广东省佛山市2008年普通高中高三教学质量检测(二)

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜x 2＞2 x }，B ＝{x ｜1≤x ≤3}，则A ∪B ＝（ ）A 、{x ｜0≤x ＜1}B 、{x ｜x <0或x ≥1}C 、{x ｜2＜x ≤3}D 、{x ｜x ≤1或x >3}2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i)＝3＋i ，则｜z ｜＝（）A 、1B 、2C 、3D 、23．(1-x )10的二项展开式中，x 的系数与x 4的系数之差为（ ）A 、-220B 、-90C 、90D 、04．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为（） A 、3 B 、4 C 、18 D 、405．设函数()f x ＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x ，则下列结论错误的是（）A 、()f x 的最小正周期为πB 、y ＝()f x 的图像关于直线x ＝8π对称 C 、()f x 的最大值为2＋1 D 、()f x 的一个零点为x ＝78π 6．已知，则（） A 、a <b <c B 、a <c <b C 、c <a <b D 、b <a <c7．已知点A (3，－2)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则|BF |＝（）A 、6B 、8C 、10D 、128．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A、35B、79C、715D、31459．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：下列结论中不正确的是（）A、2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B、2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C、2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D、2019年3月份的居民消费价格全年最低10．已知P为双曲线C：22221(00)x ya ba b-=>>，上一点，O为坐标原点，F1，F2为曲线C左右焦点．若｜OP｜＝｜OF2｜，且满足tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（）A、5B、2C、10D、311．已知A，B，C是球O的球面上的三点，∠AOB＝∠AOC＝60º，若三棱锥O-ABC体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A、4πB、9πC、16πD、20π12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(-a，0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线C．已知点P (x0，y0)是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个；④|PO|2a．A、①②B、①②④C、②③④D、①③第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设命题，则⌝p 为 ． 14．已知函数，若f (a )＝-3，则f (-a )＝ ．15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝6π，则AB BC u u u r u u u r g ＝________； 点P 是直线AD 上的动点，则的最小值为________．16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）．该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37º；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53ο．测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为 米．（精确到0.1）参考数据：三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，满足S 1，S 2，-S 3成等差数列，且a 1a 2＝a 3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是矩形，PA＝PD＝3，PB＝PC＝6，∠APB＝∠CPD＝90ο，点M，N分别是棱BC，PD的中点．（1）求证：MN//平面PAB；（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为22，且过点(2，1)．（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于MN，两点，过点M作圆x2＋y2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM||＝PN|．20．(本小题满分12分)2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x(5≤≤x20)（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据．x57911y200298431609模型①：；模型②：．其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量，分布列为：结合你对（1）的判断，当产量x 为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？21．(本小题满分12分) 已知函数()-f x x a =-sin x (x ≥a )．（1）若()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）若a <－14，证明：()f x 在(0，2π)有唯一的极值点x 0， 且．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．22．(本小题满分10分)[选修44-：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4，0)，射线θ＝α（0<α<2π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，若∠AMB ＝4π，求tan α的值．23．(本小题满分10分)[选修45-：不等式选讲]已知函数，a∈R．（1）若f(0)＞8，求实数a的取值范围；（2）证明：对∀x∈R，恒成立．。

2008年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B B DCC9．x y 21±=， 25 10．60 11．18 12．5 13．30 14．22(2)4x y +-=，)2,2(π15. 1 ，1322x -<< 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本题满分12分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为)54,53(，三角形AOB 为正三角形．（Ⅰ）求COA ∠sin ；（Ⅱ）求2||BC 的值．解：(Ⅰ)因为A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知53=x ， 54=y ，1=r ……2分 所以54sin ==∠r y COA ……4分(Ⅱ)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，54sin =∠COA ，53cos =∠COA ， ……5分 所以cos cos(60)cos cos60sin sin 60COB COB COB COB ∠=∠+=∠-∠ 1034323542153-=⋅-⋅=……8分 所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠343743112-+=+-=……12分 OxyBA C34(,5517、（本题满分12分）如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．（Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面．(Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以PCD ∆为等腰直角三角形，所以PC PD ⊥． ……1分因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面⊂，所以PD BC ⊥． (3)分因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．…4分(Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ．……5分因为PCD ABCD 面面⊥，所以ABCD PE 面⊥，所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角．……6分因为1=PE ，10=AE ，所以1010101tan ===∠AE PE PAE ． ……7分 所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为1010． ……8分 (Ⅲ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面． ……9分D 1C 1B 1A 1PDC BA当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以0145=∠DC C ，而045=∠PDC ，所以0190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1． ……10分而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//． ……11分 而D C AB D C 111面⊂，所以D C AB PC 11//面，所以D AB PC 1//平面． ……12分方法二、方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长a AA =1，则有),0,0(a D ，)1,1,0(+a P ，),2,3(a B ，),2,0(a C ． ……2分于是(0,1,1)PD =--，(3,1,1)PB =-，(0,1,1)PC =-，所以0PD PB ⋅=，0PD PC ⋅=．……3分所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥． ……4分(Ⅱ)),0,3(a A ，所以(3,1,1)PA =--，而平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =．…5分所以111cos ,111PD n <>==⨯． ……6分所以PA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为1111． ……7分 所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为1010． ……8分(Ⅲ))0,2,3(1=B ，所以)0,0,3(=DA ，),2,0(1a AB -=．设平面D AB 1的法向量为),,(2z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅0203212az y n AB x n DA ，令2=z ，可得平面D AB 1的一个法向量为)2,,0(2a n =． ……10分D 1C 1B 1A 1PDCBAzxy若要使得D AB PC 1//平面，则要2n PC ⊥，即022=-=⋅a n PC ，解得2=a ．…11分所以当2=a 时，D AB PC 1//平面． ……12分 18.（本小题满分14分）抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆，（Ⅰ）求定点N 的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2．解：（1）因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， -----------2分 所以定点N 的坐标为)0,2( ----------------------------3分 （2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， -----------4分 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k ------------------------5分 以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2， ----6分 方法1：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分 即11122=+-=k k d ，解得340或=k ， -------------------------------8分当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾！ --------------9分 当34=k 时，l 的方程为01334=--y x ----------------------------10分 由⎩⎨⎧==--x y y x 01334，解得点A 坐标为()13,13， ------------------11分由⎩⎨⎧-==--xy y x 01334，解得点B 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-713,713， ------------------12分显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾！ ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ------------------------------------14分方法2：由⎩⎨⎧=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛----114,114k k k k ， ------7分 由⎩⎨⎧-=-=-xy x k y )4(1，解得点B 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k 114,114， ------------8分 因为AB 中点为)1,4(E ，所以8114114=+-+--k k k k ，解得4=k ， ---------10分 所以l 的方程为0154=--y x ，圆心N 到直线l 的距离17177， -------------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分 所以不存在满足条件的直线l ． -------------------------------------14分 方法3：假设A 点的坐标为),(a a ，因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， -------------8分 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ， ----------------------------9分 所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4，所以l 的方程为0154=--y x ， -----------------------------10分圆心N 到直线l 的距离17177， -----------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ----------------------------------------14分 19．（本小题满分14分）佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量)(x f 与产量x 之间的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=400,2564000,6251)(2x x x x f ，每件产品的售价)(x g 与产量x 之间的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=400,5004000,75085)(x x x x g ． （Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润)(x Q 与产量x 之间的关系式；（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润． 解：(Ⅰ)总成本为x x c 21014000)(+=． ……1分所以日销售利润)()()()(x c x g x f x Q -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--+-=400,1140002104000,14000210561000123x x x x x x ． ……6分 (Ⅱ)①当4000≤≤x 时，21051210003)(2/-+-=x x x Q ． ……7分 令0)(/=x Q ，解得100=x 或700=x ． ……8分于是)(x Q 在区间]100,0[上单调递减，在区间]400,100[上单调递增，所以)(x Q 在400=x 时取到最大值，且最大值为30000； ……10分②当400>x 时，30000114000210)(<+-=x x Q ． ……12分综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元． ……14分 20．（本小题满分14分）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（Ⅰ）已知函数()2sin f x x x =-．求证：2y x =+为曲线()f x 的“上夹线”．（Ⅱ）观察下图：y xO y=x -1y=x+1y=x y=x -sinxyxOy=2x -2y=2x+2y=2xy=2x -2sinx根据上图，试推测曲线)0(sin :>-=n x n mx y S 的“上夹线”的方程，并给出证明．解 （Ⅰ）由1cos 21)('=-=x x f 得0cos =x ， -----------1分 当2π-=x 时，0cos =x ，此时2221+-=+=πx y ，22sin 22+-=-=πx x y ， -----------2分21y y =，所以⎪⎭⎫⎝⎛+--2,ππ是直线l 与曲线S 的一个切点； -----------3分当23π=x 时，0cos =x ，此时22321+=+=πx y ，223sin 22+=-=πx x y ， -----------4分21y y =，所以⎪⎭⎫⎝⎛+223,23ππ是直线l 与曲线S 的一个切点； -----------5分 所以直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；对任意x ∈R ，0sin 22)sin 2()2()()(≥+=--+=-x x x x x F x g ，所以)()(x F x g ≥ ---------------------------------------------------------------------6分 因此直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”． ----------7分 （Ⅱ）推测：sin (0)y mx n x n =->的“上夹线”的方程为y mx n =+ ------9分 ①先检验直线y mx n =+与曲线sin y mx n x =-相切，且至少有两个切点： 设：()sin F x mx n x =-'()cos F x m n x =-，令'()cos F x m n x m =-=，得：22x k ππ=±（k Z ） ------10分当22x k ππ=-时,(2)(2)22F k m k n ππππ-=-+ 故：过曲线()sin F x mx n x =-上的点(22k ππ-，(2)2m k n ππ-+)的切线方程为：y －[(2)2m k n ππ-+]=m [x －(22k ππ-)]，化简得：y mx n =+．即直线y mx n =+与曲线sin y mx n x =-相切且有无数个切点． -----12分 不妨设()g x mx n =+ ②下面检验g (x )F (x )g(x)－F(x)= (1sin )0(0)n x n +≥>直线y mx n =+是曲线()sin y F x mx n x ==-的“上夹线”． -----14分 21．（本小题满分14分）数列{}n a 满足11,2a =112n na a +=-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2ln()2n n S n +<-． 解：(Ⅰ)方法一：nnn n a a a a --=--=-+2112111， 所以11112111-+-=--=-+n n n n a a a a ． ……3分 所以}11{-n a 是首项为2-，公差为1-的等差数列． ……4分 所以111--=-n a n ，所以1+=n na n ． ……6分 方法二：322=a ，433=a ，544=a ，猜测1+=n n a n ． ……2分 下用数学归纳法进行证明．①当1=n 时，由题目已知可知211=a ，命题成立； ……3分 ②假设当k n =(N k k ∈≥,1)时成立，即1+=k ka k ，那么当1+=k n ，21121211++=+-=-=+k k k k a a k k ， 也就是说，当1+=k n 时命题也成立． ……5分 综上所述，数列}{n a 的通项公式为1+=n na n ． ……6分 （Ⅱ） 设()ln(1)(0)F x x x x =+-> 则1()10(0)11x F x x x x -'=-=<>++ ……8分 函数()F x 为(0,)+∞上的减函数，所以()(0)0F x F <=，即ln(1)(0)x x x +<> 从而 1111ln(1),11ln(1),1111n n n n +<-<-+++++ ……10分 111ln(2)ln(1),1n a n n n =-<-++++ ……11分 (1ln 3ln 2)(1ln 4ln 3)[1ln(2)ln(1)]n S n n <-++-+++-+++ ……13分2ln()2n n S n +<- ……14分。

2023～2024学年佛山市普通高中教学质量检测（二）高三语文2024.4本试卷共8页，23小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡交回。

一、现代文阅读（35 分）。

（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：年少时读书，特别热衷于寻找某个“简单的结论”，觉得一本书的价值就在于能够“千头万绪，归结为一句话”。

书读多了，渐渐意识到，这是一种要不得的肤浅读书习惯，是带着中学时代“总结中心思想”“找关键结论”的应试惯性。

真正的读书，需要戒除那种“找简单结论”的简化诱惑，而是要读到复杂性。

深刻的读书过程，应该总能在掩卷之余在脑海里盘旋这句话：这事儿没那么简单，那么，问题又来了！所谓认知肤浅，就是对世界的了解冻结于某个简化的结论。

读一本书，如果读到的仅是某个简单的结论，说明我们对一个问题的认知仍停留于薄和浅的“表层”，没有对“已知的已知”形成某种冲撞、侵犯、挑战，它只是既有认知区中某种“熟悉而愉快的确证”“未增加新知的浅阅读”，没有在冲撞已知上飞跃到“未知的未知”。

很多时候我们貌似读书和思考了，实际上只不过是重新整理了一下既有的偏见、狭隘，强化了一种闭环中的偏执。

这个过程并没有真正的“思想”——思想是什么？思想就是一个“越过简单结论”的过程，抵制某种未经思考、未经论证之结论的思维行动。

2015～2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数 学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．函数1ln(1)y x=-的定义域为（ ）A ． (,0]-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞U 【答案】B 【解析】∵110x ->，∴10x x ->，∴10x x-<，∴01x <<． 2．已知复数11i z a =+,232i z =+，a ∈R ,i 是虚数单位，若12z z 是实数，则a =（ ） A ． 23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】1232(32)i z z a a =-++，∵12z z 是实数，∴320a +=，∴23a =-． 3．已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】C【解析】设等差数列的公差为d ，且0d >． ∵12315a a a ++=，∴25a =．∵1232,5,13a a a +++成等比数列，∴2213(5)(2)(13)a a a +=++， ∴2222(5)(2)(13)a a d a d +=-+++，∴210(7)(18)d d =-+，解得2d =． ∴102858221a a d =+=+⨯=． 4．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ）A ．关于点(0)6π,对称 B ．关于点(0)3π,对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】A 【解析】∵22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，∴2,6k k Z πϕπ=+∈，∴cos(2)cos(22)cos(2)66y x x k x ππϕπ=+=++=+， 当6x π=时，cos(2)066y ππ=⨯+=，故选A ．5．若,x y ∈R ，且1,,230.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则y z x =的最小值等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】B6．命题“0x ∃>，使得a x b +≤”是“a b <”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C7．下列函数中，a ∀∈R ，都有得()()1f a f a +-=成立的是（ ） A．())f x x = B ．2()cos ()4f x x π=-C ．2()1x f x x =+D ．11()212x f x =+-【答案】B【解析】选项A ．()()0f a f a +-=，排除；选项B ．1cos(2)112()sin 2222x f x x π+-==+， ∴()()1sin 2sin(2)1f a f a x x +-=++-=，故选B ．8．自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟【答案】D【解析】集合A 表示报考“北约”联盟的学生，集合B 表示报考“华约”联盟的学生，集合C 表示报考“京派”联盟的学生，集合D 表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得U A B B CD C D B=∅⎧⎪⊆⎪⎨=∅⎪⎪=⎩I I ð，∴U A D B C D B ⊆⎧⎪=⎨⎪=⎩ð， 选项A ．B D =∅I ，正确； 选项B ．B C =，正确； 选项C ．A D ⊆，正确．9．执行如图的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ）A ．384,1S i i >=+B ．384,2S i i ≥=+C ．3840,1S i i >=+D ．3840,2S i i ≥=+ 【答案】D【解析】如果②处填入2i i =+，则12468103840S =⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D ．10．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，若直线y x c =+与ADB=C椭圆交于,A B 两点，且3AF FB =,则该椭圆的离心率是（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20a b y b cy b c a b +-+-=，∴22224()20a b y b cy b +--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，∴24121222222,b c b y y y y a b a b-+==++． ∵3AF FB =，∴123y y =-，∴24222222222,3b c b y y a b a b-==++，∴2223a b c +=， ∴222a c =，∴2212c a =，∴2e =．11．已知A 、B 、C的球面上，且AC BC ⊥，30ABC ∠=o，球心O 到平面ABC 的距离为1，点M 是线段BC 的中点，过点M 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ） AB ．34π CD ．3π【答案】B【解析】∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=o， ∴圆心O 在平面的射影为AB D 的中点，∴112AB ==，∴2AB =．∴cos30BC AC ==o当线段BC 为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为23()24ππ⨯=．12．已知函数1()1x f x aex a -=+--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．[0,1]C ．{1}(0,1]-UD ．{1}[0,1)-U 【答案】D【解析】当1a =时，1()11x f x e x -=+--．当1x ≥时，1()2x f x ex -=+-为增函数，∴()(1)0f x f ≥=，有唯一零点1．当1x <时，1()x f x e x -=-，1()1x f x e -'=-．ADOCB∵1x <，∴()0f x '<，()f x 单调减， ∴()(1)0f x f <=，没有零点，综上： 1a =时，原函数只有一个零点， 故不成立，从而排除,,A B C ．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．一根铁丝长为6米，铁丝上有5个节点将铁丝6等分，现从5个节点中随机选一个将铁丝剪断，则所得的两段铁丝长均不小于2的概率为________． 【答案】35,,,,B C D E F 中任取一个所得的两段铁丝长均不小于2的情况可以是：取,,C D E ，∴所求的概率35P =． 14.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，12n n a S +=（其中*)n ∈N ，则n S = .【答案】13n --【解析】∵12n n a S +=，∴12n n n S S S +-=，∴∴13n n S S +=，11133n n n S S --=⋅=．15．已知点P 是抛物线24y x =上的点，且P 到该抛物线焦点的距离为3，则P 到原点的距离为 ． 【答案】【解析】设00(,)P x y ，则032px +=， ∴013x +=，∴02x =，208y =，∴P ==．16．如图，在矩形ABCD 中，AB =，点Q 为线段CD (含端点)上一个动点，且DQ QC λ=u u u r u u u r ,BQ 交AC 于P ，且AP PC μ=u u u r u u u r，若AC BP ⊥，则λμ-= ．【答案】1-【解析】以A 为原点建立直角坐标系，如图： 设AB =1AD =，B ，C ．直线AC 的方程为y x =， 直线BP 的方程为3y =+， 直线DC 的方程为1y =，由13y y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得Q ， ABCDPQ A由33y x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得3(,)44P ，∴3DQ =，3QC DQ ==，由DQ QC λ=u u u r u u u r ，得2λ=．由AP PC μ=u u u r u u u r，得331()()][()444444μμ=-=， ∴3μ=，1λμ-=-．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T ．（1）当3πθ=时，求T 的值；（2）当S T =时，求cos θ的值； 【解析】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得 2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅2211221232=+-⨯⨯⨯=， 在BCD ∆中，由余弦定理得222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅12==-，∵(0,180)BCD ∠∈oo，∴cos 60BCD ∠=o．∴11sin 1122T BC CD BCD =⋅∠=⨯⨯=（2）1sin sin 2S AD AB BCD θ=⋅∠=． 2222cos 54cos BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-, 2224cos 3cos 22BC CD BD BCD BC CD θ+--∠==⋅,11sin sin 22T BC CD BCD BCD =⋅∠=∠, ∵S T =,∴1sin sin 2BCD θ=∠,∴2224cos 34sinsin 1cos 1()2BCD BCD θθ-=∠=-∠=-, ∴7cos 8θ=． 18．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：$1055y bx=+$． （1）求b ；（2）广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车，（i ）估计李先生购车时的商业车险保费；（ii ）若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S 店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费（即不出险），你认为李先生是否应该接受建议？说明理由．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 【解析】（1）1200(811182525313745)2588x =+++++++==万元， 13200(21502400314037504000456055006500)400088y =+++++++==元，直线$$1055y bx=+经过样本中心(,)x y ，即(25,4000)．∴105540001055117.825y b x---===．（2）（i ）价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为：117.82010553411⨯+=元．（ii ）由于该车已出过一次险，若再出一次险，则保费增加25%，即增加341125852.75⨯%=元．因为852.75800>，若出险，明年的保费已超800，故接受建议． 19．（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60,,BAD AB BD BC CD ∠===o． （1）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；（2）若BC CD ⊥,12AB AA ==,求三棱锥11B A BD -的体积． 【解析】（1）证明：∵,60AB BD BAD =∠=o， ∴ABD ∆为正三角形，∴AB AD =． ∵CB CD =,AC 为公共边， ∴ABC ADC ∆≅∆．∴CAB CAD ∠=∠,∴AC BD ⊥．∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥． ∵1AC AA A =I ，∴BD ⊥平面11ACC A ．∵BD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ．ABC DA 1C 1B 1D 1（2）∵1AA ∥1BB ，∴11111B A BD A BB D A BB D V V V ---==, 由（1）知AC BD ⊥．∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥． ∵1BD BB B =I ，∴AC ⊥平面1BB D ． 记AC BD O =I ,∴11111(22)332A BB D BB D V S AO -∆=⋅=⨯⨯⨯=,∴三棱锥11B A BD -．20．（本小题满分12分）已知点M 为圆22:4C x y +=上一个动点，点D 是M 在x 轴上的投影，P 为线段MD上一点，且与点Q 关于原点O 对称，满足QP OM OD =+u u u r u u u u r u u u r ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点P 作E 的切线l 与圆相交于,A B 两点，当QAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程． 【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)D x ．∵点P 与点Q 关于原点O 对称，∴2QP OP =u u u r u u u r ．∵QP OM OD =+u u u r u u u u r u u u r，∴2OP OM OD =+u u u r u u u u r u u u r ，∴0002(,)(,)(,0)x y x y x =+，∴002x xy y =⎧⎨=⎩，∵22004x y +=，∴2244x y +=，∴动点P 的轨迹方程：2214x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意， ∴设直线l 的方程为y km m =+，由2244y km m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=． ∵直线l 与椭圆相切，∴2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+-=，∴2241m k =+．原点O 到直线l的距离d =，则AB =∴1222QAB S AB d ∆=⋅=4==≤，当22d =，即d =QAB ∆的面积取得最大值4．此时d ==2222m k =+，由22222241m k m k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得2m k ⎧=⎪⎨=±⎪⎩， ∴直线l的方程为2y x =2y x =-2y x =-+或2y x =--21．（本小题满分12分）设曲线C :ln (0)y a x a =≠在点00(,ln )T x a x 处的切线与x 轴交与点0((),0)A f x ，函数2()1xg x x=+． (1)求0()f x ，并求函数()f x 在(0,)+∞上的极值；(2)设在区间(0,1)上，方程()f x k =的实数解为1x ，()g x k =的实数解为2x ，比较1x 与2x 的大小．【解析】（1）∵ln y a x =，∴a y x '=． ∴曲线C 在点T 处的切线斜率0a k x =， ∴切线方程为000()a y y x x x -=-． 令0y =，得000()x y a x x -=-，∵00ln y a x =，∴000ln ()x a x a x x -=-，∴000ln x x x x =-．∴0000()ln f x x x x =-．∴()ln f x x x x =-．()ln f x x '=-．当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)1f =，无极小值．（2）由题设知1()f x k =，2()g x k =，故2221x k x =+，解得22k x k=-． 将1()f x k =代入上式得121()2()f x x f x =-， ∴111121111()(1)()22()2()f x x f x x x x x f x f x +--=-=--11111(1)2[(1ln )]2()1x x x f x x +=---+， ∵1(0,1)x ∈，由（1）知1()1f x <，∴12()0f x ->，∵11(1)0x x +>，∴111(1)02()x x f x +>-． 令2()(1ln ),(0,1)1h x x x x =--∈+，则222121()0(1)(1)x h x x x x x --'=-+=<++， ∴()h x 在(0,1)上单调递减，∴()(1)0h x h >=，即112(1ln )01x x -->+，∴210x x ->，从而21x x >．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点,,,A B D E 在O e 上，ED 、AB 的延长线交于点C ，AD 、BE 交于点F ，AE EB BC ==．（1）证明：»»DEBD =； （2）若2DE =，4AD =，求DF 的长．【解析】（1）证明：∵EB BC =，∴C BEC ∠=∠．∵BED BAD ∠=∠，∴C BED BAD ∠=∠=∠．∵2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠，AE EB =，∴2EAB EBA C ∠=∠=∠，又C BAD ∠=∠．∴EAD C ∠=∠，∴BAD EAD ∠=∠． ∴»»DEBD =． （2）由（1）知EAD C FED ∠=∠=∠，∵EAD FDE ∠=∠，∴EAD ∆∽FED ∆，∴DE AD DF ED=． ∵2DE =，4AD =，∴1DF =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=-,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中)ϕ∈R大值．【解析】（1）∵4sin()3πρθ=-，∴4(sin cos cos sin )33ππρθθ=-，∴22sin cos ρρθθ=-，∴曲线C的直角坐标方程为2220x y y ++-=． （2）曲线C可化为22((1)4x y ++-=，∴曲线C 是圆心，半径为2的圆，∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ， ∴点Q 在圆O ：221x y +=， ∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32,f x x x t t =-++∈R ．（1）当1t =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数a 满足()32f a a +-<，求t 的取值范围．【解析】（1）当1t =时，()321f x x x =-++，由()5f x ≥，得3215x x -++≥， ∴35122x x ⎧-≥<⎪⎨⎪-⎩，或13254x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+⎩≥，或3325x x ≥>⎧⎨-⎩，解得1x ≤-或13x ≤≤或3x >，∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞U ．（2）()3232f x x x x t +-=-++(26)(2)6x x t t ≥--+=+，∵原命题等价于min (()3)2f x x +-<，∴62t +<，解得84t -<<-，∴t 的取值范围是(8,4)--．。