人教版高中数学选修2-3第4讲：随机变量及其概率分布(教师版)
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1 人教版高中数学随机变量及其概率分布
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1.理解随机变量的概念. 2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.
3.能熟练应用两点分布.
4.能熟练运用超几何分布.
1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常
用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母,,)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)
等表示随机变量取的可能值.
注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在
试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称
试验.
(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的
自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.
(3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变
量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
(4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本
的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能
取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.
2.随机变量的概率分布
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是12,,,,nxxx且()iPXx
2 ,1,2,3,,ipin①，则称①为随机变量X的概率分布列.
3.随机变量概率分布的性质
(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.
(2)随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1，必然事件U的概率P(U)=1.若离散型随机变量X所有可能
取的值为12,,,.nxxxX取每一个值ix(i=1，2，…，n)的概率为(),iiPXxp○1
0,1,2,3,,;ipin○21231.npppp不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即
分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.
(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
4.两点分布如果随机变量X的概率分布为：
X 1 0
P p q
其中0
点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.
5.超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，
2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X 01…m
P C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN
类型一.随机变量及其概率分布
例1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数；②一个
沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次
数；④1天内的温度.
其中是离散型随机变量的是()
A.①②B.③④C①③D.②④
[答案]C
[解析]①③中的随机变量可能取的值为有限个，而②④能取到一区间内的一切值. 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
[解析](1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X=k(k=1，2，…，10)表示取出第k号球.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X=k表示取出k个红球，4-k个白球，其中k=0，1，2，3，
3 4. 练习1：写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X.
[解析]X的可能取值为2，3，4，…，12，若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则X=2表示(1，1)；X=3表示(1，2)，(2，1)；X=4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；
X=12表示(6，6).
练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用表示取出
的3个球中的最大号码，写出随机变量的概率分布.
[解析]根据题意可知随机变量的可能取值为3，4，5.
当3时，即取出的3个球中最大号码是3，则其他两球的编号只能是1，2，故有
22351(3);10CPC当4时，即取出的3个球中最大号码是4，则其他两球只能在编号为1，2，
3的球中取，故有23353(4),10CPC当5时，即取出的3个球中最大号码为5，则其他两球
只能在编号为1，2，3，4的四个球中取，故有(5)P24353.5C
C综上可得的概率分布如下表：
3 4 5
P 1
103
103
5
类型二.随机概率分布的性质
例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.
X -3 -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.2
[解析]不是随机变量的概率分布，因为0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.1≠1. 练习1：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.
0 1 2 3 4
P -0.3 0 0.3 0.5 0.5
[解析]不是随机变量的概率分布，因为(0)P-0.3<0，不符合随机变量概率分布的性质.
类型三.两点分布
例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则
(0)P等于()
A.0 B.1
2C.1
3D.2
3
4 [答案]C
练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令1,
0,X正面向上
正面向下；
.如果正面向上的概率为p；试写
出随机变量X的概率分布表.
[解析]由分布列的性质可知，正面向上的概率为p，则正面向下的概率是(1-p)，于是随机变量
X的概率分布表是：
X 1 0
P p １－ｐ类型四.随机变量的概率分布性质的应用
例5：设随机变量的概率分布为()5kp=ak(k=1，2，3，4，5).
(1)求常数a的值；
(2)求3();5P
(3)求17().1010P
[解析]解：题目所给概率分布表为：1
52
53
54
55
5
P a2a3a4a5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1，得a=1.15
(2)33453()()()()555515PPPP454,15155
或3()15P2()15P124().15155
(3)因为17,1010所以123,,.555
故17123()()()()100555PPPPI1232.1515155练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到
取出白球为止.求取球次数X的概率分布表.
[解析]X的可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为P(X=1)=1
5，第2次取到白
球的概率为P(X=2)=41
541,5第3次取到白球的概率为P(X=3)=4311,5435第4次取到白球的概
率为P(X=4)=43211,543155次取到白球的概率为：P(X=5)=432
54311
211.5所以X的概率
分布表是：
Ｘ１２３４５
Ｐ1
51
51
51
51
5
5 类型五.超几何分布
例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件
数的分布表.
[解析]从100件产品中随机抽取20件，抽到次品件数是一个离散型的随机变量，其次品件
数可能是0、1、2、3、4、5.
依题意，随机变量(次品件数)服从超几何分布，所以，从100件产品中抽取20件，其中有k
件次品的概率为P(=k)=2059520100kkCC
C(k=0，1，2，3，4，5).
所以02059520100(0)0.3193,CCPC11959520100(1)0.4201,CCPC
所以21859520100(2)0.2073,CCPC31759020100(3)0.0479,CCPC
41659520100(4)0.0052,CCPC51559520100(5)0.0002.CCPC
所以的分布表为：
0 1 2 3 4 5
P 0.3193 0.4201 0.2073 0.0479 0.0052 0.0002 练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为
二级品的概率是多少？
[解析]设表示二级品的件数，
12515320105(1),(228CCPPC21515320302),228CC
C(P3051532023).228CC
C
所以10530(1)(1)(2)(3)228228PPPP2137.228228
1.抛掷2颗骰子,如果将所得点数之和记为,那么=4表示的随机试验结果是()
A.2颗都是4点B.1颗是1点,另1颗是3点
C.2颗都是2点D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点
[答案]Ｄ
2.随机变量1是1个无线寻呼台1min内接到的寻呼次数;随机变量2是某工厂加工的某种钢
