπ4+π8,1),k ∈Z（2）因为x ∈[π12,π]π3]，所以π3≤4x ≤1π3所以−1≤cos 4x ≤12，则−1≤f (x )≤2即f (x )在[π12,π3]上的值域是[−1,2] 17. 【答案】解：（1）∵ 向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)， ∴ c →=4a →+b →=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)， ∴ |c|=6√2（2）a →+λb →=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)， ∵ a →+λb →与a →垂直，试卷第14页，总17页∴ 1+2λ+2(2−2λ)=0， 解得λ=52．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】（1）由向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)，知c →=4a →+b →=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)． （2）a →+λb →=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)，由a →+λb →与a →垂直，知1+2λ+2(2−2λ)=0，由此能求出λ的值． 【解答】解：（1）∵ 向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)，∴ c →=4a →+b →=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)，∴ |c|=6√2 （2）a →+λb →=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)， ∵ a →+λb →与a →垂直， ∴ 1+2λ+2(2−2λ)=0， 解得λ=52． 18.【答案】（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以DE//BF 因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以BF//平面CDE ． 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB//CD.因为CD ⊂平面CDE ，ABC ⊄平面CDE ，所以AB//平面CDE ．因为AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB ∩BF =B ，所以平面ABF//平面CDE ．（2）平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值α为√66．【考点】平面与平面垂直的判定 用空间向量求平面间的夹角【解析】评分细则：在第一问中，也可以建立空间直角坐标系，分别求出平面ABF 和平面CDE 的法向量，通过证明平面ABF 和平面CDE 的法向量平行，从而得到平面ABF//平面CDE ；（2）在第二问中，也可以先找出平面ABF 和平面CEF 所成的锐二面角θ，再通过余弦定理求出cos θ（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分． 【解答】（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以DE//BF…………装…………○…………订…………○…………线…………○……学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………装…………○…………订…………○…………线…………○……因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以BF//平面CDE ． 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB//CD.因为CD ⊂平面CDE ，ABC ⊄平面CDE ，所以AB//平面CDE ．因为AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB ∩BF =B ，所以平面ABF//平面CDE ． （2）：由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，则以D 为原点，分别以DA →DC →DE →的方向为x,y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz设AB =1，则A (1,0,0),C (0,1,0),E (0,0,2),F (1,1,1)，从而EF →=(1,1,−1),CF →=(1,0,1) 设平面CEF 的法向量为m =(x,y,z )则{m ⋅CF →=x +z =0,m ⋅EF →=x +y −z =0令x =1，得m =(1,−2,−1)．平面ABF 的一个法向量为n =(1,0,0)． cos ⟨n,m⟩=n⋅m|n||m|=1√6=√66，即平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值α为√66． 19.【答案】解：(1)因为(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1， 所以a =0.006．(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4． 所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4． (3)受访职工中评分在[50, 60)的有： 50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40, 50)的有： 50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是Ω={(A 1, A 2), (A 1, A 3), (A 2, A 3)，(A 1, B 1)，试卷第16页，总17页(A 1, B 2)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 3, B 1)，(A 3, B 2)，(B 1, B 2)}． 又因为所抽取2人的评分都在[50, 60)的结果有3种， 故所求的概率为P =310． 【考点】频率分布直方图 频数与频率 用频率估计概率列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a ； (Ⅱ)对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；(Ⅲ)求出评分在[40, 60]的受访职工和评分都在[40, 50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 【解答】解：(1)因为(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1， 所以a =0.006．(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4． 所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4． (3)受访职工中评分在[50, 60)的有： 50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40, 50)的有： 50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是Ω={(A 1, A 2), (A 1, A 3), (A 2, A 3)，(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 3, B 1)，(A 3, B 2)，(B 1, B 2)}． 又因为所抽取2人的评分都在[50, 60)的结果有3种， 故所求的概率为P =310． 20. 【答案】解．（1）f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π2)=√3cos 2x +sin 2x =2sin (2x +π3) 由0≤x ≤π2，得π3≤2x +π3≤4π3，所以函数f(x)的最小值为2×(−√32)=−√3，此时x =π2．（2）△ABC 中，A =45∘，b =3√2，a =6，故sin B =b sin A a=3√2×√226=12（正弦定理），再由b <a 知B <A =45∘，故B =30∘，于是C =180∘−A −B =105∘，从而△ABC 的面S =12ab sin C =9(√3+1)． 【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦定理 【解析】（1）先化简的解析式，根据x 的范围确定2x +π3的范围，从而根据正弦函数的性质确定函数的最小值．（2）先由正弦定理求得sin B ，进而求得B ，进而求得C ，利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解．（1）f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π2)=√3cos 2x +sin 2x =2sin (2x +π3) 由0≤x ≤π2，得π3≤2x +π3≤4π3，所以函数f(x)的最小值为2×(−√32)=−√3，此时x =π2．（2）△ABC 中，A =45∘，b =3√2，a =6，故sin B =b sin A a=3√2×√226=12（正弦定理），再由b <a 知B <A =45∘，故B =30∘，于是C =180∘−A −B =105∘，从而△ABC 的面积S =12ab sin C =9(√3+1)． 21.【答案】解：(1)a n =2+2(n −1)=2n b n =2n−1(2)T n =2+(n −1)⋅2n+1 【考点】 数列的求和 等比数列的性质 等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 等差数列的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。

A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。

A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。

A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。

A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。

A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。

A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。

高中数学竞赛模拟试题一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ）（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的 （ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ）（A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan2-π（D ）22cotarc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423nm C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）B11.如图 , 正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边形A2 B2 C2D2E2 F2,如此继续下去,A1A2F 1F2B2E2则所有这些六边形的面积和是.C12.已知正整数 a1 , a2 ,L, a10满足 :a j3, a,1 i j 102i则a10 的最小可能值是.C2D2D1E13.若tantan tan17，6cot cot cot 4 ,5cot cot cot cot cot cot17，则5tan.4．已知关于x的方程lg kx2lg x 1 仅有一个实数解，A DF则实数 k 的取值范围是.B E C 5．如图，AEF 是边长为 x 的正方形ABCD的内接三角形，已知AEF 90 ，AE a, EF b, a b ，则x.6．方程2m 3n3n 12m 13的非负整数解m,n.7．一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出 5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是. （用数字作答）8．数列a n定义如下：a11,a2 2, a n2 n1an 1n.若2n2na n , n 1,2,L2a m20112，则正整数 m 的最小值为.2012二、解答题9．（本题满分 14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB x ， BC1，对角线 AC 与 BD 的夹角BOC 45 ，记直线 AB 与 CD 的距离为h(x)．求 h(x) 的表达式，并写出x的取值范围．D C 10．（本题满分 14分）给定实数a 1，求函数OA B(a sin x)(4sin x)f ( x)的最小值．1 sin x11 ．（本题满分16分）正实数x, y, z满足9xyz xy yz zx4 ，求证：4（1）xyyzzx3 ；（2）xyz2．12．（ 本 题 满 分16 分 ） 给 定 整 数 n( 3) ， 记f (n)为 集 合1,2,L,2 n1的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值：(a)1 A, 2n1 A ；(b) A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另两个（可以相同）元素的和．（ 1）求 f (3) 的值；（2）求证： f (100)108 ．上海市高中数学竞赛答案1、9 32、9243、114、 ,0U4a 25、 6、3,0, 2,2 a 2 (a b)27 28 4025 59OB 2OC21(AB2BC 2)1( x2 1)2 22OBCBC2OB2OC 22OB OC cos BOC OB2OC22OB OC1OB OC x21522SABCD 4SOBC 41OB OC sin BOC22OB OC x21 2AB h( x)x21 2h(x)x2110 2xx210x1OB 2OC 22OB OC1( x21)2x21222x11x21h( x)x211x21142x10(a sin x)(4 sin x)3(a 1)f ( x)1 sin xa 21 sin x1 sin x1 a7 0 3(a1) 233(a 1)f ( x) 1 sin xa 2 2 3(a 1) a 21 sin xsin x3(a 1) 11,1f min ( x)23(a1)a267y3(a 1)a3(a1)2“ ”t3t0, 3(a1)f min ( x) f (1) 23(a 1) a 2 5(a 1)2 22 3(a 1) a2, 1 a7 ; f min (x)3145(a 1) ,a 7 .23xy yz zx111t333xyyz zx 2xyz3( xy)( yz)( zx)2434 9xyz xy yz zx 9t 33t2所以3t23t 23t20 ，而 3t 23t20，所以 3t20，即t2，3从而xyyz zx4（ 10分）3．（2）又因为( x y z)23(xy yz zx) ，所以( x y z)2 4 ，故 x y z 2 ．（ 16分）12．解（1）设集合A1,2,L ,2 3 1 ，且A满足(a),( b)．则1 A,7 A．由于1, m,7 m 2,3,L ,6 不满足 (b) ，故A 3 ．又 1,2,3,7 , 1,2,4,7 , 1,2,5,7 , 1,2,6,7 , 1,3,4,7 , 1,3,5,7 , 1,3,6,7 ,1,4,5,7 , 1,4,6,7 , 1,5,6,7 都不满足(b)，故A 4．而集合 1,2,4,6,7满足 (a),( b) ，所以f(3) 5 ．（ 6 分）（2）首先证明f (n 1) f (n)2,n3,4,L．①事实上，若A1,2,L,2 n 1，满足 (a),( b) ，且A的元素个数为 f (n) ．令 B A U 2n 12, 2n 1 1 ，由于2n 122n1，Bf (n)22n 122(2n1), 2n 1 11(2 n 12)BL,2n 11B(a),( b)1,2,f (n1)B f (n)210f (2n) f (n)n1, n3,4,LA1,2,L,2 n1(a),( b)Af (n)B A U2(2n 1), 22 (2n1),L ,2 n (2n1),22 n12(2n1)22 (2 n1)L2n (2 n1)22 n1 B1,2,L,2 2n1B f (n)n 12k 1(2 n1)2k (2n1)2k (2n1), k0,1,L , n1 22n12n (2 n1)(2 n1)B(a),( b)f (2n)B f (n)n 114f (2 n1) f (n)n 3f (100) f (50)50 1 f (25)25151f (12)12377 f (6) 6192f (3) 3 1 99 10816。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。

答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。

计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。

因此，最大值为 6，最小值为 0。

2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。

答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。

当 \( x \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。

3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。

答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。

通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。

4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。

答案：利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)，通过平方和展开，可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

高中数学竞赛训练题—解答题1．a,b是两个不相等的正数，且满足a3b3 a 2 b 2，求所有可能的整数c,使得c9ab .2．已知不等式111...1a对一切正整数 a 均成立，求正整数 an1n 2n33n 124的最大值，并证明你的结论。

3．设a n为 a14的单调递增数列，且满足 a n21 a n216 8(a n 1a n ) 2a n 1a n，求{ a n}的通项公式。

4．（ 1）设x0, y0, 求证：x23x y ;x y4（ 2）设x0, y0, z0,求证：x3y y3z3xy yz zx .x y z z x25. 设数列1,1,2,1,2,3,, 1,2,,k,，121321k k11问：（ 1）这个数列第 2010 项的值是多少；（ 2）在这个数列中，第2010 个值为 1 的项的序号是多少 .6.设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7．已知数列{ a n}满足a1a（a0, 且 a 1 ），前 n 项和为 S n，且 S n a(1 a n ) ，1a记 b n a n lg | a n |（ n N），当 a 7时，问是否存在正整数 m ，使得对于任意正整数3n ，都有 b n b m？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．8. 在ABC中，已AB AC 9,sin B cos A sin C ，又ABC的面积等于6.（Ⅰ）求 ABC 的三边之长；（Ⅱ）设 P 是ABC（含边界）内一点，P 到三边 AB、 BC、AB 的距离为d1、 d2和 d3，求 d1 d2 d 3的取值范围.9．在数列a n中，a1，a2是给定的非零整数， a n 2 a n 1 a n．（1）若a15 2 ， a1，求 a2008；16（2）证明：从a n中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10. 已知椭圆x 2y 2 1(a1) ， Rt ABC 以 A （ 0，1）为直角顶点，边 AB 、BC 与椭圆a 2交于两点 B 、 C 。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

高中数学竞赛试题及解答试题（一）一、 过圆的直径AB 上一定点C 作任意弦DE ，过B 作圆的切线L ，并设直线AD 与直线AE 分别与L 交于F 、G 。

若4,AB = 3,AC =求BF BG ⋅。

(12分)二、 证明x 的三次方程式3210x x π--=只有一个正实根。

(12分)三、 试证明2009不能表示成三个正整数的立方和。

(12分)四、有各张分别标有1, 2,, n 的一叠n 张卡片。

洗过卡片后，重复进行以下操作：若最上面一张卡片的标号是k ，则将前k 张卡片的顺序颠倒；例如，若4n =且卡片排列成3124，则操作一次后的卡片将排列成2134。

证明：经过有限次操作后，标号为1的卡片会在最上面。

(13分)试题（二）一、求2222(1.1)(1.2)(1.3)(3.1)++++。

(3分)二、设, , x y z 为实数且满足222 1x y z ++=，求xy yz zx ++的最小值。

(3分)三、空间中一四面体的四个顶点分别为(0, 0, 1), (2, 4, 0), (0, 0, 0),A B C (4, 2, 0)D ，平面E 通过A 点与BD 中点且与BC 有交点。

若平面E 将此四面体分成两块，其中一块的体积为原四面体的13，求E 的方程式。

(3分)四、求n ∞=，其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数，例如[1.2]1=。

(4分)五、假设有5根电线杆，其中有2根会漏电，以致于停在它们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落地面。

今有5只小鸟各自独立的随机选择其中一根电线杆逗留休息，试计算只有2根电线杆上有小鸟的机率。

(4分)试题（一）解答一、 【解】过C 作HI //FG ，与AF , AG 分别交I 和H ，连结BE , BH 。

因90BEH ∠=, 90BCH ∠=，所以四边形CBEH 是圆内接四边形BEC BHC ∠=∠而BED BAD ∠=∠BHI BAD ∴∠=∠由此可知，B , H , A , I 共圆 CI CH AC CB ∴⋅=⋅ (1)ACI ABF ∆∝∆ ::AC AB CI BF =又 ACH ABG ∆∝∆::AC AB CH BG ∴=22::AC AB CI CH BF BG ∴=⋅⋅ (2)由(1), (2), 22::AC AB AC CB BF BG =⋅⋅22AC CB AC BF BG AB ⋅=⋅, 2222()()4311633AB AC CB BF BG AC ⋅⋅⋅⋅===.二、 【证】令 32()1f x x x π=--则 (0)1f =-, (100)0f >由堪根定理，0与100之间有一个根r令 2()()()f x x r x ax b =-++32()()x a r x b ra x rb =+-+--得 a r π-=-b ra -= 1rb = (2)由(2) 0b >由(1) 0a => ,a b ∴皆为正数 20x ax b ∴++> for 0x ≥()f x ∴没有第二个正根。

高中数学几何题竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=3，则BC的长度是：A. 4B. 3C. 2D. 无法确定2. 已知圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若圆与直线l相切，则d与r的关系是：A. d = rB. d > rC. d < rD. d ≠ r3. 在正六边形ABCDEF中，若AB=2，则对角线AC的长度是：A. 2B. 2√3C. 4D. 4√34. 若一个正方体的表面积为S，棱长为a，则a与S的关系是：A. a = √SB. a = SC. a = S/6D. a = √(S/6)5. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点到中心的距离为c，若a=5，b=3，则c的值是：A. 4B. 2C. √7D. √(25-9)二、填空题（每题4分，共20分）6. 在三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，则BC的长度是______。

7. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，若圆柱的体积为V，则V与r和h的关系是V=______。

8. 若一个圆锥的底面半径为r，高为h，且圆锥的体积为V，则圆锥的底面积是______。

9. 已知一个球的体积为V，半径为R，则R与V的关系是R=______。

10. 若一个正多边形的边数为n，且其内角为x，则x与n的关系是x=______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(5,6)，C(1,1)，求三角形ABC的面积。

12. 已知圆的方程为(x-3)²+(y-4)²=25，求圆心到直线3x+4y-20=0的距离。

13. 已知一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。

四、证明题（每题10分，共25分）14. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

15. 证明：对于任意一个三角形，其内角和为180°。

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。

试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。

(5分)试题（一）解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。