第二十九章 投影与视图
一、课标导航
二、核心纲要
l.投影
(1)投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
(2)中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（如下左图所示）．
(3)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影（如下中图所示）．
(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影（如下右图所示）．
2．平行投影与中心投影的区别和联系（如下表所示）
3.三视图是指从兰个不间位置观察间一个空间几何体而画出的图形，包括主视图、俯视图、左视图（如下图所示）
(1)主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状．
(2)俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状．
(3)左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图-- 能反映物体的左面形状.
注：画三视图时应注意三视图的位置要准确，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线，主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等．即主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
本节重点讲解：三个投影，三个视图．
三 .全能突破
基 础 演 练 1．下列说法正确的是( )．
A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关
B．小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长．
C．物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化．
D．物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的．
2．下图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是( )．
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解中心投影和平行投影．
2．能画出简单空间图形的三视图．(重点)
3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点) 1.通过对中心投影和平行投影学习，培养直观想象的数学素养；
2．通过学习三视图，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.
1．投影的概念及分类
定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面
分
类 中心投影 光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点
平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影
2.三视图
思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？
[提示] 正确．由画三视图的规则要求可知正确．
1．哪个实例不是中心投影( )
A．工程图纸 B．小孔成像
C．相片 D．人的视觉
A [根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]
2．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是(
)
A B C D
A [矩形的投影可以是线段，矩形，平行四边形，但不会是梯形．]
3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．
棱台 [从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]
4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)
① ② ③ ④
①③④ [①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]
中心投影和平行投影
【例1】 (1)下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
1.1 基本视图画法 1.2 正投影与三视图
1.3 简单叠加体的三视图 本章小结
结束放映 1.1 基本视图有两种画法：
第一角法（第一象限法）
凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」
→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。
亦称第一象限法。
第三角法（第三象限法）
凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影
面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角
法。亦称第三象限法。 1.1.1 第一角画法 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦
有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、
法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。
我国的投影体制：
技术图样应采用正投影法绘制，并优先采用第一角画
法，必要时才允许使用第三角画法。
一般在国营企业，所有的图纸都是采用第一角画法。
第一角法在图纸中的标记： 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，
依此类推 (如下图)
仰视图 主视图
图
俯视图
a) 图
后视
图
1.1.2 第三角画法
美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。
除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。
第三角法在图纸中的标记：
第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，
依此类推(如下图)
顶视图 图
左视 图
前视图
右视
图
底视图
b)投影面的展开
1.1.3 第三角画法与第一角画法的比较 后
第三角画法
上
上
左
顶视 右 左
主视
右
后
前
前 上
1 1.2.2 空间几何体的三视图
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、中心投影
1.中心投影法就是指投影线都是从投影中心出发的，所得到的投影称为中心投影.
2.中心投影一般用于透视图，主要用于绘制建筑物或其他物体的富有逼真感的立体图.如图1-2-1，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.一般来说，人的视觉、照片、美术作品等都是中心投影.
图1-2-1
要点提示 空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成相交直线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点.中心投影后的图形与原图形相比不一样，但是，直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来物体，所以绘图时经常使用这种方法，但是立体几何中很少使用.
二、平行投影
1.已知图形F，直线l与平面α相交,如图1-2-2(1)，过F上任意一点M作MM′平行于l,交平面α于点M′,则点M′叫做点M在平面α内关于直线的平行投影,如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′,则F′叫图形F在平面α内关于直线l的平行投影，平面α叫投射面，直线l叫投射线.比如图1-2-2(2)太阳光线(可以看成平行的)把一个矩形窗框投射到地板上，变成了平行四边形，这个平行四边形就是窗框的投影，与原图相比，边框长度以及边框间的夹角有所改变，但边框间的平行关系没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没改变.
图1-2-2
2.如果投射线与投射面垂直，则称这样的投影为正投影.正投影的性质：①直线或线段的投影仍是直线或线段；垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；倾斜于其投影面的线段，其投影仍为线段，但比实长要短；直线上一点的投影，必在该直线的投影上；②平行直线的投影仍是平行或重合直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等；④与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形，但不反映该平面的实形，而是原平面图形的类似形；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比；⑥垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或线段的一部分.
